2022-2023学年山东省济南市市中区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年山东省济南市市中区九年级上学期数学期中试题及答案，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个选项符合题意）
1. 济南轨道交通4号线于2021年3月6日开工建设，如图是建设现场一个螺栓的示意图，它的俯视图是( )
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：俯视图是一个正六边形，且中间有一个圆，
故选：A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
2. 某厂从生产的一批零件中抽取2000个进行质量检查，结果发现有10个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用次品总数除以零件总数，算出频率，以此估计概率．
【详解】解：生产的一批零件中抽取2000个进行质量检查，结果发现有10个是次品，即次品出现的频率是，
由此估计，从中任取1个是次品概率约为．
故选B．
【点睛】本题考查的是由频率估计概率，掌握频率公式是基础．
3. 如图，直线，直线AC和DF被，，所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵AB＝8，BC＝12，EF＝9，
∴，解得DE＝6，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，读懂题意，结合图形得到相应比例求解是解决问题的关键．
4. 若点A（-2，1）在反比例函数y=的图像上，则k的值是（ ）
A. 2B. -2C. D. -
【答案】B
【解析】
【分析】将点代入反比例函数的解析式即可得．
【详解】由题意，将点代入得：，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握待定系数法是解题关键．
5. 如图，中，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴,
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
6. 已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意知△ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．
【详解】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=75°，∠A=30°，
A、三角形各角的度数都是60°，
B、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
C、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
D、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
∴只有D选项中三角形各角度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：D．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握．
7. 如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，则OC的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：∵O为AB的中点，AB=1.6，
∴OB=AB=0.8，
在Rt△OCB中，sin∠OBC=，
∴OC=OB•sin∠OBC=0.8sin20°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
8. 木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示，当压强不超过400 Pa时，木板的面积应（ ）
A. 不大于1.5 m2B. 不小于1.5 m2
C. 不大于m2D. 不小于m2
【答案】B
【解析】
【分析】设反比例函数关系式为，将点代入，即可得出反比例函数解析式，再将时，求S的值即可得出答案．
【详解】解：设反比例函数关系式为，将点代入，得，
，
解得：，
反比例函数关系式为，
当时，，
当压强不超过400 Pa时，木板的面积应不小于1.5 m2，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是将实际转化为函数问题是解题的关键．
9. 如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子长为（ ）
A. 1米B. 2米C. 3米D. 4米
【答案】B
【解析】
【分析】利用相似三角形的性质即可求得DE的长．
【详解】如图，∵FB∥PA，GD∥PA，
∴△CFB∽△CPA，△EGD∽△EPA．
∴．
∵FB=GD=1.6米，AB=BD=4米，BC=1米，
∴AC=AB+BC=4+1=5（米），AE=AB+BD+DE=4+4+DE=(8+DE)米，
∴．
∴AE=5DE，
即8+DE=5DE，
解得：DE=2．
即此时影长为2米．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10. 谢尔宾斯基地毯是由波兰数学家谢尔宾斯基提出的一种具有“自相似”性质的分形图形：将第1个正方形分成9等份（如图①），挖去中间的小正方形，得到第2个正方形（如图②）；再将余下的8个小正方形分成9等份，挖去中间的小正方形，得到第3个正方形（如图③）；…这样继续进行下去，就得到空格子越来越多的谢尔宾斯基地毯．若图①中大正方形的边长为1，则第4个正方形中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，每次挖去正方形的面积的，剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的，然后根据有理数的乘方列式计算即可得解．
【详解】图2的阴影部分面积，
图3的阴影部分面积，
图4的阴影部分面积，
故选：D．
【点睛】本题考查了图形规律问题，有理数乘方的计算，掌握图形变化的规律是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．填空题请直接填写答案．）
11. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】可利用30°特殊直角三角形三边关系并结合余弦三角函数定义求解本题．
【详解】30°直角三角形三边比例关系为，．
故本题答案为．
【点睛】本题考查余弦三角函数，熟练记忆其定义即可，对于特殊角度的三角形函数值，可背诵下来提升解题速度．
12. 若，则=_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴b=3a，
∴==，
故答案为：．
【点睛】本题考查比例性质、代数式求值，熟练掌握比例性质是解答的关键．
13. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】先计算黑色区域的面积，根据黑色方砖占总方砖的比例可得出概念．
【详解】解：∵由图可知，黑色方砖有块，共有块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值，
∴小球最终停留在黑色区域的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概念，理解几何概率等于相应部分面积比总面积是解题的关键．
14. 如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB，设小正方形的边长为1，可以求出OA、OB、AB的长度，由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据三角函数的定义可以求出答案.
