内蒙古自治区巴彦淖尔市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份内蒙古自治区巴彦淖尔市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 在正中，向量在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A. 或B. 或C. D.
4. 某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则该商场这个月所有销售员销售额的平均数为（ ）
A. 万元B. 万元C. 万元D. 万元
5. 已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则
6. 某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，后来复查数据时，又将重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 极差D. 众数
7. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）

A. B. C. D.
8. 已知四边形的顶点都在半径为2的圆上，且经过圆的圆心，，四边形的面积为，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知事件两两互斥，若，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知复数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 在长方体中，，点在线段上，则直线与平面所成角的正弦值可能为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 复数虚部为______．
13. 如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是正方形，，则该四棱台的体积为__________.
14. 已知是外心，若，则内角的最大值是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 已知向量，.
（1）若，求；
（2）若向量，，求与夹角的余弦值.
16. 某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品，对其质量（单位：g）进行统计，并将样本数据分为六组，得到如下频率分布直方图．

（1）试估计样本数据的分位数；
（2）从样本数据在内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例，再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中恰有1件产品的质量在内的概率；
（3）若规定质量在内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取2件产品，求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率．
17. 某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的.
（1）求甲第二次答题通过初赛的概率；
（2）求乙通过初赛的概率；
（3）求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率.
18. 是直线外一点，点在直线上（点与两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记．在中，角的对边分别是，点在射线上．
（1）若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值；
（2）若，由点对施以视角运算，，求的周长．
19. 在四棱锥中，平面，平面平面分别为的中点．

（1）证明：平面．
（2）证明：．
（3）若二面角的正切值为，求三棱锥的体积．
巴彦淖尔市2023—2024学年下学期高一期末考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的几何意义判断即可.
【详解】在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D
2. 在正中，向量在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正三角形的性质及投影向量的定义计算可得.
【详解】在正中，，
所以，
所以向量在方向上的投影向量为.
故选：C
3. 在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】由正弦定理可得，即，
且，则或.
故选：A
4. 某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则该商场这个月所有销售员销售额的平均数为（ ）
A. 万元B. 万元C. 万元D. 万元
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数公式计算可得.
【详解】该商场这个月所有销售员销售额的平均数为：
（万元）.
故选：B
5. 已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，判断平行或垂直.
【详解】A.若若，则或，故A错误；
B. 若，则与相交或平行，故B错误；
C.若直线相交，若，则，若直线平行，则或相交，故C错误；
D.满足面面垂直的性质定理，故D正确.
故选：D
6. 某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，后来复查数据时，又将重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 极差D. 众数
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由平均数，中位数，极差以及众数的定义，即可判断.
【详解】平均数是所有数据之和再除以这组数据的个数，故平均数有可能改变，
中位数是按照顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，故中位数也可能改变，
极差表示一组数据中最大值与最小值之差，将重复记录在数据中，最大值与
最小值并未改变，所以极差一定不变，
众数是一组数据中出现次数最多的数，有可能改变.
故选：C
7. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将四棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，又长方体的体对角线即为外接球的直径，求出外接球的半径，即可求出其表面积.
【详解】因为在四棱锥中，底面是矩形，平面，
如图将四棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，
又，设长方体外接球的半径为，则，
所以外接球的表面积.
故选：A

8. 已知四边形的顶点都在半径为2的圆上，且经过圆的圆心，，四边形的面积为，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将四边形的面积转化为，利用三角形面积公式，结合两角差的正弦公式进行化简，可得，结合，从而可求出，进而可求出.
【详解】连接，则为等边三角形，，
四边形的面积为
，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
，
，
，
所以，
因为，所以，
所以或，
所以，或，
因为，所以舍去，所以，
所以为等腰直角三角形，所以.
故选：C
【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查三角形面积公式的应用，解题的关键是将四边形的面积转化为，再利用三角形面积公式化简，结合三角函数恒等变换公式可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知事件两两互斥，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据互斥事件的概率加法公式计算可得.
【详解】因为事件两两互斥，所以，故D正确；
，则，故A正确；
，则，故B错误；
，故C正确.
故选：ACD
10. 已知复数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，然后由复数的模长公式代入计算，逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为，则，所以，
则，故A正确；
当时，，
当时，，故B错误；
因为，则，故C错误；
因为，则，故D正确；
故选：AD
11. 在长方体中，，点在线段上，则直线与平面所成角的正弦值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据线面角的定义，结合垂直关系，转化为求的最值，再结合选项判断.
【详解】连结，
因为平面，平面，
所以平面平面，且平面平面，
过点作，连结，则平面，
为与平面所成线面角，
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，且平面，平面，
所以平面，所以，
连结，，，
因为，当点是的中点时，，此时最短，
，
当点在或时，最长，最大值为5，
所以，选项AB在范围内.
所以直线与平面所成角的正弦值可能为或.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 复数的虚部为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部即可.
【详解】因，
所以复数的虚部为.
故答案为：
13. 如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是正方形，，则该四棱台的体积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出四棱台的高，再根据棱台的体积公式计算即可.
【详解】在四棱台中，分别是上下底面对角线的交点，即上下底面的中心，为四棱台的高，
过点作与交于点，则，
四边形和四边形都是正方形，且，则
，，则，，
，即四棱台的高.
又上底面积，下底面积，
则该四棱台的体积为.
故答案为：.
14. 已知是的外心，若，则内角的最大值是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】取的中点，连接，因为是的外心，所以，根据平面向量加法的三角形法则和平面向量数量积的定义将和转化为边得到边之间的关系，再利用余弦定理结合重要不等式即可求解.
【详解】取的中点，连接，如图：
因为是的外心，所以，
设中对应边分别为，
则
，
同理可得，
因为，
所以，
根据余弦定理得：，
当且仅当时等号成立，
因为函数在为减函数，且，
所以内角的最大值是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，.
（1）若，求；
（2）若向量，，求与夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用向量垂直的坐标结论求出，再用模公式求解即可；
（2）用向量平行的坐标结论求出，再用夹角的坐标公式求解即可；
【小问1详解】
因为，，所以.
由，可得，
即，解得，
所以，故.
【小问2详解】
依题意得.
因为，所以
解得，则.
，，，
所以，
所以与夹角的余弦值为.
16. 某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品，对其质量（单位：g）进行统计，并将样本数据分为六组，得到如下频率分布直方图．

