重难点专题01 函数的奇偶性、周期性、对称性-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点专题01函数的奇偶性、周期性、对称性
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc536005430" 一、重难点题型归纳 PAGEREF _Tc536005430 \h 1
\l "_Tc2096846492" 题型1利用函数性质解不等式 PAGEREF _Tc2096846492 \h 1
\l "_Tc1492343774" 题型3构造奇偶函数求函数值 PAGEREF _Tc1492343774 \h 3
\l "_Tc1360296305" 题型4对称性、奇偶性的运用 PAGEREF _Tc1360296305 \h 4
\l "_Tc389092173" ◆类型1对称轴 PAGEREF _Tc389092173 \h 5
\l "_Tc384446496" ◆类型2中心对称+轴对称构造周期性 PAGEREF _Tc384446496 \h 6
\l "_Tc1761448096" ◆类型3“类”周期函数 PAGEREF _Tc1761448096 \h 7
\l "_Tc1596075577" ◆类型4对称性解决恒成立 PAGEREF _Tc1596075577 \h 8
\l "_Tc1023987962" 题型5三角函数中的对称性问题 PAGEREF _Tc1023987962 \h 9
\l "_Tc231730276" 题型6复杂奇函数问题 PAGEREF _Tc231730276 \h 11
\l "_Tc1302896721" 题型7函数的旋转问题 PAGEREF _Tc1302896721 \h 12
\l "_Tc2041925035" 题型8两个函数的对称问题 PAGEREF _Tc2041925035 \h 13
\l "_Tc1845384185" 二、最新真题、模考题组练 PAGEREF _Tc1845384185 \h 14
题型1利用函数性质解不等式
【例题1】（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数f(x+2)=lg3(3x+3−x)，若fa−1≥f2a+1成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．−∞,−2B．−2,43
C．−∞,−2∪0,+∞D．−∞,−2∪43,+∞
【变式1-1】1.（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）定义在R上的可导函数f（x）满足fx−f−x=xex+e−x，且在0,+∞上有f'x+x−1ex<0若实数a满足f2a−fa+2−2ae−2a+ae−a−2+2e−a−2≥0，则a的取值范围为（ ）
A．−23,2B．2,+∞C．−∞,−23∪2,+∞ D．−∞,2
【变式1-1】2.（2023·全国·高三专题练习）设函数fx=sinx−1+ex−1−e1−x−x+4，则满足fx+f3−2x<6的x的取值范围是（ ）
A．3,+∞B．1,+∞C．−∞,3D．−∞,1
【变式1-1】3.（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数f(x)=ex−1+e1−x+x2−2x，若不等式f(2−ax)A．−4B．−12C．2D．32
【变式1-1】4.（2021·广西·广西师范大学附属外国语学校校考模拟预测）设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=ax (a>1).若对任意的x∈[0,b+1]，均有f(x+b)≥f2(x)，则实数b的最大值是（ ）
A．−23B．−34C．0D．1
【变式1-1】5.（2020·湖南邵阳·统考三模）已知函数f(x)是定义在R的偶函数，且在区间[0,+∞)上单调递减，若实数a满足f(lg3a)+flg13a≥2f(1)，则实数a的取值范围是 ．
题型2利用奇偶性、周期性对称性求值
【例题2】（2022·全国·高三阶段练习）已知函数f(x),g(x)是定义在R上的偶函数，g(3)=2，若对任意x∈R，都有f(x+6)=f(x)+f(3)，对任意m,n∈R且m+n=4，都有g(m)=g(n)，则f(99)+g(99)= ．
【变式2-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数fx存在导函数f'x，且满足f−x=fx,f4−x=f−x，则曲线y=fx在点2022,f2022处的切线方程可能是（ ）
A．y=xB．y=0C．y=x+1D．y=−x+1
【变式2-1】2.（多选）（2022·山东·潍坊七中高三阶段练习）设函数y=fx的定义域为R，且满足f1+x=f1−x，fx−2+f−x=0，当x∈−1,1时，fx=−x+1，则下列说法正确的是（ ）
