广东省惠州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份广东省惠州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共26页。试卷主要包含了 设z为复数等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.
2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.
3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1. 在复平面中，复数对应点的坐标在（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 下列命题中正确的是（ ）
A. 零向量没有方向B. 共线向量一定是相等向量
C. 若为实数，则向量与方向相同D. 单位向量的模都相等
3. 已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（ ）
A. 32，90B. 32，92C. 30，90D. 30，92
4. 已知向量，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少20，则（ ）
A. 100B. 120C. 200D. 240
6. 设，是两个不重合的平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，则
7. 掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ）
A. 与是对立事件B. 与是互斥事件
C. 与是相互独立事件D. 与是相互独立事件
8. 已知直三棱柱的体积为8，二面角的大小为，且，，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A. 圆柱的侧面积为B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球面面积相等D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
10. 设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确有（ ）
A. 若，则
B. 对任意复数，，有
C. 对任意复数，，有
D. 在复平面内，若，则集合M所构成区域的面积为
11. 在中，角所对的边分别是，，，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则面积的最大值为
B. 若，，则面积的最大值为
C. 若，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
D. 若，且，则该三角形内切圆面积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是、，那么恰好只有1人解对题的概率是________.
13. 已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为，中位数为，则与的大小关系为________.
14. 如图，已知在直三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，，，，.当是棱的中点，则三棱锥体积为________；当三棱锥的外接球的半径最小时，直线与所成角的余弦值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，已知，，点为线段中点，，设，.

（1）用向量，表示；
（2）若，求.
16. 已知有下面三个条件：
①；②；③；
请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在中，角所对的边分别是，，，且________.
（1）求角A的大小；
（2）若是的角平分线，且，，求线段的长.
17. 为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%.
（1）根据图1、图2中的数据，补全表格；
（2）求图1中m的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数；
（3）抽取100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率.
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，面面，是的中点.
（1）求证：∥平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出如果不存在，说明理由.
19. 将连续正整数1，2，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率.
（1）求
（2）当时，求的表达式.
（3）令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值.
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常总结整理
不经常总结整理
合计
惠州市2023-2024学年第二学期期末质量检测试题
高一数学
全卷满分150分，时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.
2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.
3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1. 在复平面中，复数对应的点的坐标在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法运算化简，即可求解对应的点为，进而得解.
【详解】,故对应的点为，
故对应的点位于第三象限，
故选：C
2. 下列命题中正确的是（ ）
A. 零向量没有方向B. 共线向量一定是相等向量
C. 若为实数，则向量与方向相同D. 单位向量的模都相等
【答案】D
【解析】
【分析】对于A：根据向量以及零向量的定义分析判断；对于BC：举反例说明即可；对于D：根据单位向量的定义分析判断.
【详解】对于选项A：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A错误；
对于选项B：例如，是非零向量，可知是共线向量但不是相等向量，故B错误；
对于选项C：例如是非零向量，且，可知向量与方向相反，故C错误；
对于选项D：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D正确；
故选：D.
3. 已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（ ）
A. 32，90B. 32，92C. 30，90D. 30，92
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.
【详解】因为的平均数是10，方差是10，
所以的平均数是，方差是.
故选：A
4. 已知向量，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量公式可得.
【详解】根据题意得，
所以向量在方向上的投影向量为，
故选：C.
5. 某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少20，则（ ）
A. 100B. 120C. 200D. 240
【答案】B
【解析】
【分析】根据分层抽样求样本中高中生和小学生的人数，列式求解即可.
【详解】由题意可知：样本中高中生的人数为，小学生的人数为，
则，解得.
故选：B.
6. 设，是两个不重合的平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】对于ABC：以正方体为载体，举反例说明即可；对于D：根据线面垂直的性质分析判断.
【详解】对于正方体，且分别为的中点，
对于选项A：例如平面，平面，，
但平面∥平面，故A错误；
对于选项B：例如∥平面，平面，但，故B错误；
对于选项C：例如平面，且均与平面平行，
但平面平面，故C错误；
对于选项D：若，，由线面垂直的性质可知，故D正确；
故选：D.
7. 掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ）
A. 与是对立事件B. 与是互斥事件
C. 与是相互独立事件D. 与是相互独立事件
【答案】D
【解析】
【分析】选项A和B，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A和B的正误；选项C和D，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果.
