重难点专题08 极值点偏移的十大类型-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

这是一份重难点专题08 极值点偏移的十大类型-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用），文件包含重难点专题08极值点偏移的十大类型原卷版docx、重难点专题08极值点偏移的十大类型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共123页， 欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点专题08极值点偏移的十大类型
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc144762240" 题型1加法型构造一元差函数 PAGEREF _Tc144762240 \h 1
\l "_Tc144762241" 题型2乘法型构造一元差函数 PAGEREF _Tc144762241 \h 2
\l "_Tc144762242" 题型3构造辅助函数+构造一元差函数 PAGEREF _Tc144762242 \h 3
\l "_Tc144762243" 题型4比值代换法 PAGEREF _Tc144762243 \h 5
\l "_Tc144762244" 题型5对数均值不等式法 PAGEREF _Tc144762244 \h 6
\l "_Tc144762245" 题型6加法型汇总 PAGEREF _Tc144762245 \h 7
\l "_Tc144762246" 题型7减法类型 PAGEREF _Tc144762246 \h 8
\l "_Tc144762247" 题型8乘积型汇总 PAGEREF _Tc144762247 \h 9
\l "_Tc144762248" 题型9平方类型 PAGEREF _Tc144762248 \h 10
\l "_Tc144762249" 题型10商类型 PAGEREF _Tc144762249 \h 11
题型1加法型构造一元差函数
【例题1】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数fx=x−sinπ2x−alnx,x=1为其极小值点．
(1)求实数a的值；
(2)若存在x1≠x2，使得fx1=fx2，求证：x1+x2>2．
【变式1-1】1. （2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=12e2x−(e+1)ex+ex+12.
(1)求f(x)的极值.
(2)若fx1=fx2=fx3，x1【变式1-1】2. （2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知函数fx=2x+alnx−3x−a,a>0.
(1)当x≥1时，fx≥0，求a的取值范围.
(2)若函数fx有两个极值点x1,x2，证明：x1+x2>2e−12.
【变式1-1】3. （2022·江苏南通·高三期中）已知fx=x3−ax2a∈R，其极小值为-4.
(1)求a的值；
(2)若关于x的方程fx=t在0,3上有两个不相等的实数根x1，x2，求证：3【变式1-1】4. （2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知函数fx=x2lnx−32a，a为实数．
(1)求函数fx的单调区间；
(2)若函数fx在x=e处取得极值，f'x是函数fx的导函数，且f'x1=f'x2，x1题型2乘法型构造一元差函数
【例题2】（2022·北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数fx=lnx−x
(1)求函数fx单调区间；
(2)设函数gx=fx+a，若x1,x2∈0,e是函数gx的两个零点，
①求a的取值范围；
②求证：x1x2<1．
【变式2-1】1. （2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）已知函数f(x)=ex−xlnx+x2−ax．
(1)证明：若a≤e+1，则f(x)≥0；
(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1．
【变式2-1】2. （2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=xlnx−ax+a．
(1)若x≥1时，f(x)≥0，求a的取值范围；
(2)当a=1时，方程f(x)=b有两个不相等的实数根x1,x2，证明：x1x2<1．
【变式2-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=exx−x⋅e1x.
(1)求fx在1,+∞上的最小值.
(2)设gx=fx+xe1x+x−lnx−a，若gx有两个零点x1,x2，证明：x1x2<1.
【变式2-1】4. （2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=lnx.
(1)证明：fx+1≤x.
(2)若函数ℎx=2xfx，若存在x1题型3构造辅助函数+构造一元差函数
【例题3】（2023秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考开学考试）已知函数fx=alnxa−x，gx=ax−aex．（e=2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数）
(1)当a=1时，求函数y=fx的极大值；
(2)已知x1，x2∈0,+∞，且满足fx1>gx2，求证：x1+aex2>2a．
【变式3-1】1.（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知函数fx=ax+a−1lnx+1x，a∈R．
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)若关于x的方程fx=xex−lnx+1x有两个不相等的实数根x1、x2，
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证：ex1x2+ex2x1>2ax1x2．
【变式3-1】2. （2023·山东日照·统考二模）已知函数fx=x−alnx．
(1)若fx≥1恒成立，求实数a的值：
(2)若x1>0，x2>0，ex1+lnx2>x1+x2，证明：ex1+x2>2．
【变式3-1】3. （2022秋·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知函数f(x)=2e−xlnx，其中e=2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数.
