重难点专题16 三角函数的图像与性质八大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

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重难点专题16三角函数的图像与性质八大题型汇总
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc145701319" 题型1正余弦平移问题 PAGEREF _Tc145701319 \h 1
\l "_Tc145701320" 题型2识图问题 PAGEREF _Tc145701320 \h 6
\l "_Tc145701321" 题型3恒等变换与平移 PAGEREF _Tc145701321 \h 14
\l "_Tc145701322" 题型4已知对称轴问题 PAGEREF _Tc145701322 \h 21
\l "_Tc145701323" 题型5已知对称中心问题 PAGEREF _Tc145701323 \h 24
\l "_Tc145701324" 题型6周期问题 PAGEREF _Tc145701324 \h 29
\l "_Tc145701325" 题型7平移与重合问题 PAGEREF _Tc145701325 \h 39
\l "_Tc145701326" 题型8sinx,csx和差积与最值 PAGEREF _Tc145701326 \h 43
题型1正余弦平移问题
【例题1】（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）要得到函数fx=sin2x+π3的图象，可以将函数gx=sin2x+π12的图象（ ）
A．向左平移π4个单位B．向左平移π8个单位
C．向右平移π4个单位D．向右平移π8个单位
【答案】B
【分析】fx=sin2x+π3=sin2x+π8+π12，根据三角函数图象的平移变换即可求解.
【详解】因为fx=sin2x+π3=sin2x+π8+π12,
所以将函数gx=sin2x+π12的图象向左平移π8个单位可得到函数fx=sin2x+π3的图象.
故选:B.
【变式1-1】1. （2023秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）把函数y=fx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π6个单位长度，得到函数y=csx+π4的图象，则fx=（ ）
A．cs2x−5π12B．csx2+5π12C．cs2x+5π12D．csx2−5π12
【答案】C
【分析】利用三角函数图象变换规律可得出函数fx的解析式.
【详解】由题意可知，将函数y=csx+π4的图象先向左平移π6个单位长度，得到函数y=csx+π4+π6=csx+5π12的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，可得到函数fx=cs2x+5π12的图象.
故选：C.
【变式1-1】2.（2023·甘肃陇南·统考一模）将函数y=sin2x+π3图像上各点的横坐标缩短到原来的23，纵坐标不变，再将图像向右平移π6个单位长度，得到函数y=fx的图像，以下方程是函数y=fx图像的对称轴方程的是（ ）
A．x=−π3B．x=−2π9C．x=2π9D．x=π3
【答案】C
【分析】由已知条件先求出函数fx的解析式，然后根据正弦函数的性质求出对称轴即可.
【详解】将函数y=sin2x+π3的图像上各点的横坐标缩短到原来的23，
纵坐标不变，得到函数y=sin3x+π3的图像，
再将图像向右平移π6个单位长度，
得到fx=sin3x−π6+π3=sin3x−π6，
其图像的对称轴满足3x−π6=kπ+π2k∈Z，
即x=kπ3+2π9k∈Z，
令k=0时，有x=2π9，
故选：C.
【变式1-1】3.（多选） （2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知函数fx=sinx+φ(0<φ<2π),gx=sinωx+π3ω>0,若把fx的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍后，再将图象向右平移π6个单位，可以得到gx，则下列说法正确的是（ ）
A．φ=23π
B．gx的周期为π
C．gx的一个单调递增区间为7π12,7π6
D．gx=12在区间a,b上有5个不同的解，则b−a的取值范围为(2π,3π]
【答案】ABD
【分析】根据函数平移和伸缩变换得到g(x)解析式，对比可得ω和φ的值，从而求得g(x)解析式，从而可判断AB；根据正弦型函数单调性可判断C，数形结合可判断D．
【详解】fx=sinx+φ横向压缩12得，y=sin2x+φ；
再右移π6个单位得，y=sin2x−π3+φ，
∴−π3+φ=π3+2kπk∈Z,ω=2,
又0<φ<2π，∴ω=2, φ=2π3,故A选项正确；
∴gx=sin2x+π3，
∴周期T=2π2=π，故B选项正确；
由x∈7π12,7π6得，2x+π3∈3π2,8π3,8π3>5π2,故C选项错误；
gx=12在区间a,b上有5个不同的解，由函数图象可知，区间a,b的长度大于两个周期，小于等于3个周期，故b−a∈(2π,3π]，故D选项正确.
故选：ABD.