【详解】对于选项A，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，
即一次试验，事件和事件可以都不发生，所以选项A错误；
对于选项B，因为即两个点数都是偶数，即与可以同时发生，所以选项B错误，
对于选项C，因为，，又，所以，故选项C错误，
对于选项D，因为，，所以，所以选项D正确，
故选：D.
8. 已知直三棱柱的体积为8，二面角的大小为，且，，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解得，再根据直三棱柱的体积求出，再利用等体积法求点到平面的距离.
【详解】取的中点，连接，
，，则二面角的平面角为，
二面角的大小为，则，
所以，，
又直三棱柱的体积为8，，
则，，
又平面平面，平面平面，
且平面，平面，
设点到平面的距离为，又，
，解得，
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A. 圆柱的侧面积为B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球面面积相等D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得；
【详解】解：依题意球的表面积为，
圆柱的侧面积为，所以AC选项正确．
圆锥的侧面积为，所以B选项正确．
圆锥的表面积为，
圆柱表面积为，所以D选项不正确．
故选：ABC
10. 设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A. 若，则
B. 对任意复数，，有
C. 对任意复数，，有
D. 在复平面内，若，则集合M所构成区域的面积为
【答案】BC
【解析】
【分析】借助复数的运算、共轭复数、复数的模及复数的几何意义逐项判断即可得.
【详解】对A：由，故，
故，故A错误；
对B：设、，
则
，
，
故，故B正确；
对C：设、，
有，则，
，故，故C正确；
对D：设，则有，
集合M所构成区域为以为圆心，半径为的圆，
故，故D错误.
故选：BC.
11. 在中，角所对的边分别是，，，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则面积的最大值为
B. 若，，则面积的最大值为
C. 若，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
D. 若，且，则该三角形内切圆面积的最大值为
【答案】AD
【解析】
【分析】对于AB：利用余弦定理结合基本不等式求的最大值，进而可得面积的最大值；对于C：利用余弦定理分析可得：关于c的方程有2个不相等的正根，结合二次方程列式求解；对于D：利用余弦定理可得，再利用基本不等式求内切圆半径的最大值，即可得结果.
【详解】对于选项A：由余弦定理可得，即，
可得，解得，当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为，故A正确；
对于选项B：由余弦定理可得，即，
可得，解得，当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为，故B错误；
对于选项C：由余弦定理可得，即，
整理可得，
由题意可知：关于c的方程有2个不相等的正根，
则，解得，
且，可得，故C错误；
对于选项D，因为，即，
则，整理可得，
注意到，则，即，可知，
且，则该三角形内切圆半径.
又因为，
当且仅当时，等号成立，可得，
所以该三角形的内切圆面积的最大值是，故D正确.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点
（1）根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；
（2）结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式；
（3）对于最值问题，常常利用基本不等式或三角函数分析求解.
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是、，那么恰好只有1人解对题的概率是________.
【答案】
【解析】
【分析】设相应事件，根据对立事件结合独立事件概率乘法公式运算求解.
【详解】设甲、乙解对题分别为事件A，，
则，可得
所以恰好只有1人解对题的概率.
故答案为：.
13. 已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为，中位数为，则与的大小关系为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据频率分布直方图的“拖尾”情况分析平均数与中位数的大小.
【详解】因为频率分布直方图在右侧“拖尾”，可知平均数大于中位数，即.
故答案为：.
14. 如图，已知在直三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，，，，.当是棱的中点，则三棱锥体积为________；当三棱锥的外接球的半径最小时，直线与所成角的余弦值为________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】在中，由余弦定理，可得，再求出，再用面积公式求的面积，体积公式求三棱锥体积即可；作出辅助线，推导出当取最小值时，最小，即最小，此时，因为是的中点，则是的中点，则是棱的中点，进而求出各边长，得到
【详解】因为，，，
所以在中，由余弦定理，得，
所以，所以，
所以；
作，垂足为，作，垂足为，
易知棱在平面上的射影为，
则点在平面上的射影在线段上，
因为，故，解得，
故，则，
设的中点为，外接球的球心为，半径为，
则平面，即，
在中，①，
又因为②
由①②，可得，所以当取最小值时，最小，即最小，
此时，因为是的中点，则是的中点，则是棱的中点.
