重难点专题09 双变量不等式十大题型-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点专题09双变量不等式十大题型汇总
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc144845031" 题型1转化为单变量 PAGEREF _Tc144845031 \h 1
\l "_Tc144845032" 题型2整体换元法 PAGEREF _Tc144845032 \h 2
\l "_Tc144845033" 题型3选取主元法 PAGEREF _Tc144845033 \h 3
\l "_Tc144845034" 题型4变更主元法 PAGEREF _Tc144845034 \h 4
\l "_Tc144845035" 题型5比值代换法 PAGEREF _Tc144845035 \h 6
\l "_Tc144845036" 题型6同构法 PAGEREF _Tc144845036 \h 7
\l "_Tc144845037" 题型7双变量的单调问题 PAGEREF _Tc144845037 \h 8
\l "_Tc144845038" 题型8中点类型 PAGEREF _Tc144845038 \h 9
\l "_Tc144845039" 题型9极值点的和差积商问题 PAGEREF _Tc144845039 \h 10
\l "_Tc144845040" 题型10剪刀模型 PAGEREF _Tc144845040 \h 11
题型1转化为单变量
【例题1】（2023秋·江苏常州·高三校考期末）已知函数f(x)=1+lnx+2ax(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明：1x1+1x2>−4a.
【变式1-1】1. （2022秋·海南·高三校联考期末）已知函数fx=aex−2x
(1)求fx的单调区间；
(2)若函数fx有两个不同的零点x1，x2，证明：x1+x2<2ln2−2lna．
【变式1-1】2. （2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若函数fx=alnx−12x2+a+12x>0有两个零点x1,x2，且x1(1)求a的取值范围；
(2)若fx在x1,0和x2,0处的切线交于点x3,y3，求证：2x3【变式1-1】3. （2023·广西·校联考模拟预测）已知函数f(x)=ex−xlnx+x2−axa∈R．
(1)若a=1，求y=fx在x=1处的切线方程；
(2)若fx有两个不同零点x1，x2证明：fx1x2>e+1−ax1x2．
【变式1-1】4. （2023·全国·模拟预测）已知函数fx=ex−x2+ax，a∈R.
(1)若函数fx是增函数，求a的取值范围；
(2)已知Ax1,y1、Bx2,y20lnx1.
题型2整体换元法
【例题2】（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）已知函数fx=1x−12x2x−a−lnx−12x+b，其中a,b∈R.
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)若函数fx存在三个零点x1、x2、x3（其中x1（i）若a>1，函数gx=lnx+12x，使得0（ii）若0【变式2-1】1. （2023·海南·校联考模拟预测）已知函数fx=x−2lnx−ax+ba,b∈R在0,+∞上单调递增.
(1)求a的取值范围；
(2)若存在正数x1,x2x1≠x2满足f'x1=f'x2=b（f'x为fx的导函数），求证：fx1+fx2>0.
【变式2-1】2. （2023·河南开封·统考二模）已知函数f(x)=lnxx+1x+x图象上三个不同的点M(m,f(m)),N(n,f(n)),P(1,f(1))．
(1)求函数f(x)在点P处的切线方程；
(2)记（1）中的切线为l，若MN∥l，证明：2<1m+1n【变式2-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=12e2x−a+1x−1ex+13ax3，fx的导函数为f'x.
(1)若fx在0,+∞上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若a<−16，求证：方程f'x+a+1xex=0在0,+∞上有两个不同的实数根x1,x2x1【变式2-1】4. （2023·全国·高三专题练习）已知指数函数fx经过点−1,1e.求：
(1)若函数gx的图象与fx的图象关于直线y=x对称，且与直线y=kx+1相切，求k的值；
(2)对于实数a，b，且a≠b，①fa+b在两个结论中任选一个，并证明.（注：如果选择多个结论分别证明，按第一个计分）
题型3选取主元法
【例题3】（2021春•哈密市校级月考）已知函数f(x)=xlnx.
(1) 求函数f(x)的单调区间和最小值；
(2)当b>0时，求证：bb≥(1e)1e (其中e为自然对数的底数);
(3)若a>0,b>0, 求证：f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)−f(b).
【变式3-1】1. （2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知函数fx=ex−ax+1.
(1)若a=2，求函数fx的极值；
(2)若a=1，gx=x−2lnx2，且满足fm=gnm≥0，求证：n≤2em.
