广东省清远市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份广东省清远市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析），共22页。

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置．
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 为了调查某地三所学校未成年人的视力情况，计划采用分层随机抽样的方法从该地的，，三所中学抽取130名学生进行调查，已知，，三所学校中分别400，560，340名学生，则从学校中应抽取的人数为（ ）
A. 34B. 40C. 56D. 68
2. 要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（ ）
A. 横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
B. 横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
C. 横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
D. 横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
3. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B. 一个多面体至少有4个面
C. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间部分是棱台
4. 将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（ ）
A B. C. D.
5. 弹簧挂着的小球作上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米的关系可用函数（，）来确定，其图象如图所示，则的值是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知正方形的边长为2，，，，则（ ）
A. 0B. 8C. D.
7. 设为复数，若，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 已知正方体棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”．则下列结论正确的是（ ）
A. ，为对立事件B. ，为互斥不对立事件
C. ，不是互斥事件D. ，是互斥事件
10. 甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：
甲68 71 72 72 82
乙66 70 72 78 79
则（ ）
A. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B. 甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数
C. 甲组数据的方差小于乙组数据的方差
D. 甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差
11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 角的最大值为
C. D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 复数，则的虚部为______．
13. 在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则______．
14. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且点满足，已知，，，则到平面的距离为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知复数，求当实数为何值时；
（1）为实数；
（2）为纯虚数；
（3）为虚数．
16. 某高校承办了某大型运动会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的众数；
（2）求，的值；
（3）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数．
17. 中，角，，的对边分别为，，，若．
（1）求；
（2）若且的面积为，求边长．
18. 如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值.
19. 将连续正整数（）从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率．
（1）求；
（2）当时，求表达式；
（3）令为这个数中数字9个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值．清远市2023～2024学年第二学期高中期末教学质量检测
高一数学
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置．
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 为了调查某地三所学校未成年人的视力情况，计划采用分层随机抽样的方法从该地的，，三所中学抽取130名学生进行调查，已知，，三所学校中分别400，560，340名学生，则从学校中应抽取的人数为（ ）
A. 34B. 40C. 56D. 68
【答案】A
【解析】
【分析】根据分层随机抽样的抽样方法可得.
【详解】由题意抽样比为，
所以从学校中应抽取的人数为，
故选：A
2. 要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（ ）
A. 横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
B. 横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
C. 横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
D. 横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可.
【详解】将函数的图象上各点横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变，
得的图象.
故选：C.
3. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B. 一个多面体至少有4个面
C. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
【答案】B
【解析】
【分析】根据简单几何体的定义以及结构特征去判断即可.
【详解】正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误；
多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，；
有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误；
用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误.
故选：B.
4. 将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正方体的棱长求得正方体内切球的半径，代入球的表面积公式求解．
【详解】正方体的棱长为1，要使制作成球体零件最大，
则球内切于正方体，则球的直径为1，半径为，
可能制作的最大零件的表面积为.
故选：B.
5. 弹簧挂着的小球作上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米的关系可用函数（，）来确定，其图象如图所示，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数图象得到周期，利用公式可求的值.
【详解】函数（，），由图象可知，
最小正周期，则有.
故选：C
6. 已知正方形的边长为2，，，，则（ ）
A. 0B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，以为原点，建立平面直角坐标系，根据题意表示出的坐标，从而可求出，进而可求出其模.
【详解】如图，以为原点，建立平面直角坐标系，
则，
所以，，，
所以，
所以.
故选：D
7. 设为复数，若，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】设，根据题意求出的关系，再根据复数的模的公式即可得解.
【详解】设，
由，得，所以，
由，解得，
则，
所以当时，.
故选：A.
8. 已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取的中点，由证得，再由平面证得，从而得到平面，同理证得，利用线面垂直的判定定理证得平面，得到平面截正方体的截面为，进而求得截面的面积.
【详解】取的中点，分别连接
在正方形中，因为分别为的中点，
，
可得，
所以，因为，
所以，
所以，即，
又因为分别为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可证，
又因为且平面，
所以平面，
即平面截正方体的截面为，
由正方体的棱长为4，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
直角中，可得，
所以，
所以截面的面积为
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是根据题意确定所求截面为，从而得解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”．则下列结论正确的是（ ）
A. ，为对立事件B. ，为互斥不对立事件
C. ，不互斥事件D. ，是互斥事件
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据对立事件、互斥事件的概念及事件之间的关系，可得答案.
【详解】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F对立事件，选项A正确；
点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，G，H为互斥且对立事件，选项B不正确；
点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确；
点数大于2与点数为1不可能同时发生，G，R为互斥事件，选项D正确.
故选：ACD.
10. 甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：
甲68 71 72 72 82
乙66 70 72 78 79
则（ ）
A. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B. 甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数
C. 甲组数据的方差小于乙组数据的方差
D. 甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据已知数据求出甲与乙的极差、平均数、方差、甲乙两组数据混合后的方差，进行比较，即可得出答案.
【详解】对于A，由已知可得，甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，故A正确；
对于B，由已知可得，甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数为，故B项正确；
对于C，由已知可得，甲组数据的方差为，
乙组数据的方差为，故C项正确；
对于D，由前面可知甲乙两组数据混合后，方差为，
，故D项错误.
故选：ABC.
11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 角的最大值为
C. D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】由向量数量积运算得，可判断选项A；结合余弦定理及基本不等式，可求得的最大值判断选项B；可举反例判断选项C；结合条件可得，，计算即可判断选项D.