因为，所以直线与所成角即为直线与所成角.
因为，再由余弦定理，
得，
因为，所以.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得当三棱锥的外接球的半径最小时，为棱的中点，从而得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，已知，，点为线段中点，，设，.

（1）用向量，表示；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用三点共线的向量表达式结论可解；
（2）将用基底表示出来，再用数量积运算性质可解.
【小问1详解】
如图所示，

，
所以，
所以.
【小问2详解】
点为线段中点，用三点共线的向量表达式结论得，
由（1）知，则，
,则.则.
16. 已知有下面三个条件：
①；②；③；
请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在中，角所对的边分别是，，，且________.
（1）求角A的大小；
（2）若是的角平分线，且，，求线段的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选择①：利用三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，求得，得到，即可求解；选择②：由正弦定理化简得到，得到，即可求解；选择③，化简得到,即，由余弦定理求得，即可求解；
（2）根据题意结合，列出方程，即可求解.
【小问1详解】
选择①：由，可得，
即，即，
因为，所以；
选择②：因为②，由正弦定理得，
可得，
因为，可得，所以，
即，可得，
因为，可得，所以；
选择③：由，可得,
又由正弦定理得，再由余弦定理得，
因为，所以.
【小问2详解】
若是的角平分线，则，
且，即，
解得
17. 为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%.
（1）根据图1、图2中的数据，补全表格；
（2）求图1中m的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数；
（3）抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率.
【答案】（1）表格见详解
（2）；120
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题中数据补全表格；
（2）根据频率和为1求得，再结合百分位数的定义列式求解；
（3）分别求相应的人数，利用列举法结合古典概型分析求解.
【小问1详解】
数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，
经常整理错题的有人，
不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，
所以表格为
【小问2详解】
由题意可知每组频率依次为，
则，解得；
因为，，
设第65百分位数为，可知，
则，解得，
所以学生期中考试数学成绩的第65百分位数为120.
【小问3详解】
由题意可知：样本中“经常总结整理错题”的人数为，设为，
“不经常总结整理错题” 的人数为，设为，
从这5名学生中随机抽取2人，则样本空间，可知，
设这2名同学均来自“经常总结整理错题”为事件M，则，即，
所以.
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，面面，是的中点.
（1）求证：∥平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出如果不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）设，连接，利用三角形的中位线定理可得∥，再利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由面面垂直的性质可证得平面，则，再由等边三角形的性质可得，然后由线面垂直的判定可得平面，则直线与平面所成角为，从而可求得答案；
（3）当时，可证得平面平面，设，然后在等腰直角三角形中利用平面向量的知识计算即可.
【小问1详解】
证明：设，连接，
因为底面是正方形，所以为中点，
因为是的中点，所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面
【小问2详解】
因为底面是正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以,
因为为等边三角形，是的中点，所以，
因为，平面，所以平面，
所以直线与平面所成角为，
设正方形的边长为2，则，
因为平面，平面，所以，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为；
【小问3详解】
存在，当时，平面平面，
因为平面，平面平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，
设，则，所以，
由（2）知平面，
因为平面，所以，所以，
因为，
，
所以，
所以，得，解得，
所以当时，平面平面.
19. 将连续正整数1，2，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率.
（1）求
（2）当时，求的表达式.
（3）令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）计算，数字0的个数为11，得到概率.
（2）考虑，，，四种情况，依次计算得到答案.
（3）考虑时，当时，当时三种情况，得到和的解析式，得到，再计算概率的最值得到答案.
【小问1详解】
当时，，
即这个数中共有个数字，其中数字的个数为，
则恰好取到的概率为；
【小问2详解】
当时，这个数有位数组成，；
当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，则；
当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成，；
当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成个四位数组成，；
综上所述：，
【小问3详解】
当时，，
当时，；
当时，，
即，
同理有，
由，可知，
所以当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
由关于单调递增，
故当时，有的最大值为，
又，
所以当时，最大值为．
【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键.
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常总结整理
不经常总结整理
合计
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
35
25
60
不经常整理
15
25
40
合计
50
50
100