【变式3-1】2. （2021秋•广东月考）已知函数fx=aexx+lnx−x(a∈R，且a为常数）
(Ⅰ)若函数fx的极值点只有一个，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)当a=0时，若fx≤kx+m（其中m>0）恒成立，求k+1m的最小值ℎm的最大值.
【变式3-1】3. （2023·天津·高三专题练习）设函数f(x)=e2x+lnx(x>0)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)已知a,b∈R，曲线y=f(x)上不同的三点x1,fx1,x2,fx2,x3,fx3处的切线都经过点(a,b)．证明：
（ⅰ）若a>e，则0（ⅱ）若0（注：e=2.71828⋯是自然对数的底数）
【变式3-1】4. （2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=ex−1−lnx（其中e=2.71828…是自然对数底数）.
(1)求fx的最小值；
(2)若过点a,ba≠0可作曲线fx的两条切线，求证：b<2ea−1−2lna−a2+2a−54.（参考数据：ln2≈0.6931,ln3≈1.0986,ln5≈1.6094）
题型4变更主元法
【例题4】（2021•微山县校级二模）设函数f(x)=xlnx.
(1)求f(x)的极值；
(2)设g(x)=f(x+1)，若对任意的x⩾0，都有g(x)⩾mx成立，求实数m的取值范围；
(3)若0【变式4-1】1. (武汉市2021届高中毕业生三月质量检测)已知函数.
(1)当时,求的最小值;
(2)证明:当时, f(x)≥lna恒成立.
【变式4-1】2. （2018·全国·高考真题）已知函数fx=aex-lnx-1．
（1）设x=2是fx的极值点．求a，并求fx的单调区间；
（2）证明：当a≥1e时，fx≥0．
【变式4-1】3. （2018·全国·高考真题）已知函数fx=ax2+x-1ex．
（1）求曲线y=fx在点0,-1处的切线方程；
（2）证明：当a≥1时，fx+e≥0．
【变式4-1】4. （2013·全国·高考真题）已知函数f(x)=ex-ln(x+m).
(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；（2）当m≤2时，证明f(x)>0.
整体代换，变量归一，通过等价转化，将关于,x的双变量问题等价转化为以x,x所表示的运算式作为整体的单变量问题，通过整体代换为只有一个变量的函数式，从而使问题得到巧妙的解决，我们将这种解决问题的思想称之为变量归一思想.
指定主变量(选取主元)，有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当作常数，另一个看成自变量，便可使问题得以解决，我们称这种思想方法为指定主变量思想.
变更主元，对于题目涉及到的两个变元，已知中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一外变元的取值范围问题，这类问题我们称之不“伪双变量”问题.这种“伪双变量”问题，往往会利用我们将字母x作为自变量的误区来进行设计.此时，我们变更一元思路，将另一个变量作为自变量，从而使问题得以解决，我们称这种方法为变更主元法.
题型5比值代换法
【例题5】（2023秋·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）设方程x−22ex=a有三个实数根x1,x2,x3(x1(1)求a的取值范围；
(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4分，若选②则该小问满分9分.
①证明：(x1−2)(x2−2)<4；
②证明：x1+x2+x3+1x1+1x2+1x3<3e2.
【变式5-1】1. （2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知函数f(x)=x2+2csx, f'(x)为函数f(x)的导函数．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)已知函数g(x)=f'(x)−5x+5alnx，存在g(x1)=g(x2)(x1≠x2)，证明：x1+x2>2a．
【变式5-1】2. （2023·河南·校联考模拟预测）已知函数fx=xeax+lnx−ax，其中e为自然对数的底数.
(1)当a=1时，求fx的单调区间；
(2)若函数gx=fx−xeax有两个零点x1,x2x1e2.
【变式5-1】3. （2023·全国·模拟预测）已知函数fx=a+1lnx+ax−x，a∈R．
(1)讨论fx的单调性；
(2)若fx1=fx2，当x1<12a+122a．
【变式5-1】4. （2023秋·广西南宁·高三南宁市武鸣区武鸣高级中学校考开学考试）设函数f(x)=ex−ax，其中a∈R.
(1)讨论函数f(x)在[1,+∞)上的极值；
(2)若函数f(x)有两零点x1,x2x11，求正实数λ的取值范围.
题型6同构法
【例题6】（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知函数fx=1+2lnxx2.
(1)设函数gx=ekx−1kxk>0，若fx≤gx恒成立，求k的最小值；
(2)若方程fx=m有两个不相等的实根x1、x2，求证：x1x2+x2x1<21−lnmm.