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若x1,x2∈0,1，且x2lnx1−x1lnx2=2ex1x2lnx1−lnx2，证明：2e<1x1+1x2<2e+1.
【变式3-1】4. （2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=x1−lnx.
(1)讨论fx的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna−alnb=a−b，证明：2<1a+1b.
题型4比值代换法
【例题4】（2023·北京通州·统考三模）已知函数fx=ax−ax−lnx(a>0)
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x−1，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知gx=fx+ax有两个零点x1，x2，求实数a的取值范围并证明x1x2>e2.
【变式4-1】1. （2022·全国·高三专题练习）设函数fx=exx−2−13kx3+12kx2．
(1)若k=1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)存在三个极值点x1,x2,x3，且x12x2．
【变式4-1】2. （2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x2−a−2eln1xlnx(a∈R)，且f'(x)是函数f(x)的导函数，
(1)求函数f(x)的极值；
(2)当a<1时，若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,(x1>x2)．
（ⅰ）证明：lnx1−lnx2（ⅱ）证明：f'(x1x2)<0．
【变式4-1】3. （2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数fx=xlnx−a2x2−x+a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求a的取值范围；
(2)记两个极值点为x1,x2，且x1【变式4-1】4. （2022·全国·高三专题练习）已知函数fx=lnx.
(1)设函数gx=tx−lnxt∈R，且gx≤fx恒成立，求实数t的取值范围；
(2)求证：fx>1ex−2ex；
(3)设函数y=fx−ax−1xa∈R的两个零点x1、x2，求证：x1x2>2e2.
题型5对数均值不等式法
【例题5】（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx=xlnx−12ax2+1 a∈R（f'x为fx的导函数）.
(1)讨论f'x单调性；
(2)设x1,x2是f(x)的两个极值点，证明：0<1x1x2<1.
【变式5-1】1. （2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高三阶段练习）已知函数f(x)=xlnx−12ax2．
(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围．
(2)若x1,x2是方程f(x)=0的两个不相等的实数根，证明：x1+x2>1a．
【变式5-1】2. （2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数．
（1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）当a＝1时，试比较f（m）与f（1m）的大小；
（3）若函数f(x)有两个零点x1、x2，试证明x1x2＞e2．
【变式5-1】3. （2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=alnx+x+a存在两个零点x1，x2.
（1）求a的取值范围；
（2）证明：x1x2>1.
【变式5-1】4. （2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数fx=lnx−ax2.
(1)讨论函数fx的单调性：
(2)若x1,x2是方程fx=0的两不等实根，求证：x12+x22>2e；
题型6加法型汇总
【例题6】（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数fx=3alnx−a−3x，a∈R.
(1)当a=1时，求曲线gx=fx−3lnx−sinx在x=π2处的切线方程；
(2)设x1，x2是ℎx=fx−3a−2lnx−3x的两个不同零点，证明：ax1+x2>4.
【变式6-1】1. （2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知函数fx=kx+lnx−54kk∈R．
(1)求函数fx的单调区间和最大值；
(2)设函数gx=fx−kx+1x有两个零点x1,x2，证明：x1+x2>2．
【变式6-1】2. （2023春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知函数fx=x2lnx−aa∈R.
(1)求函数fx的单调区间；
(2)若函数fx有两个零点x1、x2，证明1【变式6-1】3. （2023春·全国·高三专题练习）已知函数fx=ax2+a−2x−lnxa∈R.
(1)讨论fx的单调性；
(2)若fx有两个零点x1,x2，证明：x1+x2>2a.
【变式6-1】4. （2023·全国·高三专题练习）设函数fx=lnx−1−kx−2x.
(1)若fx≥0对∀x∈2,+∞恒成立，求实数k的取值范围；
(2)已知方程lnx−1x−1=13e有两个不同的根x1、x2，求证：x1+x2>6e+2，其中e=2.71828⋯为自然对数的底数.