【详解】由可知，整理可知，A正确；
，
当且仅当时取等号，又，的最大值为，故B正确；
由特例，满足，可知C错误；
由可得，解得，又，
从而可得，，为最大边，
，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：
先利用向量垂直的坐标运算，化简得，根据各选项的内容，利用正余弦定理和基本不等式，通过计算对选项中的结论进行判断.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 复数，则的虚部为______．
【答案】##-2.2
【解析】
【分析】由复数的除法化简，再由复数虚部的定义得解.
【详解】复数，则，此复数的虚部为.
故答案为：
13. 在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】利用余弦定理，将，，，代入计算可得到.
【详解】在中，已知，，，
由余弦定理得，得，
即，解得或，而， 所以.
故答案为：5.
14. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且点满足，已知，，，则到平面的距离为______．
【答案】##
【解析】
【分析】到平面距离，即三棱锥的高，由，利用等体积法求解.
【详解】取靠近点的三等分点，连接，取靠近点的三等分点，连接，
底面是矩形，，，
，， 则，且，
又底面，底面，，，
而，平面，
所以平面，平面，
即为三棱锥的高，，
在中，，，
在中，，
中，，，
在中，，则，
，
在中，，
在中，
，
在中，，，，
由余弦定理，则
，
设到平面的距离为，
，所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
点到平面的距离，转化为对应棱锥的高，利用等体积法求解，由图形中的垂直关系，利用勾股定理和余弦定理计算需要的边长和面积.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知复数，求当实数为何值时；
（1）为实数；
（2）为纯虚数；
（3）为虚数．
【答案】（1）
（2）或
（3）且
【解析】
【分析】（1）根据复数为实数的条件，列方程和不等式组m的值；
（2）根据复数为纯虚数的条件，列方程和不等式求m的值；
（3）根据复数为虚数的条件，列不等式组求m的值即可.
【小问1详解】
当且时，复数为实数，解得，
所以时，复数为实数；
【小问2详解】
当且且时，复数为纯虚数，
解得或，
所以或时，复数为纯虚数；
【小问3详解】
当且时，复数为虚数，解得且，
所以且时，复数为虚数.
16. 某高校承办了某大型运动会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的众数；
（2）求，的值；
（3）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数．
【答案】（1）;
（2）;
（3）.
【解析】
【分析】（1）可利用频率分布直方图来估计众数，即取频率最大的那组中点值；
（2）可利用频率分布直方图来计算概率和为1，再联立方程组求解即可；
（3）利用频率分布直方图中的面积和为0.8来计算第80百分位数．
【小问1详解】
根据频率分布直方图可知，第三组数据频率最大，取中点值为，
所以估计这100名候选者面试成绩的众数为；
【小问2详解】
由频率分布直方图中的频率和为1可得，，
化简得：，
又由第三、四、五组的频率之和为0.7，则，
化简得：，所以；
【小问3详解】
第一组频率为，第二组频率为，
第三组频率为，，第四组频率为，
所以可设这100名候选者面试成绩的第80百分位数估计为，
则，解得：，
即可估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数为．
17. 中，角，，的对边分别为，，，若．
（1）求；
（2）若且的面积为，求边长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式化简进行求解即可；
（2）由正弦定理得，，代入面积公式求边长．
小问1详解】
中，，
由正弦定理得，
又，
所以，
由于，，有，
所以，又，则，所以.
【小问2详解】
由（1），
而，
由正弦定理有，从而，，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为，
由已知的面积为，可得，所以.
18. 如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值.
【答案】（1）证明见详解
（2）证明见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）如图，连接，可得，则得平面；
（2）由已知，可得都是等腰直角三角形，则，又得平面，则得，则平面，得；
（3）由已知和（2）可得，为直线与底面所成的角，进而证得即为二面角的平面角，再利用三角形相似求得，从而得解.
【小问1详解】
如图，连接，
因为为边上的中点，为边上的中点，
所以，又平面，又平面，
所以平面.
【小问2详解】
在四边形中，，，，
则，
所以，则，
所以都是等腰直角三角形，则，
又平面平面，，即，
平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，又平面，
所以平面，又平面，
所以.
【小问3详解】
已知，直线与底面所成角的余弦值为，
由（2）知，，平面，
则为直线与底面所成的角，则，
所以在中，则，，
取的中点，连接，过作的垂线交于，连接，
由，平面，平面平面，平面平面，
则平面，
又平面，所以，，
，平面，，
所以平面，又平面，所以，
则即为二面角的平面角，
因为，，
又，所以，又，
则在中，由勾股定理，
则，所以.
19. 将连续正整数（）从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率．
（1）求；
（2）当时，求的表达式；
（3）令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）计算，数字0的个数为12，得到概率；
（2）考虑，，，四种情况，依次计算得到答案；
（3）考虑当时， 时， 当时三种情况，得到和的解析式，得到，再计算概率的最值得到答案.
【小问1详解】
当时，，即这个数中共有195个数字，
其中数字0的个数为12，则恰好取到0的概率为.
【小问2详解】
当时，这个数由n个1位数组成，；
当时，这个数有9个1位数，个两位数组成，则；
当时，这个数有9个1位数，90个两位数，个三位数组成，；
当时，这个数有9个1位数，90个两位数，900个三位数，
个四位数组成，；
综上所述：.
【小问3详解】
当时，，
当时，，
当时，，即，
同理有，
由，可知，
所以当时，，
当时，，当时，，
当时，，
由关于单调递增，
故当时，有最大值为，
又，所以当时的最大值为．
【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，（2）要考虑，，，四种情况，依次计算；（3）考虑当时， 当时， 当时三种情况，得到和的解析式，得到，再讨论计算概率的最值，其中分类讨论的思想是解题的关键.