【变式6-1】1. （2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数f(x)=aex−1−x−lnx+x−1，a≥0．
(1)求证：fx存在唯一零点；
(2)设g(x)=aex−1+x−1，若存在x1,x2∈(1,+∞)，使得gx2=gx1−fx1，求证：lnx1+12+1>x2−1x1−1．
【变式6-1】2. （2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=ln(x+3)−x.
(1)求函数f（x）的最大值;
(2)若关于x的方程aex+lnax+3=3,(a>0)有两个不等实数根x₁，x₂，证明: ex1+ex2>2a .
【变式6-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=mx+lnx.
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)若142e.
【变式6-1】4. （2022·福建南平·三模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求证：函数有两个零点，且.
题型7双变量的单调问题
【例题7】（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知函数f(x)=klnx+1ex(k∈R).
(1)若函数y=f(x)为增函数，求k的取值范围；
(2)已知0（i）证明：eex2−eex1>−lnx2x1>1−x2x1；
（ii）若x1ex1=x2ex2=k，证明：fx1−fx2<1.
【变式7-1】1. （2023·海南海口·统考模拟预测）已知函数f(x)=xex+2.
(1)求f(x)的最小值；
(2)设F(x)=f(x)+a(x+1)2(a>0).
（ⅰ）证明：F(x)存在两个零点x1，x2；
（ⅱ）证明：F(x)的两个零点x1，x2满足x1+x2+2<0.
【变式7-1】2. （2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=exx2+1（其中e为自然对数的底数）.
(1)讨论函数y=fx+a−2x⋅exa∈R的单调性；
(2)若x1>x2>0，不等式e2x1−e2x2>λfx1−fx2恒成立，求实数λ的取值范围.
【变式7-1】3. （2020春•平顶山期末）已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1．
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在1,f(1)处的切线方程；
(2)设a≤−2，证明：对任意x1，x2∈(0,+∞)，|f(x1)−f(x2)|≥4|x1−x2|．
【变式7-1】4. （2020春•周口期末）已知函数fx=alnx+xba≠0．
（1）当b=2时，若函数fx恰有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）当a+b=0，b>0时，对任意x1,x2∈1e,e，有fx1−fx2≤e−2成立，求实数b的取值范围．
题型8中点类型
【例题8】（2021秋·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）已知函数f(x)=−lnx+12ax2+(1−a)x+2.
(1)当0(2)若斜率为k的直线与y=f(x)的图象交于不同两点Ax1,y1，Bx2,y2，线段AB的中点的横坐标为x0，证明：f'(x0)>k.
【变式8-1】1. （2023春·河北·高三统考阶段练习）已知函数fx=12x2+ax−2a2lnx.
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)若a>0,x1,x2是fx的两个不相等的零点，证明：f'x1+x22>0.
【变式8-1】2. （2021秋•山西期末）已知函数f(x)=2x+(1−2a)lnx+ax.
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）如果方程f(x)=m有两个不相等的解x1,x2，且x10.
【变式8-1】3. （2022秋·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考阶段练习）设函数fx=mx−ex−mm∈R.
(1)讨论fx的单调性;
(2)若fx有两个零点x1和x2，设x0=x1+x22，证明：f'x0>0（f'x为fx的导函数）.
【变式8-1】4. （2021春•瑶海区月考）已知函数fx=12x2+lnx+mx，（m∈R）．
(1)若fx存在两个极值点，求实数m的取值范围；
(2)若x1，x2为fx的两个极值点，证明：fx1+fx22−fx1+x22>m+228．
题型9极值点的和差积商问题
【例题9】（2023春·福建宁德·高三统考阶段练习）已知函数f(x)=ex+2ax−1，其中a为实数，e为自然对数底数，e=2.71828⋯.
(1)已知函数x∈R，f(x)≥0，求实数a取值的集合；
(2)已知函数F(x)=f(x)−ax2有两个不同极值点x1、x2，证明2a(x1+x2)>3x1x2
【变式9-1】1. （2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知函数f(x)=aln(1+x)+12x2−x(a∈R)．
(1)若a＝1，求函数fx的单调区间；
(2)若函数fx有两个极值点x1,x2，且x1x12．
【变式9-1】2. （2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数fx=x+2ex+ax−2，其中a为实数.
(1)若a=1，求函数fx在区间0,+∞上的最小值；
(2)若函数fx在R上存在两个极值点x1，x2，且x12a−2.
