福建省南平市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份福建省南平市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了下表是抽取的女生样本的数据等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，班级和座号，考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷（选择题部分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 如图，水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图为，其中，，，则中，（ ）
A. 2B. C. D. 4
3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“至多有一枚硬币正面朝上”，事件“两枚硬币正面均朝上”，事件“两枚硬币正面均朝下”，则（ ）
A. A与C对立B. B与C不互斥C. A与B对立D. B与C对立
4. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
5. 已知，为两个不重合的平面，l，m为两条不同的直线，（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
6. 在中，，点E是线段AD的中点，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在某座山的山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡从A向上走了600米到达B处，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高（ ）
A 300米B. 米C. 米D. 米
8. 在正四棱台中，，，，若球O与上底面以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O体积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某校统计100名学生体重，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如下所示的频率分布直方图，则（ ）
A. 频率分布直方图中a的值为0.08B. 这100名学生中体重不低于55kg的人数为60
C. 这100名学生体重的第80百分位数为65D. 这100名学生体重的众数小于平均数
10. 已知的三个内角，，所对应的边分别为，，，（ ）
A 若，则
B. 若是边长为2的正三角形，则
C. 若，则是等腰三角形
D. 若，的中线长为1，则的最大值为
11. 如图，圆锥顶点为S，底面圆心为O，AB为底面直径，，，N是底面圆周上一点，，M是线段SA上的动点，则（ ）
A. 圆锥SO的体积为
B. 当M是SA的中点时，线段MN在圆锥底面上的射影长为
C. 存在点M，使得
D. 直线MN与平面SAB所成角的正切值的最大值为
第Ⅱ卷（非选择题部分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，则在的投影向量的坐标是______．
13. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为___________．
14. 如图，在棱长为6的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则过M，N，B三点的平面截此正方体所得截面的周长是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数（，），纯虚数，且．
（1）求复数z；
（2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值．
16. 现有3个北方城市，，和3个南方城市，，，旅游爱好者甲计划从中任选2个城市旅游．
（1）求甲选择的2个城市均是北方城市的概率；
（2）若旅游爱好者乙也计划从这6个城市中选2个旅游，由于个人爱好，乙选择的2个城市均是北方城市的概率为，且甲、乙两人的选择互不影响，求甲、乙两人中至少有一人的选择为2个北方城市的概率．
17. 已知的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，且的面积为，求的周长．
18. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点．现将沿DE折起，得到四棱锥．
（1）证明：平面ADE；
（2）当为等边三角形时，证明：平面平面BCDE；
（3）在（2）的条件下，求二面角的余弦值．
19. 某校高一年级有男生200人，女生100人．为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本量为30的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39．下表是抽取的女生样本的数据：
记抽取的第i个女生的身高为，样本平均数，方差．
参考数据：，，．
（1）若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数；
（2）如果女生样本数据在之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差；
（3）用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值．
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
155
158
156
157
160
161
159
162
169
163
南平市2023—2024学年第二学期高一期末质量检测
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，班级和座号，考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷（选择题部分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】化简复数再求出复数对应点即可判断象限.
【详解】,
对应点为,则z在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：A.
2. 如图，水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图为，其中，，，则中，（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】把直观图还原为原图形，再计算对应图形边长．
【详解】用斜二测画法作出的直观图，还原为原图形，如图所示；
在中，,,,,
故选：A
3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“至多有一枚硬币正面朝上”，事件“两枚硬币正面均朝上”，事件“两枚硬币正面均朝下”，则（ ）
A. A与C对立B. B与C不互斥C. A与B对立D. B与C对立
【答案】C
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可判断.
【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，其中朝上的情况共有{正反，正正，反正，反反}共4种情况，
其中事件{正反，反正，反反}；事件{正正}，事件{反反}，
对A，事件A为事件C可能同时发生，即反反这种情况，即事件A，C不对立，故A错误；
对B，事件B与事件C显然不可能同时发生，则它们为互斥事件，故B错误；
对C，显然事件A和事件B不可能同时发生，即它们互斥，且两者构成了所有的发生情况，即事件A和事件B必有一个发生，则A与B对立，故C正确；
对D，事件B与C互斥，但是不对立，比如可能发生正反或反正的情况，故D错误.
故选：C.
4. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先出求，再根据即可得出的值，最后求的模.
【详解】由题意可知，因为，，
所以，
又因为，所以，
即，解得.
所以.
故选：B.
5. 已知，为两个不重合的平面，l，m为两条不同的直线，（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理，结合线面垂直的性质定理逐一判断即可.
【详解】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，则或，故B错误；
对于C，若，，则或，故C错误；
对于D，若，，由面面平行的性质定理可得，故D正确.
