精品解析：山东省日照市岚山区岚山区教育科学研究中心2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 本试题分第I卷和第II卷两部分，共6页．满分120分．考试时间为120分钟．
2. 答第I卷前务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题卡规定位置上．考试结束，本试卷和答题卡一并收回．
3. 第I卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．不涂在答题卡上，答在试卷上无效．
4. 第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．
第Ⅰ卷（选择题 30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（ ）
A. 全等性B. 对称性C. 稳定性D. 美观性
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答．
【详解】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性，
故选；C．
2. 围棋起源于中国，古代称之为“奔”，至今已有四千多年的历史，下列由黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了轴对称图形，即“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
3. 已知中，其中有两边长是2和5，且的第三边长是偶数，则此三角形的周长为（ ）
A. 11B. 12C. 13D. 11或13
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再由第三边长是偶数求出第三边的长，最后根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵中，其中有两边长是2和5，
∴第三边长，即第三边长，
又∵第三边长为偶数，
∴第三边长为4或6，
∴该三角形的周长为或，
故选：D．
4. 若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解．
【详解】由题意得，，
解得，
故选：．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
6. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点分别是的中点，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据三角形全等的判定方法“”即可证明．
【详解】∵点分别是的中点，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴．
故选：C
7. 如图所示，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积是解决本题的关键．
分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，根据面积相等，即可解答．
【详解】解：甲图中阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：，
所以，
故选：B．
8. 如图，在中，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与尺规作图等等，先由等边对等角和三角形内角和定理得到，由作图方法可知，垂直平分，则由线段垂直平分线的性质得到，据此可证明得到，，即可判断C；由三角形外角的性质得到得到，据此可判断A、D；进而可证明，即可判断B．
【详解】解：∵在中，，
∴，
由作图方法可知，垂直平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，故C正确，不符合题意；
∴，
∴，，故A正确，不符合题意，D错误，符合题意；
∴，即，
∴，故B正确，不符合题意；
故选：D．
9. 对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，以此类推…，则分式等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式定义，规律问题．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让，根据结果即可确定．
【详解】解：，
，
，
，
，
，，，
个一循环，
，
，
故选：D．
10. 如图，点是边上一点，将沿折叠，使点落在上的点处，连接的平分线交于点，若，那么下列结论中：①平分；②是的垂直平分线；③；④．其中正确的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】此题重点考查轴对称的性质、等腰三角形的“三线合一”、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识．由折叠得，点与点关于直线对称，则平分，是的垂直平分线，可判断①正确，②正确；由，得，，所以，而，所以，，即可证明，则，所以，可判断③正确；由，得，可判断④错误，于是得到问题的答案．
【详解】解：由折叠得，点与点关于直线对称，
平分，是的垂直平分线，
故①正确，②正确；
∵，
，，
，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
故③正确；
，，
，
，
故④错误，
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接写在答题卡相应位置上）
11. 2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步，已知28nm为0.000000028 米，数据0.000000028用科学记数法表示为_________
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据0.000000028用科学记数法表示为，
故答案为：．
12. 一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是______．
【答案】6##六
【解析】
【分析】此题主要考查了多边形的内角与外角的关系．先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于，再用除以外角的度数，即可得到边数．
【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于，
∴多边形的每一个外角都等于，
∴边数．
故答案为：6．
13. 若多项式分解因式的结果为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系，根据题意可得，据此可推出，再代值计算即可．
【详解】解：∵多项式分解因式结果为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，恰有，则的度数为______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，根据三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，，则由平行线的性质得到，进而得到，则，再由三角形内角和定理可得．
【详解】解：∵，
∴
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 若分式方程的解是正数，则的取值范围为______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得到，再根据分式方程的解为正数以及方程不能有增根得到，解之即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵分式方程的解是正数，
∴，
∴且，
故答案为：且．
16. 如图，的面积是12，，的平分线交于点D，M，N分别是线段，上的动点，则的最小值是______．

【答案】3
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质，点到直线的距离垂线最短，过作，过作，根据角平分线性质得到，结合垂线段最小过作即可得到最小距离点即可得到答案；
【详解】解：过作，过作，
∵是的平分线，，，
∴，
，
∴，
∴当三点共线时最小，
过作，即可得到，
∵的面积是，，
∴，
故答案为：3．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，积的乘方和单项式乘以单项式的计算：
（1）根据多项式乘以多项式的计算法则进行求解即可；
（2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
，
=．
18. 先化简，再求值：
（1），其中；
（2），其中．
【答案】（1），6
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，分式的化简求值：
（1）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可；
（2）先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【小问1详解】
解：
，
当时，原式；
【小问2详解】
解：
，
当时，原式．
19. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF.