A．y=fx+1是偶函数B．y=fx+3为奇函数
C．函数y=fx−lgx有10个不同的零点D．k=12023fk=1
【变式2-1】3.（2023·浙江温州·模拟预测）定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)+f(x−1)=f(2022)，f(−2x+1)=f(2x+5)，若f12=12，则f(2022)= ，k=1100kfk−12= ．
题型3构造奇偶函数求函数值
【例题3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=ln(x+1+x2)+1x+4在[−8，8]上的最大值和最小值分别为M、m，则M+m=（ ）
A．8B．6C．4D．2
【变式3-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=ax3+bsinx+3，若fm=1，则f−m=（ ）
A．−1B．2C．5D．7
【变式3-1】2.（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数fx=alnx+1x−1+bsinx+3，若fm=1，则f−m=（ ）
A．−1B．2C．5D．7
【变式3-1】3.（2022·河南省淮阳中学高三阶段练习（文））已知函数fx=2ex+1−1sinx+3π2−3，则fx在−π,π上的最大值与最小值之和为 ．
【变式3-1】4.（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（文））已知函数fx=alnx2+1-x+bsinx-2ab≠0，若fm=2，则f-m= ．
【变式3-1】5.若函数fx=tx2+2x+t2+sinxx2+t（t>0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数t的值为 ．
题型4对称性、奇偶性的运用
◆类型1对称轴
【例题4-1】（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））已知函数y=fx的定义域为−∞,1∪1,+∞，且fx+1为奇函数，当x<1时，fx=−x2−4x，则fx=32的所有根之和等于（ ）
A．4B．2C．−12D．−6
【变式4-1】1.已知函数fx=2ex−2−12a2x−2+22−x−a2有唯一零点，则负实数a=（ ）
A．−2 B．−12 C．−1 D．−12或−1
【变式4-1】2.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(a−x)，若函数y=x2−ax−5与y=f(x)的图像的交点为x1,y1，x2,y2，…，xm,ym，且i=1mxi=2m，则a=
A．1B．2C．3D．4
【变式4-1】3.已知函数fx=sinπxx2+1x2−2x+2，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有
①函数fx是周期函数；
②函数fx既有最大值又有最小值；
③函数fx的定义域为R，且其图象有对称轴；
④对于任意的x∈−1,0，f'x<0（f'x是函数fx的导函数）
A．②③B．①③C．②④D．①②③
◆类型2中心对称+轴对称构造周期性
【例题4-2】已知函数fx为定义域为R的偶函数，且满足f12+x=f32−x，当x∈−1 ， 0时，fx=−x.若函数Fx=fx+x+41−2x在区间−9 ， 10上的所有零点之和为__________．
【变式4-2】1.定义在R上的奇函数fx满足f2−x=fx，且在0,1上单调递减，若方程fx=−1在0,1上有实数根，则方程fx=1在区间−1,11上所有实根之和是（ ）
A．30B．14C．12D．6
【变式4-2】2.已知定义域为R的函数fx的图像关于原点对称，且f3−x+f−x=0，若曲线y=fx在6,f6处切线的斜率为4，则曲线y=fx在−2022,f−2022处的切线方程为（ ）
A．y=−4x−8088B．y=4x+8088C．y=−14x−10112D．y=14x+10112
【变式4-2】3.若函数y=f(x)是R上的奇函数，又y=f(x+1)为偶函数，且−1≤x10，比较f(2017)，f(2018)，f(2019)的大小为（ ）
A．f(2017)C．f(2018)【变式4-2】4.(多选)（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）定义在R上的函数fx､gx，其导函数分别为f'x､g'x，若fx=f−x，g−1=1,fx+g'x−1=x2−1,f'x+gx+1=x−sinπ2x，则（ ）
A．f'x是奇函数
B．gx关于−1,1对称
C．gx周期为4
D．g1+g3+g5+…+g99=−1225
◆类型3“类”周期函数