题型7减法类型
【例题7】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=x−e−1ex−12ex2+e2x．
(1)求函数fx的单调区间与极值．
(2)若fx1=fx2=fx3x1【变式7-1】1.（2021•常熟市月考）设函数f(x)=lnx，g(x)=a(x−1)，其中a∈R.
(1)若a=1，证明：当x>1时，f(x)(2)设F(x)=f(x)−g(x)ex，且0①证明F(x)恰有两个零点；
②设x0如为F(x)的极值点，x1为F(x)的零点，且x1>x0，证明：3x0−x1>2.
【变式7-1】2. （2021•黄州区校级模拟）已知函数fx=axlnx−a+1lnx，fx的导数为f'x.
（1）当a>−1时，讨论f'x的单调性；
（2）设a>0，方程fx=3e−x有两个不同的零点x1,x2x1x2+1e.
【变式7-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=ex−2x−a+1，gx=x2+a−1x−a+2（其中e≈2.71828是自然对数的底数）
(1)试讨论函数fx的零点个数；
(2)当a>1时，设函数ℎx=fx−gx的两个极值点为x1、x2且x1【变式7-1】4. （2021•日照模拟）设函数f(x)=ex−12ax2−x．
(1)若函数f(x)在R上单调递增，求a的值；
(2)当a>1时，
①证明：函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1②证明：f(x2)<1+sinx2−x22．
【变式7-1】5. （2021春•丽水期中）已知函数fx=2xlnx，gx=x2+ax−1，a∈R.
（1）若对任意x∈1,+∞，不等式fx≤gx恒成立，求a的取值范围；
（2）若函数ℎx=fx−2a有3个不同的零点x1，x2，x3x1（ⅰ）求证：x1+x2>2e；
（ii）求证：x3−x2>1+2a−1−2a.
题型8乘积型汇总
【例题8】（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知f(x)=2x−sinx−alnx．
(1)当a=1时，讨论函数f(x)的极值点个数；
(2)若存在x1，x2(0【变式8-1】1. （2023秋·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考阶段练习）已知函数fx=xlnx−a，gx=fxx+a−ax．
(1)当x≥1时，fx≥−lnx−2恒成立，求a的取值范围．
(2)若gx的两个相异零点为x1，x2，求证：x1x2>e2．
【变式8-1】2. （2023·新疆·校联考二模）已知函数fx=ex−a2x2+2ax，a∈R，其中e为自然对数的底数．
(1)若fx有两个极值点，求a的取值范围；
(2)记fx有两个极值点为x1、x2，试证明：x1x2<2x1+x2−3．
【变式8-1】3. （2022秋·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）已知函数fx=2x−sinx+mlnx，gx=fx+sinx．
(1)求函数gx的单调区间和极值；
(2)若存在x1,x2∈0,+∞，且当x1≠x2时，fx1=fx2，证明：x1x2m2<1．
【变式8-1】4. （2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=x−sinx−tanx+alnx+b，x∈0,π2.
(1)求证：2x(2)若存在x1、x2∈0,π2，且当x1≠x2时，使得fx1=fx2成立，求证：x1x2a2<1.
题型9平方类型
【例题9】（2023秋·辽宁大连·高三大连市第二十高级中学校考开学考试）已知函数fx=lnx+1ax.
(1)讨论fx的单调性；
(2)若ex1x2=ex2x1（e是自然对数的底数），且x1>0，x2>0，x1≠x2，证明：x12+x22>2.
【变式9-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=lnxx−ax.
(1)若fx≤−1，求实数a的取值范围；
(2)若fx有2个不同的零点x1,x2（x1125a.
【变式9-1】2. （2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=1+lnxax
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若ex1x2=ex2x1，且x1>0，x2>0，x1≠x2，证明: x12+x22>2.
【变式9-1】3. （2021•浙江模拟）函数fx=lnx−ax2+1.
（1）若a=1，求函数y=f2x−1在x=1处的切线；
（2）若函数y=fx有两个零点x1，x2，且x1（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：x22−x1<−a2+a+1a2.
【变式9-1】4. （2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x−sinxcsx−alnx，a∈R.
（1）当a=0时，求曲线y=f(x)在点π2,fπ2处的切线方程；
（2）若f(m)=f(n)，0|a|.
