2025届长沙四大名校高二暑假班数学培优讲义含解析

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题型方法梳理，满分突破高考数学
暑假班培优讲义
暑假班解答题培优讲义目录
专题一: 三角函数与解三角形大题
【题型一】三角函数性质与恒等变形 7
【题型二】图像与性质: 零点型 9
【题型三】新结构第 19 题型：三角函数图像与性质型 11
【题型四】解三角形：求最大角度型 12
【题型五】解三角形：边长与中线型最值 13
【题型六】解三角形：角平分线型求最值 15
【题型七】解三角形：高的最值型 17
【题型八】解三角形：双余弦型 19
【题型九】三角形外接圆 21
专题二: 数列大题
【题型一】“函数型” 裂项求和: 基础型 5
【题型二】“函数型” 裂项求和: 指数函数型 7
【题型三】“函数型”裂项求和: 等差裂和型 9
【题型四】“函数型” 裂项求和: 指数型裂和 10
【题型五】“函数型” 裂项求和: 同构仿写型 11
【题型六】“函数型” 裂项求和: 三角函数裂项型 12
【题型七】递推公式：分式型不动点 13
【题型八】插入数型 14
【题型九】数列跳项型 16
【题型十】证明数列不等式 17
【题型十一】新结构第 19 题型：差分密码型 18
专题三: 概率大题
【题型一】超几何分布型分布列 7
【题型二】二项分布型分布列 9
【题型三】正态分布型 11
【题型四】分布列均值与方差 14
【题型五】竞技比赛型分布列 16
【题型六】多人比赛竞技型分布列 17
【题型七】递推数列型 19
【题型八】三人传球递推数列型 21
【题型九】导数计算型分布列最值 23
【题型十】机器人跳棋模式求分布列 26
专题四: 立体几何大题
【题型一】等角证明及建系型 5
【题型二】投影型证明与建系 7
【题型三】斜棱柱建系法 8
【题型四】翻折型建系求动点 10
【题型五】二面角及其延长线型建系 11
【题型六】最值型 13
【题型七】特殊的几何体 14
专题五: 解析几何大题
【题型一】轨迹 10
【题型二】新结构卷中 19 题 “定义” 型轨迹 11
【题型三】直线所过定点不在坐标轴上 12
【题型四】面积比值范围型 13
【题型五】非常规型四边形面积最值型 15
【题型六】“三定”型：圆过定点 16
【题型七】“三定”型：斜率和定 17
【题型八】“三定”型：斜率积定 18
【题型九】圆锥曲线切线型 19
【题型十】“韦达定理”不能直接用 21
【题型十一】“非韦达”型：点带入型 22
专题六: 导数大题
【题型一】导数含参讨论基础: 一次型双参 11
【题型二】导数含参讨论基础: 双线型 12
【题型三】导数含参讨论基础： 三角函数型 13
【题型四】恒成立求参：整数解型 14
【题型五】恒成立求参：三角函数型整数解 15
【题型六】能成立求参 16
【题型七】能成立求参: 双变量型 17
【题型八】能成立求参: 三角函数型 18
【题型九】零点型求参：两个零点与三个零点 19
【题型十】同构型求参 20
【题型十一】同构型证明不等式 22
【题型十二】三个零典型证明不等式 23
【题型十三】证明含三角函数型不等式 24
【题型十四】三角函数型极值点偏移 25
【题型十五】数列型不等式证明 26
题型方法梳理
一、正余弦定理与面积公式
1. 正弦定理 ( R 为三角形 ABC 的外接圆半径): asinA=bsinB=csinC=a+b+csinA+sinB+sinC=2R
⇔a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
⇔sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R
⇔sinA:sinB:sinC=a:b:c .
⇔bsinA=asinB
2. 余弦定理: (余弦“分式”, 边“平方”. )
① a2=b2+c2−2bccsA; ② b2=a2+c2−2accsB; ③ c2=a2+b2−2abcsC . (求边长或建立方
程)
④ csA=b2+c2−a22bc ; ⑤ csB=a2+c2−b22ac ; (C) csC=a2+b2−c22ab ; (求角、或“化角为边”)
3. 三角形面积公式:
① S=12aha=12bhb=12chc=12ra+b+cha 表示 a 边上的高, r 为 △ABC 的内切圆半径).
② S=12absinC=12bcsinA=12acsinB=abc4R ( R 为 △ABC 的外接圆半径).
③ SΔABC=pp−ap−bp−c ,其中 p=a+b+c2 ( 海伦公式 ) .
④ S△ABC=12ABACsinA=12AB⋅AC2−AB⋅AC2=12x1y2−x2y1 .