【例题4-3】设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f(x+T)=T⋅f(x)，则称函数y=f(x)是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f(x)的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”y=f(x)的“似周期”为−1，那么它是周期为2的周期函数；
②函数f(x)=2x是“似周期函数”；
③如果函数f(x)=csωx是“似周期函数”，那么“ω=2kπ,k∈Z或ω=(2k+1)π,k∈Z”．以上正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式4-3】1.已知函数f(x)满足当x≤0时，2f(x−2)=f(x)，且当x∈(−2,0]时，f(x)=|x+1|−1；当x>0时，f(x)=lgax(a>0且a≠1).若函数f(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是（ ）
A．(625,+∞)B．(4,64)C．(9,625)D．(9,64)
【变式4-3】2.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)=x(x−1)．若对任意x∈(−∞,m]，都有f(x)≥−12，则m的取值范围是（ ）
A．−∞,32B．−∞,10−24
C．−∞,52D．−∞,10+24
【变式4-3】3.定义在R上函数满足fx+1=12fx，且当x∈0,1时，fx=1−2x−1.则使得fx≤116在m,+∞上恒成立的m的最小值是（ ）
A．72B．92C．134D．154
◆类型4对称性解决恒成立
【例题4-4】已知函数f(x)=lg(x+x2+1)，且对于任意的x∈(1，2]，f(x+1x−1)+f[m(x−1)2(x−6)]>0恒成立，则m的取值范围为（ ）
A．(−∞，0) B．(−∞，0]
C．[4，+∞) D．(12，+∞)
【变式4-4】1.已知函数f(x)=2x+m2x+1（0≤x≤1），函数g(x)=(m−1)x（1≤x≤2）.若任意的x1∈0,1，存在x2∈1,2，使得fx1=gx2，则实数m的取值范围为（ ）
A．1,53B．2,3C．2,52D．53,52
【变式4-4】2.已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x+1)关于直线x=−1对称.当x≥0时， f(x)={2−14x2+1,0≤x<22−lg2x,x≥2，若对任意的x∈[m,m+1]，不等式f(2−2x)≥f(x+m)恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．[−14,0)B．[12,1]C．[1,+∞)D．[12,+∞)
【变式4-4】3.已知f(x)=2sin|πx|−sin|πx|，g(x)=|lnx|−2m，若对于∀x1∈−23,−16，∃x2∈e−1,e2使得fx1≥gx2，则实数m的取值范围是 ．
题型5三角函数中的对称性问题
【例题5】（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为π4，将f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象.若函数g(x)的图象在区间π2,3π4上是增函数，则φ的取值范围为（ ）
A．π6,π2B．π3,5π6C．π3,2π3D．π4,3π4
【变式5-1】1.（2023·天津·统考二模）设函数fx=sinπ2x，gx=e−x−1.当x∈−2023,2025时，fx与gx的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．4051B．4049C．2025D．2023
【变式5-1】2.已知函数y=sinx+1与y=x+2x在[−a ， a]（a∈Z，且a>2017）上有m个交点(x1 ， y1)，(x2 ， y2)，……，(xm ， ym)，则(x1+y1)+(x2+y2)+⋯+(xm+ym)=
A．0 B．m C．2m D．2017
【变式5-1】3.已知函数f(x)=2(x+1)+sinx+ln(x2+1+x)，若不等式f(3x−9x)+f(m⋅3x−3)<4对任意x∈R均成立，则m的取值范围为（ ）
A．(−∞,23−1)B．(−∞,−23+1)C．(−23+1,23−1)D．(−23+1,+∞)
题型6复杂奇函数问题
【例题6】已知函数fx=12x+1+ex−e−x，若不等式fax2+f1−2ax≥1对∀x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．0,e B．0,e C．0,1 D．0,1
【变式6-1】1.对于定义在D上的函数fx，点Am,n是fx图像的一个对称中心的充要条件是：对任意x∈D都有fx+f2m−x=2n，判断函数fx=x3+2x2+3x+4的对称中心 .