【详解】连接AB如图所示：
设小正方形的边长为1，
∴==10，，，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和正弦函数的定义，熟练掌握技巧即可得出答案.
15. 如图，平行四边形OABC的边OA在x轴上，顶点C在反比例函数的图像上，BC与y轴相交于点D，且D为BC的中点，若平行四边形OABC的面积为8，则k＝_____．
【答案】-4
【解析】
【分析】根据D为BC的中点，平行四边形OABC的面积为8得，即，进行计算，根据反比例函数的性质即可得．
【详解】解：∵D为BC的中点，平行四边形OABC的面积为8，
∴，
即
，
∵反比例函数的图像在第二象限内，
∴，
∴，
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是根据题意得的面积为平行四边形OABC的面积的．
16. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】过点M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值为MF的长，证明四边形DEMG为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：作点P关于CE的对称点P′，
由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线，
∴点P′在CD上，
过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，
∵MN+NP=MN+NP′≤MF，
∴MN+NP的最小值为MF的长，
连接DG，DM，
由折叠的性质知CE为线段 DM的垂直平分线，
∵AD=CD=2，DE=1，
∴CE==，
∵CE×DO=CD×DE，
∴DO=，
∴EO=，
∵MF⊥CD，∠EDC=90°，
∴DE∥MF，
∴∠EDO=∠GMO，
∵CE为线段DM的垂直平分线，
∴DO=OM，∠DOE=∠MOG=90°，
∴△DOE≌△MOG，
∴DE=GM，
∴四边形DEMG为平行四边形，
∵∠MOG=90°，
∴四边形DEMG为菱形，
∴EG=2OE=，GM= DE=1，
∴CG=，
∵DE∥MF，即DE∥GF，
∴△CFG∽△CDE，
∴，即，
∴FG=，
∴MF=1+=，
∴MN+NP的最小值为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：＋2tan60°＋（-3）0-；
【答案】3
【解析】
【分析】根据负整指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质化简计算即可．
【详解】解：＋2tan60°＋（-3）0-
＝2＋2＋1-2
＝3
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质化简是解题的关键．
18. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 ．
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为2：1；
（3）的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为 ．
【答案】（1）图见解析，
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心，根据图形写出坐标即可；
（2）连接、并延长，使、，连接即可；
（3）根据位似比，求出点的坐标即可．
【小问1详解】
解：（1）如图，点P为所作；
故答案为：；
【小问2详解】
如图，为所作；
【小问3详解】
点M在中的对应点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
19. 如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，若PB＝3，PC＝1，PD＝2，求PA的长度．
【答案】PA＝6
【解析】
【分析】由已知条件易证△ADP∽△BCP，通过相似比即可求解PA．
【详解】∵∠1＝∠2，∠DPA＝∠CPB，
∴△ADP∽△BCP，
∴，
∵PB＝3，PC＝1，PD＝2．
∴PA＝6．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的证明方法是解题的关键．
20. 如图，已知点，是直线与反比例函数图像的交点，且该直线与轴交于点．
（1）填空： ______； ______； ______；
（2）连接，求的面积；
（3）根据图像，直接写出不等式时的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）把，的坐标代入即可求得的值，由一次函数的解析式求,然后利用待定系数法即可求得；
（2）由于直线与轴交于点，所以三角形的面积是三角形和三角形的面积之和，依此列式计算即可；
（3）根据图象求解即可．
【小问1详解】
解：∵点，是直线上的点，
∴,
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
把的坐标代入得，
故答案为：；
【小问2详解】
∵直线与轴交于点，
∴当时，．
∴点，
∴，
∴；
【小问3详解】
观察图象可知，交点坐标，，
∴不等式时的取值范围是或．
【点睛】本题考查了一次函数图象与反比例函数交点问题，利用待定系数法确定反比例函数的解析式，三角形的面积以及函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
21. 在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）填空： ______；当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近______(精确到)；
（2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可；
（2）根据列表法，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
，当很大时，摸到黑球的频率将会趋近，
故答案为：；
【小问2详解】
列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果，
所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为
【点睛】本题考查了频率估计概率，列表法求概率，掌握以上知识是解题的关键．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