题型10商类型
【例题10】（2021•新疆模拟）已知函数f(x)=lnx−ax+12x2.
(1)当a=52时，求f(x)的单调区间；
(2)已知a≥433，x1，x2(x1>x2)为函数f(x)的两个极值点，求y=2(x1−x2)x1+x2−lnx1x2的最大值.
【变式10-1】1. （2021春•湖北期末）已知函数fx=ae−x+lnx−1（a∈R）.
（1）当a≤e时，讨论函数fx的单调性；
（2）若函数fx恰有两个极值点x1，x2（x1【变式10-1】2. （2021•宁德三模）已知函数f(x)=ae−x+lnx−1a∈R.
（1）当a≤e时，讨论函数f(x)的单调性：
（2）若函数f(x)恰有两个极值点x1,x2x1【变式10-1】3. （2021•新乡三模）已知函数fx=lnx.
（1）求函数gx=x2fx的单调区间；
（2）证明：∀x1，x2∈1，+∞，fx1x2≤x1+x21−1x1x2.
【变式10-1】4. （2021春•海曙区校级期中）已知函数f(x)=1x−x+alnx．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）已知a<52，若f(x)存在两个极值点x1,x2，且x11.（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数fx=x+1a+lnxx
(1)若函数fx在定义域上单调递增，求a的最大值；
(2)若函数fx在定义域上有两个极值点x1和x2，若x2>x1，λ=ee−2，求λx1+x2的最小值．
2. （2023·全国·模拟预测）已知函数fx=aexx+lnx−xa∈R．
(1)讨论函数fx的极值点的个数；
(2)若函数fx恰有三个极值点x1、x2、x3x13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=12x2+x−xlnx的导函数为f'(x).
(1)判断f(x)的单调性；
(2)若关于x的方程f'(x)=m有两个实数根x1，x2(x14．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知函数ℎx=x−alnxa∈R.
(1)若ℎx有两个零点，a的取值范围；
(2)若方程xex−alnx+x=0有两个实根x1、x2，且x1≠x2，证明：ex1+x2>e2x1x2.
5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数f(x)=aln(x+2)−x(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性和最值；
(2)若关于x的方程ex=2m−1mlnmx+2(m>0)有两个不等的实数根x1,x2，求证：ex1+ex2>2m.
6．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知函数fx=x+1lnx+a−3x．
(1)若函数fx为增函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数fx有两个极值点x1、x2x1−2．
7．（2020·全国·模拟预测）已知函数fx=−x+alnx+1−1a>1．
（1）讨论函数fx的单调性．
（2）已知fx有两个不同的零点x1、x2．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证：f'x12+x222<0（f'x为fx的导函数）．
8．（2021·全国·统考高考真题）已知函数fx=x1−lnx.
（1）讨论fx的单调性；
（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna−alnb=a−b，证明：2<1a+1b极值点偏移问题中（极值点为x0），证明x1+x2>2x0或x1+x2<2x0的方法：
①构造Fx=fx−f2x0−x，
②确定Fx的单调性，
③结合特殊值得到fx2−f2x0−x2>0或fx2−f2x0−x2<0，再利用fx1=fx2，得到fx1与f2x0−x2的大小关系，
④利用fx的单调性即可得到x1+x2>2x0或x1+x2<2x0.
处理极值点偏移问题中的类似于x1x2①求导确定fx的单调性，得到x1,x2的范围；
②构造函数Fx=fx−fax，求导后可得Fx恒正或恒负；
③得到fx1与fax1的大小关系后，将fx1置换为fx2；
④根据x2与ax1所处的范围，结合fx的单调性，可得到x2与ax1的大小关系，由此证得结论.
极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2，求证：x1+x2>2x0（x0为函数f(x)的极值点）；
2.若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2>2x0（x0为函数f(x)的极值点）；
3.若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2，令x0=x1+x22，求证：f'x0>0；
4.若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2)，令x0=x1+x22，求证：f'x0>0.
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值（一般用t表示）表示两个极值点，即t=x1x2，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题求解．
两个正数a和b的对数平均定义：L(a,b)=a−blna−lnb(a≠b),a(a=b).
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：ab≤L(a,b)≤a+b2（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当a=b时，等号成立．