重难点专题11 导数解答题之零点问题八大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

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这是一份重难点专题11 导数解答题之零点问题八大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用），文件包含重难点专题11导数解答题之零点问题八大题型汇总原卷版docx、重难点专题11导数解答题之零点问题八大题型汇总解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共119页，欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点专题11导数解答题之零点问题八大题型汇总
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc145080973" 题型1一个零点问题 PAGEREF _Tc145080973 \h 1
\l "_Tc145080974" 题型2两个零点问题2
\l "_Tc145080975" 题型3三个零点问题3
\l "_Tc145080976" 题型4判断零点个数4
\l "_Tc145080977" 题型5最值函数的零点问题5
\l "_Tc145080978" 题型6同构法解零点问题6
\l "_Tc145080979" 题型7零点差问题7
\l "_Tc145080980" 题型8割线法切线法与零点8
题型1一个零点问题
【例题1】（2024秋·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数fx=alnx−ex,a∈R.
(1)讨论fx的单调性;
(2)若函数gx=fx+exx在区间1,+∞上恰有一个零点，求a的取值范围.
【变式1-1】1. （2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）已知函数fx=x+2ex+x2+ax，其中常数a∈R，e是自然对数的底数．
(1)若a=−3，求fx的最小值；
(2)若函数gx=fx−2csx恰有一个零点，求a的值．
【变式1-1】2. （2023秋·江西·高三统考开学考试）已知函数fx=xa+lnx−ax2a∈R.
(1)当a=0时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)若fx在1,+∞上仅一个零点，求a的取值范围.
【变式1-1】3. （2023春·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知函数fx=x2−2alnx−a2b．
(1)当a=1时，若fx的最小值为2，求实数b的值；
(2)若存在a∈e,e3，使得函数fx恰有一个零点，求实数b的取值范围．
【变式1-1】4. （2023·河南开封·统考模拟预测）已知函数fx=ex−ax2．
(1)若函数fx的图象与直线y=x−1相切，求实数a的值；
(2)若函数gx=fx−x+1有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
题型2两个零点问题
【例题2】（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数fx=2lnx+ax（a∈R）．
(1)若fx≤0在0,+∞上恒成立，求a的取值范围：
(2)设gx=x3−fx，x1，x2为函数gx的两个零点，证明：x1x2<1．
【变式2-1】1. （2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）证明下面两题：
(1)证明：当x>1时，ex>x2；
(2)当0【变式2-1】2. （2022秋·广东东莞·高三校考阶段练习）已知函数f(x)=aex−ln(x+1)+lna−1．
(1)若a=1，求函数f(x)的单调区间及极值；
(2)若函数f(x)有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．
【变式2-1】3. （2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知函数fx=lnx−axlna，a>1.
(1)若函数fx在x=1处的切线的斜率为1−e，求实数a的值（e是自然对数的底数）；
(2)若函数fx有且仅有两个零点，求实数a的取值范围.
【变式2-1】4. （2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知函数fx=aex−x（e是自然对数的底数）.
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)若gx=aexx−1−lnx+fx有两个零点，求实数a的取值范围.
题型3三个零点问题
【例题3】（2023春·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）已知fx=2lgax−ex3(a>0且a≠1).
(1)试讨论函数fx的单调性；
(2)当a>1时，若fx有三个零点x1,x2,x3.
①求a的范围；
②设x12e−2.
【变式3-1】1. （2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）设函数f(x)=(x+a)(lnx−lna)−ax+a2，其中a>0.
(1)若a=1，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)求证：∀a∈(2,+∞)，函数f(x)有三个零点x1，x2，x3(x1【变式3-1】2. （2023秋·重庆·高三重庆一中校考开学考试）设函数fx=x−asinx，x∈0,π，gx=x2−1−2axlnx，且fx有唯一零点.
(1)求a的取值范围；
(2)证明：gx存在三个零点；
(3)记fx的零点为p，gx最小的零点为q，证明：q⋅ep<1，其中e是自然对数的底数.
【变式3-1】3. （2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数fx=ax2ex−1−lnx−lna−1有三个零点.
(1)求a的取值范围；
(2)设函数fx的三个零点由小到大依次是x1,x2,x3.证明：aex1x3>e.
【变式3-1】4. （2023·广东深圳·校考二模）已知函数f(x)=x−1x+1−alnx.
(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；
(2)①当0②记①中的三个零点分别为x1，x2，x3，且x1a(x12−1).
题型4判断零点个数
【例题4】（2022秋·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）已知函数fx=12x2+1−ax−lnxa≠0.
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)当a<−1时，判断函数gx=x−1lnx−x+1−fx的零点个数.