（1）试估计样本数据的分位数；
（2）从样本数据在内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例，再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中恰有1件产品的质量在内的概率；
（3）若规定质量在内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取2件产品，求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率．
【答案】（1）73.75g
（2）
（3）0.1164
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图估计样本数据的分位数.
（2）求出5件产品中两个指定区间内的产品数，再利用列举法求出古典概率.
（3）求出优等品率，再利用对立事件的概率公式计算即得.
【小问1详解】
由频率分布直方图知，样本数据在的频率为，在的频率为，
则样本数据的分位数，于是，解得，
所以样本数据的分位数约为73.75g.
【小问2详解】
样本数据在内的产品被抽取的件数为，记为，
样本数据在内的产品被抽取的件数为，记为
则从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品的情况有：
，共10种，
其中标准样例中恰有1件产品的质量在内的情况有6种．
所以标准样例中恰有1件产品的质量在内的概率为．
【小问3详解】
依题意，从该生产线上随机抽取1件产品，该件产品为优等品的概率为，
则抽取到的产品中至少有1件优等品的概率为．
17. 某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的.
（1）求甲第二次答题通过初赛的概率；
（2）求乙通过初赛的概率；
（3）求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得；
（3）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.
【小问1详解】
记甲第二次答题通过初赛事件，则；
【小问2详解】
记乙通过初赛为事件，则；
【小问3详解】
依题意甲、乙、丙每人通过初赛的概率均为，
记甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛为事件，
则.
18. 是直线外一点，点在直线上（点与两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记．在中，角对边分别是，点在射线上．
（1）若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值；
（2）若，由点对施以视角运算，，求周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，从而得到，即可得解；
（2）根据所给定义及条件得到，再由余弦定理求出，即可求出，从而求出三角形的周长；
【小问1详解】
因为是角的平分线，所以且在线段上，
所以，
又，所以；
【小问2详解】
因为点在射线上，，且，所以在线段外，且，
所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，解得（负值已舍去），
所以，
所以的周长为.
19. 在四棱锥中，平面，平面平面分别为的中点．

（1）证明：平面．
（2）证明：．
（3）若二面角的正切值为，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）48
【解析】
【分析】（1）连接，证明，由线线平行证线面平行即得；
（2）过作交于，证平面得，由平面得，可证平面，即得；
（3）过作交于,证平面，作交于，连接，证即为二面角的平面角，由题设，通过两组三角形相似求出即得.
【小问1详解】
如图，连接．

因为分别为的中点，所以为的中位线，则．
因为平面平面，所以平面．
【小问2详解】
如图，过作交于．

因平面平面，平面平面，平面，故平面．
因为平面，所以．
因为平面平面，所以．
因为，所以平面，
又平面，所以．
【小问3详解】
如图3，过作交于，过作交于，连接．

因平面，平面,则,
因平面,故得平面.
因平面,则．
因为，平面,所以平面.
又平面，则，则即为二面角的平面角，
依题意，．
设，则．因为，所以．
由，得，即，则．
又由，得，即，解得．
因,则的面积为，
故．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的判定和二面角的几何求法，属于难题.
解题关键在于充分利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理，结合图形执果索因即可；对于二面角的求法，一般是先找到平面的垂线，再由垂足向棱作垂线,连线后即可证得其平面角.