数学-待定系数法、换元法、转换法是运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝

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在运用函数与方程思想解题的过程中, 在确定函数、方程、不等式的参变数的值时需要运用待定系数法, 而构 造法又常常与待定系数法紧密相联, 换元法往往可以使较为复杂的问题变为基本题型, 许多数学问题就是在 不断转换的过程中加以解决的 . 如函数问题可以转换为方程问题求解, 方程问题可以转换为函数问题通过图 像结合不等式知识求解, 善于转换是数学核心素养的体现.
典型例题
1 设抛物线y = ax2+bx + c 过点A (1,2(和B(-2,-1( .
(1) 试用 a 表示 b 和c;
(2) 对于任意非零实数 a, 抛物线都不过点P(m,m2+1( , 试求m 的值.
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2 (1) 已知数列 {an{中,a1= 10, 且 an= 15an-1 +2 ⋅ 5n, 求这个数列的通项公式;
(2) 已知数列 {an{中,a1= 3,a2= 5,an= an-2 +4n - 3(n ≥ 3( , 求通项公式 an.
3 设 a 为实数, 函数f (x( = a 的最大值为g(a( .
的取值范围, 并把f (x(表示为 t 的函数m (t( ;
(2) 求g(a( ;
(3) 试求满足g(a( =g( 的所有实数.
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4 如图 3 - 3 所示, 设直线 l 与椭圆 + y2 = 1 相切, 切点为 P, 点 M 是坐标原点 O 在直线 l 上的正投影,
求 |MP| 的最大值和最小值.
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