4. 三角形内角和定理:
在 △ABC 中,有 A+B+C=π⇔C=π−A+B⇔C2=π2−A+B2
(1) sinA+B=sinC,csA+B=−csC,tanA+B=−tanC
射影定理① a=c⋅csB+b⋅csC
② b=a⋅csC+c⋅csA
③ c=b⋅csA+a⋅csB
(2) sinA+B2=csC2,csA+B2=sinC2,tanA+B2=csC2/sinC2=ctC2
角形中, −tanC=tanA+B=tanA+tanB1−tanA⋅tanB⇔tanA+tanB+tanC=tanA⋅tanB⋅tanC
二、解三角形和解的个数问题
①已知三边: 可利用余弦定理求出剩余的三个角.
②已知两边及夹角: 可利用余弦定理求出第三边, 进而用余弦定理 (或正弦定理) 求出剩余两角.
③两角及一边: 利用两角先求出另一个角, 然后利用正弦定理确定其它两条边.
④已知三个角: 由相似三角形可知, 三个角对应相等的三角形有无数多个.
⑤已知两边及一边的对角: 比如已知 a,b,A ,所确定的三角形有可能唯一,也有可能是两个.
其原因在于当使用正弦定理求 B 时, asinA=bsinB⇒sinB=bsinAa ,
而 B∈0,π2∪π2,π 时,一个 sinB 可能对应两个角 ( 1 个锐角,1 个钝角),所以三角形可能不唯一.
三、常用结论
1. 在 △ABC 中, ①Asinπ2−B⇔sinA>csB
4. 在 △ABC 中, sinA=sinB⇒A=B 或 A+B=π （舍）, sin2A=sin2B⇒2A=2B 或 2A+2B=π
5. sinAcsA=sinBcsA⇒csA=0⇒A=π2csA≠0⇒a=b (三角形中余弦可为 0,正弦必大于 0 )
6. △ABC 为锐角三角形,且 A=2B ,则 B 的范围为 π6,π4
0b>0 经过点 A0,1 ,且右焦点为 F1,0 .
(1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2) 过点 0,12 的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点 P,Q ,直线 AP 与 x 轴交于点 M ,直线 AQ 与 x 轴交于点 N ,问以 MN 为直径的圆是否过 y 轴上的定点,若是求出定点坐标,若不是说明理由.
3. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左顶点为 A ,过左焦点 F 的直线与 C 交于 P,Q 两点. 当 PQ⊥x 轴时, PA=10,△PAQ 的面积为 3 .
(1) 求 C 的方程;
(2)证明: 以 PQ 为直径的圆经过定点.
【题型七】“三定”型：斜率和定
》》》解法指导
设抛物线 y2=2pxp>0 ,其上有不同的三点: Px0,y0,Ax1,y1,Bx2,y2x0≠x1≠x2 ,
当 lPA,lPB 的斜率 kPA,kPB 满足:
① kPA+kPB=tt≠0 时, lAB 过定点 x0−2y0t,2pt−y0
② kPA×kPB=tt≠0 时, lAB 过定点 x0−2pt,−y0 或者 y022p−2y0t,−y0
1. 已知点 F 是椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点, P 是椭圆 E 的上顶点, O 为坐标原点且
tan∠PFO=33 .
( 1 ) 求椭圆的离心率 e ;
（2）已知 M1,0,N4,3 ,过点 M 作任意直线 l 与椭圆 E 交于 A,B 两点. 设直线 AN,BN 的斜率分别为 k1,k2 ,若 k1+k2=2 ,求椭圆 E 的方程.
2. 在平面直角坐标系中,已知圆心为点 Q 的动圆恒过点 F1,0 ,且与直线 x=−1 相切,设动圆的圆心 Q 的轨迹为曲线 Γ .
(I) 求曲线 Γ 的方程;
(II) 过点 F 的两条直线 l1、l2 与曲线 Γ 相交于 A、B、C、D 四点,且 M、N 分别为 AB、CD 的中点. 设 l1 与 l2 的斜率依次为 k1、k2 ,若 k1+k2=−1 ,求证: 直线 MN 恒过定点.
3. 已知右焦点为 F1,0 的椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 经过点 D1,32 .
（1）求椭圆 C 的方程;
( 2 ) 经过 F 的直线 l 与椭圆 C 分别交于 A、B (不与 D 点重合),直线 DA、DB 分别与 x 轴交于 M、N , 是否存在直线 l ,使得 ∠DMN=∠DNM ? 若存在,求出直线 l 的方程; 若不存在,请说明理由.
【题型八】“三定”型：斜率积定
》》》 解法指导
给定椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 ,与椭圆上定点 Px0,y0 ,过 P 点走两条射线 PA、PB ,与椭圆交与 A 和 B 两点,记直线 PA、PB 的斜率分别为 K1, K2 ,则有
① 若 k1+k2=t ,则直线 AB 过定点 x0−2y0t,−y0−2b2x0a2t
② 若 k1⋅k2=t ,则直线 AB 过定点 2b2x0ta2−b2+x0,−2a2ty0ta2−b2+y0
1. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 经过点 3,12 ,其左焦点为 F1−3,0 .