【变式6-1】2.设函数f(x)=ln(x2+1−x)，若a，b满足不等式f(a2−2a)+f(2b−b2)≤0，则当1≤a≤4时，2a−b
的最大值为
A．1B．10C．5D．8
【变式6-1】3.已知函数fx=x−e2+lnexe−x，若fe2020+f2e2020+⋅⋅⋅+f2018e2020+ f2019e2020=20192a+b，其中b>0，则12a+ab的最小值为
A．34B．54C．2D．22
题型7函数的旋转问题
【例题7】（2021•青岛开学）将函数y=13−x2−2(x∈[−3,3])的图象绕点(−3,0)逆时针旋转α(0≤α≤θ)，得到曲线C，对于每一个旋转角α，曲线C都是一个函数的图象，则θ最大时的正切值为（ ）
A．32B．23C．1D．3
【变式7-1】1.（2021春•池州期末）设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，若f(x)的图象绕原点逆时针旋转π3后与原图象重合，则在以下各项中f(1)的取值只可能是
A．3B．1C．33D．0
【变式7-1】2.（2017春•新华区校级期末）将函数y=−x2+x(x∈[0,1])图像绕点（1,0）顺时针旋转θ角(0<θ<π2)得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图像，则θ的最大值为
A．π6B．π4C．π3D．5π12
【变式7-1】3.（2021•沈河区校级四模）将函数ℎx=exx≥0的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θθ∈0,π，得到曲线C，若曲线C仍然是一个函数的图像，则θ的可能取值为（ ）
A．π4B．π2C．3π4D．π
【变式7-1】4.（多选）（2021•雨花区校级模拟）已知函数y=f(x)，x∈A，且π∈A，函数y=f(x)，x∈A的图象绕坐标原点顺时针旋转nπ4所得新的函数图象与原函数图象重合，其中n可以取任意正整数，则fπ的值不可能为（ ）
A．0B．3π3C．πD．3π
题型8两个函数的对称问题
【例题8】（2021•武侯区校级模拟）已知函数f(x)=ax−ex与函数g(x)=xlnx+1的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）
A． (e−1,+∞)B． e−12,+∞C． e−12,+∞D． (−∞,e−1)
【变式8-1】1.（2021春•海淀区校级期末）若函数y=x3−x2−1−a，（(x∈1e,e，e为自然对数的底数）与y=x2−3lnx的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是
A．0,1e3+2B．0,e3−4
C．1e3+2,e3−4D．1e3+2,+∞
【变式8-1】2.（2021•云南模拟）已知函数fx=16x3−mx+3，gx=−5x−4ln1x，若函数f'x与gxx∈1e,4的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是 ．
【变式8-1】3.（2021春•大同期中）已知函数fx=ln−x与函数gx=ex−e−1x−a的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为 .
【变式8-1】4.（2021•景德镇模拟）对于定义域为R的函数f(x)，若满足（1）f(0)=0；（2）当x∈R，且x≠0时，都有xf'(x) >0；（3）当x1<01．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122fk=（ ）
A．−21B．−22C．−23D．−24
2．（2021·全国·统考高考真题）设函数fx的定义域为R，fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+b．若f0+f3=6，则f92=（ ）
A．−94B．−32C．74D．52
3．(多选)（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像关于点2π3,0中心对称，则（ ）
A．f(x)在区间0,5π12单调递减
B．f(x)在区间−π12,11π12有两个极值点
C．直线x=7π6是曲线y=f(x)的对称轴
D．直线y=32−x是曲线y=f(x)的切线
4．(多选)（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x)，若f32−2x，g(2+x)均为偶函数，则（ ）
A．f(0)=0B．g−12=0C．f(−1)=f(4)D．g(−1)=g(2)
5．（2023·全国·统考高考真题）若fx=(x−1)2+ax+sinx+π2为偶函数，则a= ．
6．（2023·黑龙江大庆·统考二模）已知函数fx是定义域为R的奇函数，当x>0时，fx=lnx−mx+1，若fx−xcsπx=0有三个不同的根，则实数m的取值范围为 ．
7．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，若f(1−2x)，12x−f(x+2)都为偶函数，则k=1101f'(k)= ．
为偶函数，若对任意x∈R有f1+x2=f1−x2，且f2023=3，则f12+f1+f32= .