【变式9-1】3. （2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）已知函数fx=x2+aln1−x，a∈R．
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)若函数fx有两个极值点x1，x2，且x1−a．
【变式9-1】4. （2021春•温州期中）已知函数f(x)=lnx−12(ax−1x)．
（1）若a=1，证明：当00；当x>1时，f(x)<0．
（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2<1−a2．
题型10剪刀模型
【例题10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=ex−2x−a+1，gx=x2+a−1x−a+2（其中e≈2.71828是自然对数的底数）
(1)试讨论函数fx的零点个数；
(2)当a>1时，设函数ℎx=fx−gx的两个极值点为x1、x2且x1【变式10-1】1. （2021秋•和平区校级月考）已知函数fx=x+bex−ab>0在点−1,f−1处的切线方程为e−1x+ey+e−1=0.
（1）求a、b；
（2）设曲线y=fx与x轴负半轴的交点为点P，曲线在点P处的切线方程为y=ℎx，求证：对于任意的实数x，都有fx≥ℎx；
（3）若关于x的方程fx=m有两个实数根x1，x2，且x1【变式10-1】2. （2021•日照一模）已知函数fx=x+be2x−ab>0在点−12,f−12处的切线方程为e−1x+ey+e−12=0．
（1）求a，b；
（2）函数fx图像与x轴负半轴的交点为P，且在点P处的切线方程为y=ℎx，函数Fx=fx−ℎx，x∈R，求Fx的最小值；
（3）关于x的方程fx=m有两个实数根x1，x2，且x1【变式10-1】3. （2021春•道里区校级期中）已知函数f(x)=ax−ex+1，ln3是f(x)的极值点．
(1)求a的值；
(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线为直线l．求证：曲线y=f(x)上的点都不在直线l的上方；
(3)若关于x的方程f(x)=m(m>0)有两个不等实根x1，x2(x1【变式10-1】4. （2021•江西校级二模）已知函数f(x)=6x−x6，x∈R．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，求曲线在点P处的切线方程；
(3)若方程f(x)=a(a为实数）有两个实数根x1，x2且x11.（2022秋·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）已知函数f(x)=x2−2lnx.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)设F(x)=f(x)−x2+ax2+1 (a<0)有两个不同的零点x1，x2，x0为其极值点，证明：2F(x0)<−2a<1x12+1x22．
2. （2022秋·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知函数fx=ae−2x+x−1x+1(a∈R,e为自然对数的底数)．
(1)若函数fx在区间0,1上存在极值点，求a的取值范围；
(2)设x1､x2∈R，且x1≠x2，求证：x1+x223. （2023·全国·模拟预测）已知函数fx=mx−xlnx，m∈R．
(1)若函数fx的图象在x=1处的切线方程为y=x+b，求b的值；
(2)若m=2，fx1=fx2且x14. （2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数fx=lnxx−x+a,a∈R.
(1)若a=0，求不等式xfx+x2≥2x−1x+1的解集；
(2)若fx存在两个不同的零点x1，x2(x12+a.
5. （2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知函数fx=ax2,gx=lnxx.
(1)若ℎx=fx+gx在1e,e单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若gx的极值点为x0，设φx=xfx+gx，且φx1=φx2=3,x1≠x2证明：x0x1x26. （2023·浙江·二模）设m>1，过Mm,0斜率为k的直线与曲线y=lnx交于P，Q两点（P在第一象限，Q在第四象限）.
(1)若M为PQ中点，证明：0(2)设点A1,0，若AP≤AQ，证明：k>1.
7.（2022·浙江·统考高考真题）设函数f(x)=e2x+lnx(x>0)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)已知a,b∈R，曲线y=f(x)上不同的三点x1,fx1,x2,fx2,x3,fx3处的切线都经过点(a,b)．证明：
（ⅰ）若a>e，则0（ⅱ）若0（注：e=2.71828⋯是自然对数的底数）
8．（2006·四川·高考真题）已知函数f(x)=x2+2x+alnx(x>0)，f(x)的导函数是f'(x)．对任意两个不相等的正数x1、x2，证明：
(1)当a⩽0时，f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)；
(2)当a⩽4时，|f'(x1)−f'(x2)|>|x1−x2|．
(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t=x1x2化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．
<同构小套路>
①指对各一边，参数是关键；
②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；
④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围.
1．含绝对值型，大多数都是有单调性的，所以可以通过讨论去掉绝对值．
2．去掉绝对值，可以通过“同构”重新构造函数．