故选：D
6. 在中，，点E是线段AD的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合图形，根据向量的线性运算结论用，表示，由此确定正确选项.
【详解】∵ E为线段AD的中点
∴ ，
又，
∴ ，
故选：B.
7. 如图，在某座山山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡从A向上走了600米到达B处，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高（ ）
A. 300米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，，，根据正弦定理可得米，从而利用求解即可.
【详解】
如图，过点作于点，
由题意知，，，，米，
在中，，，，
而，
米，
米.
故选：B
8. 在正四棱台中，，，，若球O与上底面以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理求解棱台的高,进而根据相切，由勾股定理求解球半径，即可由体积公式求解.
【详解】设棱台上下底面的中心为,连接，
则，
所以棱台的高,
设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处，
设中点为，连接,
所以，解得，
所以球的体积为.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某校统计100名学生体重，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如下所示的频率分布直方图，则（ ）
A. 频率分布直方图中a的值为0.08B. 这100名学生中体重不低于55kg的人数为60
C. 这100名学生体重的第80百分位数为65D. 这100名学生体重的众数小于平均数
【答案】BD
【解析】
【分析】利用频率分布直方图的面积之和为1，频数，百分位数，众数，平均数相关知识可以进行求解.
【详解】频率分布直方图的面积之和为1，解得，故A错；
，故B对；
因为，，
所以故第80百分位数为，故C错；
众数为52.5，平均数，故D对.
故选：BD.
10. 已知的三个内角，，所对应的边分别为，，，（ ）
A. 若，则
B. 若是边长为2的正三角形，则
C. 若，则是等腰三角形
D. 若，的中线长为1，则的最大值为
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，根据正弦定理结合已知条件即可判断；对于B，根据平面向量的数量积即可求解，注意向量夹角的大小；对于C，利用正弦定理和二倍角公式即可判断；对于D，利用余弦定理和基本不等式即可求解.
【详解】对于A，因为，则由正弦定理可得，
，所以，即，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，由正弦定理，得，，
因为，
所以，
所以，
所以，或，
所以，或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，如图所示，
因为，为中点，
所以，
在中，，
在中，，
所以，
化简得，
因为，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以的最大值为，故D正确.
故选：AD.
11. 如图，圆锥的顶点为S，底面圆心为O，AB为底面直径，，，N是底面圆周上一点，，M是线段SA上的动点，则（ ）
A. 圆锥SO的体积为
B. 当M是SA的中点时，线段MN在圆锥底面上的射影长为
C. 存在点M，使得
D. 直线MN与平面SAB所成角的正切值的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】求得圆锥的底面半径和高，根据圆锥体积公式即可判断A；设M在底面上的投影为H，利用余弦定理求得投影的长，判断B；根据线面垂直的性质定理可判断C；结合平面，可求得的长，即可判断D.
【详解】对于A，设圆锥的底面半径为，高为h，由题意知，
圆锥的母线长为，故，
故圆锥体积为，A错误；
对于B，当为中点时，设M在底面上的投影为H，则H为的中点，
则为线段在底面的投影，
，而，在中，
，
即，即线段在底面的投影长为，B正确；

对于C，作于T，作于，连接，
由于平面,平面,所以平面底面，
平面底面，底面，
，故平面，平面，故，
又，平面，故平面，
平面，故，
故当M与重合时，，C正确；
对于D，由C的分析知，平面，而，
直线MN与平面SAB所成角为，则其正切值为,
当时，所求角正切值的最大值为，D正确，
故选：BCD
第Ⅱ卷（非选择题部分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，则在的投影向量的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】由投影向量的定义代入计算可得结果.
【详解】根据投影向量的定义可知，
在上可投影向量为，
故答案为：
13. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为___________．
【答案】##0.3
【解析】
【分析】由列举法得所有基本事件，根据古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】从5条线段中任取3条线段的基本事件有,总数为10，能构成三角形的情况有：，共3个基本事件，故概率为．
故答案为：
14. 如图，在棱长为6的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则过M，N，B三点的平面截此正方体所得截面的周长是______．
【答案】
【解析】
【分析】作出辅助线，得到过点M，N，B的平面截该正方体的截面为五边形，并求出周长.
【详解】因为M，N分别为棱，的中点，所以，
过点作交的延长线于点，交的延长线于点，
连接交于点，连接交于点，
因为，则，且分别是的三等分点，
故过点B，M，N的平面截该正方体所得截面为五边形，
由勾股定理得，，,
故五边形的周长为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数（，），为纯虚数，且．
（1）求复数z；
（2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值．
【答案】（1）
（2），.