求证：（1）△BDE≌△CDF；
（2）AD是△ABC的角平分线.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出BD=DC，∠DEB=∠DFC=90°，根据HL即可证Rt△BDE≌Rt△CDF；（2）由△BDE≌△CDF可得DE=DF，再根据角平分线的判定即可得AD是△ABC的角平分线.
【详解】（1）∵点D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）；
（2）∵△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，
即AD是△ABC的角平分线.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定，熟练掌握相关内容是解此题的关键.
20. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，．

（1）若与关于轴对称，请你在平面直角坐标系中画出，并分别写出点的对应点的坐标；
（2）点与点关于轴对称，则______，______；
（3）求的面积．
【答案】（1）画图见解析，
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，割补法求三角形面积，解二元一次方程组：
（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同求出A、B、C对应点的坐标，再在坐标系中描出，最后顺次连接即可；
（2）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到方程组，接方程组即可得到答案；
（3）利用割补法求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求，
∴；
【小问2详解】
解：∵点与点关于轴对称，
∴的坐标为，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问3详解】
解：由题意得，
21. 数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点，分别是边上的点，若沿直线折叠，点的对应点为点．
（1）若如图1所示，点恰好在边上，则与数量关系是______．
（2）若如图2所示，点在内部，，求的度数；
（3）若如图3所示，点在外部，直接写出和之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，等边对等角，三角形外角的性质等等：
（1）由折叠的性质可得，则，再由三角形外角的性质可得；
（2）先由三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，进而得到；
（3）由折叠的性质可得，，则由平角的定义可得，则由三角形内角和定理可得，由平角的定义求出，即可推出．
【小问1详解】
解：由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，即，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22. 对于任意实数，我们规定：，例如：．
（1）填空：
①______，
②若，则______；
（2）若，且，求与的值；
【答案】（1）①；②
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，完全平方公式的变形求值：
（1）①根据新定义可得；②根据新定义可得方程，解方程即可得到答案；
（2）根据新定义得到，即，再根据完全平方公式的变形求出，则．
【小问1详解】
解；①由题意得，，
故答案为：；
②∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
23. 春节期间，晓东计划和家人自驾来阿掖山游玩，晓东家汽车是某型号油电混合动力汽车，有用油和用电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用．经过计算，该汽车从晓东家行驶到阿掖山，全程用油驱动需60元油费，全程用电驱动需12元电费，已知每行驶1千米，用油比用电的费用多元．
（1）求该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费；
（2）若驾驶该汽车从晓东家行驶至阿掖山，游玩后再返回家，需要燃油和用电两种驱动方式，往返全程用电和用油的总费用不超过78元，则最多用油行驶多少千米？
【答案】（1）该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费为元
（2）最多用油行驶90千米
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费为x元，则该汽车用油驱动方式行驶1千米的电费为元，根据全程用油驱动需60元油费，全程用电驱动需12元电费列出方程求解即可；
（2）先求出晓东家与阿掖山的距离为，用油驱动方式行驶1千米的费用为元，设用油行驶，则用电行驶，再根据总费用不超过78元列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费为x元，则该汽车用油驱动方式行驶1千米的费用为元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
答：该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费为元；
【小问2详解】
解：，，
∴晓东家与阿掖山的距离为，
设用油行驶，则用电行驶，
∵往返全程用电和用油的总费用不超过78元，
∴，
解得，
∴m最大值为90，
答：最多用油行驶90千米．
24. 已知，如图1，在等边中，与的角平分线交于点，点、分别在边上，且，猜想、、三者之间的数量关系．
（1）方法探索：
小敏的思路是：如图3，在上取一点，使，连接．先证明______，从而______；继而证明______，从而______；因此可判断、、三者之间的数量关系是______；
（2）拓展运用：
如图2，点在边上，点在的延长线上，其它条件不变，猜想、、三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；；；；
（2）猜想，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等角对等边等知识点：
（1）如图3，在上取一点，使，连接，先证明得到，；继而证明得到从而，进一步可证明；
（2）如图所示，在延长线上截取，连接，先证明，得到，，继而证明，得到，进一步可证明．
【小问1详解】
解：如图3，在上取一点，使，连接，
∵在等边中，与的角平分线交于点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；；；；；
【小问2详解】
解：猜想，理由如下：
如图所示，在延长线上截取，连接，
∵在等边中，与的角平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．