(1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2)椭圆 C 的右顶点为 A ,若点 P,Q 在椭圆 C 上,且满足直线 AP 与 AQ 的斜率之积为 120 ,证明: 直线 PQ 过定点.
2. 已知椭圆 C:x24+y23=1 的左、右顶点分别为 A,B . 直线 l 与 C 相切,且与圆 O:x2+y2=4 交于 M,N 两点, M 在 N 的左侧.
(1) 若直线 l 的斜率 k=12 ,求原点 O 到直线 l 的距离;
(2) 记直线 AM,BN 的斜率分别为 k1,k2 ,证明: k1k2 为定值.
3. 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1,a>b>0 的离心率为 32 ,短轴长为 2 .
(1) 求椭圆 E 的方程;
(2)如图,已知 A,B,C 为椭圆 E 上三个不同的点,原点 O 为 △ABC 的重心;
① 如果直线 AB,OC 的斜率都存在,求证: kAB⋅kOC 为定值;
②试判断 △ABC 的面积是否为定值,如果是,求出这个定值; 如果不是,请说明理由.
【题型九】圆锥曲线切线型
》》》解法指导
在利用椭圆 (双曲线) 的切线方程时, 一般利用以下方法进行直线:
( 1) 设切线方程为 y=kx+m 与椭圆方程联立,由 Δ=0 进行求解;
( 2 ) 椭圆 (双曲线) x2a2±y2b2=1 在其上一点 x0,y0 的切线方程为 x0xa2±y0yb2=1 ,再应用此方程时,首先应
证明直线 x0xa2±y0yb2=1 与椭圆 (双曲线) x2a2±y2b2=1 相切.
双曲线 x2a2−y2b2=1 的以 x0,y0 为切点的切线方程为 x0xa2−y0yb2=1 .)
抛物线的切线:
( 1 ) 点 Px0,y0 是抛物线 y2=2mxm≠0 上一点,则抛物线过点 P 的切线方程是: y0y=mx0+x ;
(2) 点 Px0,y0 是抛物线 x2=2mym≠0 上一点,则抛物线过点 P 的切线方程是: x0x=my0+y .
1. 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的焦距为 23 ,且经过点 P−3,12 .
(1) 求椭圆 E 的标准方程:
(2) 过椭圆 E 的左焦点 F1 作直线 l 与椭圆 E 相交于 A,B 两点 (点 A 在 x 轴上方),过点 A,B 分别作椭圆的切线,两切线交于点 M ,求 ABMF1 的最大值.
2. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,焦距为 2,C 上一点 P 到 F1,F2 距离之和为 6 .
(1) 求 C 的方程;
(2) 设 C 在点 P 处的切线交 x 轴于点 Q ,证明: PF1⋅QF2=PF2⋅QF1 .
3. 法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父. 他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论: 一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆, 尊称为蒙日圆, 且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心, 半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根. 已知在椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 中,离心率 e=12 , 左、右焦点分别是 F1、F2 ,上顶点为 Q ,且 QF2=2,O 为坐标原点.
(1) 求椭圆 C 的方程,并请直接写出椭圆 C 的蒙日圆的方程;
(2)设 P 是椭圆 C 外一动点 (不在坐标轴上),过 P 作椭圆 C 的两条切线,过 P 作 x 轴的垂线,垂足 H ,若两切线斜率都存在且斜率之积为 −12 ,求 △POH 面积的最大值.
【题型十】“韦达定理”不能直接用
》》》解法指导
x1=λx2
1. 利用公式 x1+x22x1x2=x1x2+2+x2x1 ,可消去参数
2. 可以直接借助韦达定理反解消去两根
定比分点型,即题中向量 (或者线段长度满足) 可以利用公式 x1+x22x1x2=x1x2+2+x2x1 ,可消去
1. 已知椭圆 C:y2a2+x2b2=1a>b>0 的上下两个焦点分别为 F1,F2 ,过点 F1 与 y 轴垂直的直线交椭圆 C 于
M,N 两点, ΔMNF2 的面积为 3 ,椭圆 C 的离心率为 32 .
（1）求椭圆 C 的标准方程;
（2）已知 O 为坐标原点,直线 l:y=kx+m 与 y 轴交于点 P ,与椭圆 C 交于 A,B 两个不同的点,若存在实数 λ ,使得 OA+λOB=4OP ,求 m 的取值范围.
2. 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 Mx,y 与定点 F1,0 的距离和 M 到定直线 x=2 的距离的比是常数 22 ,点 M 的轨迹为曲线 E . (1) 求 E 的方程;
(2) 直线 l 交曲线 E 于 P,Q 两点,交 x 轴于 N 点,交 y 轴于 R 点,若 RP=λ1PN,RQ=λ2QN ,若 λ1+λ2=−4 , 求点 N 的坐标.
3. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 ,倾斜角为 30∘ 的直线过椭圆的左焦点 F1 和上顶点 B ,且 S△ABF1=1+32 (其中 A 为右顶点). (1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2) 若过点 M0,m 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 P,Q ,且 PM=2MQ ,求实数 m 的取值范围.
【题型十一】“非韦达”型: 点带入型
1. 已知 M 为椭圆 C:x225+y29=1 上的动点,过点 M 作 x 轴的垂线段 MD,D 为垂足,点 P 满足 PD=53MD .
(I) 求动点 P 的轨迹 E 的方程;
(II) 若 A,B 两点分别为椭圆 C 的左右顶点, F 为椭圆 C 的左焦点,直线 PB 与椭圆 C 交于点 Q ,直线 QF,PA 的斜率分别为 kQF,kPA ,求 kQFkPA 的取值范围.
2. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 22 ,上顶点 A 到右焦点的距离为 2 . 过点 D0,mm≠0 作不垂直于 x 轴, y 轴的直线 l ,交椭圆 E 于 P,Q 两点, C 为线段 PQ 的中点, 且 AC⊥OC .
（1）求椭圆 E 的方程;
（2）求实数 m 的取值范围;
（3）延长 AC 交椭圆 E 于点 B ,记 △AOB 与 △AOC 的面积分别为 S1,S2 ,若 S1S2=83 ,求直线 l 的方程.
3. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左焦点为 F−3,0 ,点 A−3,12 在椭圆 C 上.
（1）求椭圆 C 的方程;
（2）已知圆 O:x2+y2=a2 ,连接 FA 并延长交圆 O 于点 B,H 为椭圆长轴上一点 (异于左、右焦点),过点 H 作椭圆长轴的垂线分别交椭圆 C 和圆 O 于点 P,Q ( P,Q 均在 x 轴上方). 连接 PA,QB ,记 PA 的斜率为 k1 , QB 的斜率为 k2 .
① 求 k2k1 的值;
②求证: 直线 PA,QB 的交点在定直线上.
4. 已知双曲线 Ω:x2a2−y2b2=1a>0,b>0,A2,0,B−32,−152,C32,152,D−1,0,E4,0 五点中恰有三点在 Ω 上. （1）求 Ω 的方程;
（2）设 P 是 Ω 上位于第一象限内的一动点,则是否存在定点 Qm,0m0,fx和gx在−∞,A与A,+∞内可导,且g′x≠0limx→∞f′xg′x=l⇒
那么 limx→∞fxgx=limx→∞f′xg′x=l .
（3）若函数 fx 和 gx 满足下列条件:
limx→afx=∞及limx→agx=∞在点a的去心邻域内,fx与gx可导,且g′x≠0limx→af′xg′x=l⇒limx→afxgx=limx→af′xg′x=l.
6. 构造函数法 (同构)
（1）基础变形方式
① xex=ex+lnx ; ② exx=ex−lnx ; ③ xex=elnx−x ; ④ x+lnx=lnxex ; ⑤ x−lnx=lnexx .
（2）积、商、和差型变形方式
①积型: aea≤blnb⇒a⋅ea≤lnb⋅elnb⇒fx=xex (同左)
⇒ea⋅lnea≤b⋅lnb⇒fx=xlnx(同右)
⇒a+lna≤lnb+lnlnb⇒fx=x+lnx(取对数)
②商型: eaalnx⇒axeax>xlnx ;
② ex>alnax−a−a⇒1aex>lnax−1−1⇒ex−lna−lna>lnx−1−1
⇒ex−lna+x−lna>lnx−1+x−1=elnx−1+lnx−1 ;
③ ax>lgax⇒exlna>lnxlna⇒xlnaexlna>xlnx
④ x+1ex≥xa−lnxax>0⇒1ex−ln1ex≥xa−lnxa⇒fx=x−lnx
⑤ xa+1ex≥−alnx⇒xex≥−alnxxa⇒xex≥−alnx⋅e−alnx⇒fx=xex
（4）地位同等同构（双变量合二为一）
① fx1−fx2x1−x2>kx10
（2）指数处理技巧——指数找基友
① 设 fx>0 ,则 fx+gxex>0⇔gxfxex+1>0
② 设 gx>0 ,则 fx+gxex>0⇔fxgxe−x+1>0
5. 放缩法
（1）切线不等式
① ex≥x+1 ; ② lnx≤x−1 ; ③ ex≥ex ; ④ lnx≤1ex ; ⑤ lnx≥1−1x .
（2）与三角有关的一些不等式
① 当 x≥0 时, sinx≤x , csx≥1−x22 ; ② 当 0≤x≤π2 时, csx≤1−x24 ;
③ 当 0