1、对于任意x1,x2∈(−∞,0]x1≠x2，均有fx1−fx2x1−x2<0成立，注意功能用来判断函数的单调性（有具体函数时，直接求导可求单调性）；
2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配图解不等式
3、涉及到偶函数时：如果口朝上：谁离对称轴（x=0）远，谁的函数值就大；如果口朝下：谁离对称轴（x=0）远，谁的函数值就小.
函数周期性的常用结论与技巧
设函数y=fx，x∈R，a>0.
①若f(x+a)=f(x−a)，则函数的周期T=2a；
②若f(x+a)=−fx，则函数的周期T=2a；
③若f(x+a)=1f(x)，则函数的周期T=2a；
④若f(x+a)=−1f(x)，则函数的周期T=2a；
⑤f(x+a)=f(x+b)，则函数的周期T=|a−b|
对于fx本身不具有奇偶性，通过构造（通常将尾巴常数变为0），构造奇函数，利用奇函数的对称性，求函数值.
函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：函数fx对于定义域内任意实数x满足fa+x=fb−x，则函数fx关于直线x=a+b2对称，特别地当fx=f2a−x时，函数fx关于直线x=a对称；
2.如果函数y=fx满足fa+x=fa−x，则函数y=fx的图象关于直线x=a对称.
3.y=f(a−x)与y=(x−b)关于直线x=a+b2对称.
（2）点对称：若函数f(x)关于直线(a,0)对称，则
①f(a+x)=−f(a−x)
②f(x)=−f(2a−x)
③f(−x)=−f(2a+x)
（2）点对称：若函数f(x)关于直线(a,b)对称，则
①f(a+x)=−f(a−x)+2b
②f(x)=−f(2a−x)+2b
③f(−x)=−f(2a+x)+2b
关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论
1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|.
2.若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|.
3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|.
“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大.
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0.
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移.
常见不等式恒成立转最值问题：
（1）∀x∈D，f(x)>m⇔f(x)min>m；
（2）∃x∈D，f(x)>m⇔f(x)max>m；
（3）∀x∈D，f(x)>g(x)⇔f(x)−g(x)min>0；
（4）∃x∈D，f(x)>g(x)⇔f(x)−g(x)max>0；
（5）∀x1∈D,x2∈M，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)max；
（6）∃x1∈D,x2∈M，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)max>g(x2)min；
（7）∀x1∈D,∃x2∈M，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)min；
（8）∃x1∈D,∀x2∈M，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)max>g(x2)max；
1.三角函数的对称性，周期性，奇偶性，单调性，考查时可能单独考，也可能以多选的形式综合在一个题目中考查.
2.三角函数的奇偶性
（1）函数y=Asin(ωx+φ)是奇函数⇔φ=kπ（k∈Z），是偶函数⇔φ=kπ+π2（k∈Z）；
（2）函数y=Acs(ωx+φ)是奇函数⇔φ=kπ+π2（k∈Z），是偶函数⇔φ=kπ（k∈Z）；
（3）函数y=Atan(ωx+φ)是奇函数⇔φ=kπ（k∈Z）．
3.三角函数的对称性
（1）函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ=kπ+π2（k∈Z）解得，对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ（k∈Z）解得；
（2）函数y=Acs(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ=kπ（k∈Z）解得，对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ+π2（k∈Z）解得；
（3）函数y=Atan(ωx+φ)的图象的对称中心由ωx+φ=kπ2 k∈Z）解得．
4.基本规律
1.三角函数的对称中心（对称轴）有数个，适当结合条件确定合适 .
2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心.一般情况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点
1.若fx满足fa+x+fb−x=2c，则fx关于a+b2,c中心对称
特殊的奇函数：（考试难点）：
①对数与反比例复合：y=lgam-nxm+nx，y=lgam+nxm-nx，如：lga1-x1+x，lga1-kx1+kx，
②指数与反比例复合：y=ax+1ax−1,y=ax-1ax+1,y=1−ax1+ax，y=1+ax1−ax
③对数与无理式复合：y=lga（（kx）2+1±kx），如：y=lga（（x）2+1+x
3.形如y=ax+max+1对称中心为（0，1+m2）