【变式4-1】1. （2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知曲线C：fx=sin2x+aex−xa∈R
(1)若曲线C过点P0,−1，求曲线C在点P处的切线方程；
(2)当a=−1时，求fx在0,π2上的值域；
(3)若0【变式4-1】2. （2023·四川成都·校联考模拟预测）设函数fx=sinxex．
(1)求fx的单调区间；
(2)设函数gx=fx−a，求gx在0,3π的零点个数．
【变式4-1】3. （2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨德强学校校考开学考试）已知函数f(x)=alnx−x+1，其中a∈R．
(1)讨论函数f(x)零点个数；
(2)求证：e1+12+13+⋯+1n>nn∈N∗．
【变式4-1】4. （2023·河南·统考模拟预测）设函数fx=12ax2−a+1x+lnx.
(1)当a>0时，讨论函数fx的单调性；
(2)当a=−1时，判断函数gx=fx+x2−2x+1ex的零点个数，并说明理由.
题型5最值函数的零点问题
【例题5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=ex−ax2(a∈R)，gx=x−1．
(1)若直线y=gx与曲线y=fx相切，求a的值；
(2)用minm,n表示m，n中的最小值，讨论函数ℎ(x)=min{f(x),g(x)}的零点个数．
【变式5-1】1. （2021秋·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知函数fx=lnx.
(1)讨论函数gx=fx﹣axa∈R的单调性；
(2)①证明函数F(x)=f(x)−1ex（e为自然对数的底数）在区间1,2内有唯一的零点；
②设①中函数Fx的零点为x0，记m(x)=minxf(x),xex（其中min{a,b}表示a,b中的较小值），若mx=n(n∈R)在区间1,+∞内有两个不相等的实数根x1,x2x12x0.
【变式5-1】2. （2023·广东·高三专题练习）已知函数f(x)=−lnx，g(x)=x3−ax+14，a∈R.
(1)若函数g(x)存在极值点x0，且gx1=gx0，其中x1≠x0，求证：x1+2x0=0；
(2)用min{m,n}表示m，n中的最小值，记函数ℎ(x)=min{f(x)，g(x)}(x>0)，若函数ℎ(x)有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围.
【变式5-1】3. （2023·四川南充·统考三模）已知函数f(x)=xsinx+csx+12ax2，g(x)=xlnxπ．
(1)当a=0时，求函数f(x)在[−π,π]上的极值；
(2)用max{m,n}表示m，n中的最大值，记函数ℎ(x)=max{f(x),g(x)}(x>0)，讨论函数ℎ(x)在(0,+∞)上的零点个数．
【变式5-1】4. （2023·四川南充·统考三模）已知函数fx=axex+x22−x，gx=lnx其中e为自然对数的底数.
(1)当a=1时，求函数fx的极值；
(2)用maxm,n表示m，n中的最大值，记函数ℎx=maxfx,gx(x>0)，当a≥0时，讨论函数ℎx在0,+∞上的零点个数.
题型6同构法解零点问题
【例题6】（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）1.已知函数fx=aex−lnx+2+lna−2.
(1)若fx在x=0处取得极值，求a的值及函数的单调区间；
(2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.
①若fx≥0恒成立，求a的取值范围.
②若fx仅有两个零点，求a的取值范围.
【变式6-1】1. （2021秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数fx=ex−1−mx2m∈R.
（1）选择下列两个条件之一：①m=12；②m=1；判断fx在区间0,+∞是否存在极小值点，并说明理由；
（2）已知m>0，设函数gx=fx+mxlnmx.若gx在区间0,+∞上存在零点，求实数m的取值范围.
【变式6-1】2. （2020秋·湖南·高三校联考阶段练习）已知函数f(x)=aex−ln(x+1)+lna−1.
（1）若a=1，求函数f(x)的极值；
（2）若函数f(x)有且仅有两个零点，求a的取值范围.
【变式6-1】3. （2021秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知fx=xlnx+a2x2+1．
(1)若函数gx=fx+xcsx−sinx−xlnx−1在0,π2上有1个零点，求实数a的取值范围．
(2)若关于x的方程xex−a=fx−a2x2+ax−1有两个不同的实数解，求a的取值范围．
【变式6-1】4. （2021春·江苏·高三专题练习）已知函数f(x)=e2x+a−12lnx+a2
（1）若函数y=fx在0,12上单调递减，求a的取值范围；
（2）若函数y=fx在定义域内没有零点，求a的取值范围．
题型7零点差问题
【例题7】（2023秋·河南·高三校联考开学考试）fx=lnex+a+1−x2+x24+b有两个零点x1,x2x1(1)a=0时，求b的范围；
(2)b=−1且a<54时，求证：x2−x1<25−4a．
【变式7-1】1. （2023秋·河北衡水·高三校考开学考试）已知函数fx=lnx+1，gx=fx+aex，其中a∈R.
(1)求过点−1,−1且与函数fx的图象相切的直线方程；
(2)①求证：当x>0时，ex>1+x+x22；
②若函数gx有两个不同的零点x1，x2，求证：x2−x1<21a2+2a−1.
【变式7-1】2. （2022·全国·高三专题练习）设f(x)=13x3+mx2+nx.
(1)如果g(x)=f'(x)−2x−3在x=2处取得最小值−5，求f(x)的解析式；
(2)如果m+n<10(m,n∈N+)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值.