22. 北京时间2022年6月5日10时44分，搭载神舟十四号载人飞船长征二号遥十四运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约秒后，神舟十四号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将陈东、蔡旭哲、刘洋3名航天员送入太空．如图是模拟的火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；约后火箭到达点，此时测得仰角为（参考数据：，，）．
（1）求地面雷达站到发射处的水平距离．
（2）求这枚火箭从到的平均速度是多少千米/秒？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，直接根据可求出答案；
（2）先求出的长，即可求出移动的速度．
【小问1详解】
解：在中，（），
答：雷达站到发射处的水平距离为；
【小问2详解】
在中，（），
在中，（），
∴（），
∴这枚火箭从到的平均速度是（），
答：这枚火箭从到的平均速度为.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，理解锐角三角函数和仰角、俯角的意义是解决问题的关键．
23. 小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
（1）如图1，垂直于地面放置正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为．那么灯泡离地面的高度为多少．
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？
【答案】（1）灯泡离地面的高度为
（2）横向影子，长度和为
【解析】
【分析】（1）根据相似三角形的判定可得，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度；
（2）同法可得到横向影子的长度和．
【小问1详解】
解：∵，
∴．
∴．
∴，
∴，
解得；
∴灯泡离地面的高度为；
【小问2详解】
设横向影子，的长度和为，
同理可得．
∴，
即，
解得：，
∴横向影子，的长度和为．
【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
24. [问题背景](1)如图①，已知，求证：．
[尝试应用](2)如图②，在和中，，，与相交于点，点在边上，．
①填空：______；
②求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据得出，，可得，进而即可得证．
（2）①由勾股定理得出，而，，即可得到问题的答案；
②根据（1）的方法，证明，证明，根据相似三角形的性质与判定即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
即，
∴；
（2）①∵，
∴，
∴
∵
∴
∴
②连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，、是矩形的两个顶点，点是线段上的一个动点(不与重合)，双曲线()经过点，与矩形的边相交于点．
（1）如图①，当点为中点时，的值为______，点的坐标为______；
（2）如图②，当点在线段上的任意位置时(不与重合)，连接，求证：；
（3）是否存在反比例函数上不同于点的一点，满足：为直角三角形，，且，若存在，请直接写出满足以上条件时点的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）见解析 （3）存在，点的横坐标为或
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得点的坐标，再利用中点坐标公式得点的坐标，从而得出的值，再将代入即可；
（2）根据点的坐标，可得出的长度，根据即可得证；
（3）根据题意可知，需要分两种情况：①当点在直线上方时，过点作轴于点，过点作于点，②当点在直线下方时，如图，过点作轴于点，过点作于点，分别设出点的横坐标，表达点的坐标，进而得出方程，求解即可．
【小问1详解】
解：∵是矩形的两个顶点，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴
当时，，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
证明：设点的横坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
∴反比例函数的解析式为：
点E的坐标为
∴，
∴，
∴，
即，
∴；
小问3详解】
①当点在直线上方时，如图，过点作轴于点，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
设点的横坐标为，
则
∴，
∴，
∴，
解得：（负值舍去）；
②当点在直线下方时，如图，过点作轴于点，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
设点的横坐标为，
则，
∴，
∴，
∴，
解得：（负值舍去）即此时点D的横坐标为，
综上所述，点D的横坐标为点的横坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质以及平行线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出点的坐标是解题的关键．
26. 如图①，已知在正方形中，点是边的中点，以为斜边构造等腰直角，将绕点在平面内作逆时针旋转．
（1）如图②，当时，若，则______； ______；
（2）如图③，延长，与分别相交于点，延长，与分别相交于点，求证：；
（3）如图④，连接，请直接写出当取得最小值时，的正切值．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）过点作于，在中，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形即可；
（2）利用三角形外角的性质得，再利用平行线的性质得，即可证明结论；
（3）连接，在上取点，使，连接，利用两边成比例且夹角相等得，根据相似三角形的性质得出，得出，从而点三点共线时，最小．进而解决问题．
【小问1详解】
解：过点作于，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2，；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
连接，在上取点，使，连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点三点共线时，最小．
过点作于，
设则，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解三角形等知识，求正切，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑球的次数m
摸到黑球的频率
黑
白
白
白
黑
（白，黑）
（白，黑）
（白，黑）
白
（黑，白）
（白，白）
（白，白）
白
（黑，白）
（白，白）
（白，白）
白
（黑，白）
（白，白）
（白，白）