【解析】
【分析】（1）由题意可得，且，由可得，联立求解即可；
（2）由（1）知，从而可得是关于的方程的另一个根，由韦达定理即可求解.
【小问1详解】
因为（，），
且为纯虚数，
所以，且，即，且2，
又，故，
因为，所以，于是，
因此复数；
【小问2详解】
由（1）知，故是关于的方程的另一个根，
所以由韦达定理得，，即，，
因此实数，.
16. 现有3个北方城市，，和3个南方城市，，，旅游爱好者甲计划从中任选2个城市旅游．
（1）求甲选择的2个城市均是北方城市的概率；
（2）若旅游爱好者乙也计划从这6个城市中选2个旅游，由于个人爱好，乙选择的2个城市均是北方城市的概率为，且甲、乙两人的选择互不影响，求甲、乙两人中至少有一人的选择为2个北方城市的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据古典概型概率公式即可求解；
（2）根据对立事件公式及独立性乘法公式即可求解.
【小问1详解】
由题意知，从6个城市中任选2个，得到的样本空间为，，，，，，，，，，，
则，
设事件“甲选择的2个城市均是北方城市”，
则，所以，
因此，；
【小问2详解】
设事件“甲、乙两人中至少有一人的选择为2个北方城市”，
事件“甲选择的2个城市均是北方城市”，
事件“乙选择的2个城市均是北方城市”.
则“甲选择的2个城市不都是北方城市”，
“乙选择的2个城市不都是北方城市”，由于甲、乙的选择互不影响，
所以与，与，与，与都相互独立，
由已知条件及（1）可得，.
所以.
17. 已知的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，且的面积为，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角公式即可求解；
（2）根据三角形的面积公式可得，再结合余弦定理即可求解.
【小问1详解】
由正弦定理可得，
所以，
即，
因为，所以，
所以，化简得，即，
又由，可得，
故，所以；
【小问2详解】
由已知可得，，
可得，化简得，，即，
又由余弦定理可得，化简得，，
联立解得，
所以周长为
18. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点．现将沿DE折起，得到四棱锥．
（1）证明：平面ADE；
（2）当为等边三角形时，证明：平面平面BCDE；
（3）在（2）的条件下，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）先证明，再根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明；
（3）在四棱锥中，过点作于点，过点作于点，连接.从而可证，进而得到平面，从而可得为二面角的平面角，计算求解即可.
【小问1详解】
在正方形中，点，分别是，的中点，
所以，且，
故四边形为平行四边形，于是
在四棱锥中，平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
当为正三角形时，因为点是的中点，所以，
在正方形中，点E，F分别是AB，CD的中点，故
又，平面，平面，故平面，
因为平面，所以平面平面；
【小问3详解】
在四棱锥中，过点作于点，过点作于点，连接.
在正方形中，令，则，.
因为为等边三角形，点为的中点，
所以，从而，即
由（2）知，平面平面，平面平面，平面，
故平面，从而.
又平面平面，
故平面，而平面，故，
所以为二面角的平面角.
在中，
在中，，
因为，所以，于是，
从而在中，，
故，
因此，二面角的的余弦值为
19. 某校高一年级有男生200人，女生100人．为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本量为30的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39．下表是抽取的女生样本的数据：
记抽取的第i个女生的身高为，样本平均数，方差．
参考数据：，，．
（1）若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数；
（2）如果女生样本数据在之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差；
（3）用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值．
【答案】（1）；
（2）剩余女生样本身高平均数与方差分别为，；
（3），.
【解析】
【分析】（1）先求得抽取女生身高在[160，165]之内的频率，进而可求解；
（2）求得，从而可知为离群值，进而可求得平均数和方差；
（3）先推导，代入数据即可求解.
【小问1详解】
因为抽取的女生身高在[160，165]之内的频率为，
所以估计该校女生身高在[160，165]之内的人数为；
【小问2详解】
因为，所以，
故，则为离群值.
则剔除离群值剩下数据的平均数为：，
故剩余女生样本身高的平均数为159，
又，
则剔除169，剩余女生样本身高的方差为：；
【小问3详解】
采用分层抽样的方法抽取一个容量为30的样本，则男生20个，女生10个，
男生身高样本记为，均值，方差，
女生身高样本为，均值，方差
则总样本均值，
又因为，所以，同理可得，
故总样本方差
，
所以，估计学生总体身高的平均数，标准差.
【点睛】易错点点睛：解答此类统计类题目，因为牵涉到很多数据的计算，并且数据基本都是小数，因此很容易出现计算错误，需要十分细心.
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
155
158
156
157
160
161
159
162
169
163