【变式7-1】3. （2023秋·河南·高三河南省实验中学校考开学考试）已知函数f(x)=12mx2−2x+1+ln(x+1)(m⩾1).
(1)求曲线C:y=f(x)在点P(0,1)处的切线方程；
(2)求证：函数f(x)存在单调递减区间[a，b]，并求出单调递减区间的长度t=b−a的取值范围.
【变式7-1】4. （2023春·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）已知关于x的函数y=f(x),y=g(x)与ℎ(x)=kx+b(k,b∈R)在区间D上恒有f(x)≥ℎ(x)≥g(x)．
（1）若fx=x2+2x，gx=−x2+2x，D=(−∞，+∞)，求h(x)的表达式；
（2）若f(x)=x2−x+1，g(x)=klnx，ℎ(x)=kx−k,D=(0，+∞)，求k的取值范围；
（3）若f(x)=x4−2x2，g(x)=4x2−8，ℎ(x)=4t3−tx−3t4+2t2(0题型8割线法切线法与零点
【例题8】（2020·安徽合肥·高三统考阶段练习）已知函数f(x)=1−x2ex（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f(x)的零点x0，以及曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程；
（2）设方程f(x)=m(m>0)有两个实数根x1,x2，求证：x1−x2<2−m(1+12e)．
【变式8-1】1. （2020·湖北武汉·统考二模）已知函数fx=e−xlnx（e为自然对数的底数）.
（1）求函数fx的零点，以及曲线y=fx在其零点处的切线方程；
（2）若方程fx=mm≠0有两个实数根x1,x2，求证：x1−x2【变式8-1】2. （2017·山西临汾·统考一模）已知函数f(x)=(x2−x)ex.
（1）求曲线y=f(x)在原点处的切线方程；
（2）若f(x)−ax+e≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若方程f(x)=m(m∈ R)有两个正实数根x1,x2，求证：|x1−x2|【变式8-1】3. （2021秋·山东泰安·高三统考期中）已知函数fx=x−1lnx+1，曲线y=fx在点1,0处的切线方程为y=kx+bk,b∈R.
(1)求k，b的值；
(2)证明：fx≥kx+b；
(3)若函数gx=fx+mm∈R有两个零点x1，x2，证明：x2−x1≤1−m−mln2.
【变式8-1】4. （2022·江西·校联考模拟预测）已知函数fx=x+1ex−1.
（1）求fx在点−1,f−1处的切线方程；
（2）若方程fx=b有两个实数根x1，x2，且x11.（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数fx=xsinx+csx+ax2,gx=xlnxπ．
(1)当a=0时，求函数fx在−π,π上的极值；
(2)用maxm,n表示m,n中的最大值，记函数ℎx=maxfx,gx(x>0)，讨论函数ℎx在0,+∞上的零点个数．
2. （2023·河南·校联考模拟预测）已知函数fx=x4−x3+mm≥0．
(1)求曲线y=fx在点1,m处的切线方程；
(2)讨论函数gx=fx−m−m的零点个数．
3. （2023·广东揭阳·校考二模）已知函数fx=lnx−ax
（1）讨论fx的单调性；
（2）若x1，x2，x1（i）x1+x2>2a；
（ii）x2−x1>21−eaa.
4. （2021·山东潍坊·统考三模）设函数fx=xlnx．
（1）求曲线y=fx在点e−2,fe−2处的切线方程；
（2）若关于x的方程fx=a有两个实根，设为x1，x2（x15.（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=ax−1x−(a+1)lnx．
(1)当a=0时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数fx=exx−lnx+x−a．
(1)若fx≥0，求a的取值范围；
(2)证明：若fx有两个零点x1,x2，则x1x2<1．
7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数fx=ln1+x+axe−x
(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)若fx在区间−1,0,0,+∞各恰有一个零点，求a的取值范围．
8．（2021·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=(x−1)ex−ax2+b．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：f(x)只有一个零点
①122a；
②09．（2020·浙江·统考高考真题）已知1（Ⅰ）证明：函数y=fx在(0，+∞)上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0为函数y=fx在(0，+∞)上的零点，证明：
（ⅰ）a−1≤x0≤2(a−1)；
（ⅱ）x0f(ex0)≥(e−1)(a−1)a．
10．（2020·全国·统考高考真题）设函数f(x)=x3+bx+c，曲线y=f(x)在点(12，f(12))处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1．
11．（2020·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=x3−kx+k2．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)有三个零点，求k的取值范围．
【答案】（1）详见解析；(2)(0,427).
【分析】（1）f'(x)=3x2−k，对k分k≤0和k>0两种情况讨论即可；
（2）f(x)有三个零点，由（1）知k>0，且f(−k3)>0f(k3)<0，解不等式组得到k的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.
12．（2019·江苏·高考真题）设函数f(x)=(x−a)(x−b)(x−c),a,b,c∈R，f '(x)为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f '(x)的零点均在集合{−3,1,3}中，求f（x）的极小值；
（3）若a=0,0