【变式1-1】4. （2023春·江西赣州·高三校联考阶段练习）将函数gx=sinωxω>0的图象向左平移φω0<φ<π个单位长度得到函数fx的图象，f0=12，f'x为fx的导函数，且f'0<0，若当x∈0,π时，fx的取值范围为−1,12，则ω的取值范围为（ ）
A．23≤ω<1B．23≤ω≤1
C．23≤ω<43D．23≤ω≤43
【答案】D
【分析】根据三角函数平移变换原则可得fx，结合f0,f'0可求得φ；利用整体代换的方式，结合余弦型函数的值域可求得结果.
【详解】∵fx=gx+φω=sinωx+φω=sinωx+φ，f'x=ωcsωx+φ，
∴f0=sinφ=12，f'0=ωcsφ<0，
∵ω>0，∴csφ<0，又0<φ<π，∴φ=5π6，
∴fx=sinωx+5π6=sinπ2+ωx+π3=csωx+π3；
当x∈0,π时，ωx+π3∈π3,πω+π3，
∵fx∈−1,12，∴π≤πω+π3≤5π3，解得：23≤ω≤43.
故选：D.
【变式1-1】5. （2023·河南开封·统考模拟预测）将函数fx=cs2x的图象向右平移π6个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的1ωω>1，得到函数gx的图象，若在区间0,π内有5个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．2312≤ω<2912B．2312<ω≤2912
C．2912≤ω<3512D．2912<ω≤3512
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的平移变换可得gx=cs2ωx−π3，再根据余弦函数的图象可得9π2<2ωπ−π3≤11π2，求解即可.
【详解】将函数fx=cs2x的图象向右平移π6个单位长度，得到fx−π6=cs2x−π6=cs2x−π3的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的1ωω>1，得到函数gx=cs2ωx−π3的图象.
x∈0,π时，2ωx−π3∈−π3,2ωπ−π3，
y=csx在y轴右方的零点为x=π2,3π2,5π2,7π2,9π2,11π2,⋯
因为函数gx的图象在区间0,π内有5个零点，
所以9π2<2ωπ−π3≤11π2，解得2912<ω≤3512.
故选:D.
题型2识图问题
【例题2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,−π<φ<−π2的部分图象如图所示，把函数fx图象上所有点的横坐标伸长为原来的1110倍，得到函数y=gx的图象，则下列说法正确的是（ ）

A．gx+π3为偶函数
B．gx的最小正周期是π
C．gx的图象关于直线x=π2对称
D．gx在区间7π12,π上单调递减
【答案】B
【分析】根据给定的图象依次求出A,φ,ω，得函数f(x)的解析式，结合图象变换求出函数y=g(x)，再根据正弦函数性质逐项判断作答.
【详解】观察图象知，A=2，f(0)=−1，则sinφ=−12，而−π<φ<−π2，于是φ=−5π6，
函数f(x)的周期T满足：T>5π634T<5π6，即2πω>5π634⋅2πω<5π6，解得95<ω<125，
又f(5π6)=0，即有5π6ω+φ=2kπ+π,k∈Z，而ω>0，于是ω=12k5+115,k∈N，
因此k=0,ω=115，所以f(x)=2sin(115x−5π6)，
把函数fx图象上所有点的横坐标伸长为原来的1110倍，得到函数y=gx的图象，
则g(x)=2sin(115×1011x−5π6)=2sin(2x−5π6)，所以g(x+π3)=2sin[2(x+π3)−5π6]=2sin(2x−π6)，
显然函数y=2sin(2x−π6)为非奇非偶函数，故A错误；
g(x)=2sin(2x−5π6)的最小正周期T=2π2=π，故B正确；
因为g(π2)=2sin(2×π2−5π6)=2sinπ6=1≠±2，所以gx的图象不关于直线x=π2对称，故C错误；
当7π12则gx的图象不单调，故D错误.
故选：B
【变式2-1】1. （2023·全国·高三专题练习）函数fx=Asinωx+φ+bφ<π2的图象如图，则fx的解析式和S=f0+f1+f2+⋯+f2020+f2021+f2022+f2023的值分别为（ ）
A．fx=12sin2πx+1，S=2023
B．fx=12sin2πx+1，S=202312
C．fx=12sinπx2+1，S=202412
D．fx=12sinπx2+1，S=2024
【答案】D
【分析】根据函数fx的最大值和最小值可求得A、b的值，根据函数fx的最小正周期可求得ω的值，再由f1=32结合φ的取值范围可求得φ的值，可得出函数fx的解析式，计算出f0+f1+f2+f3的值，结合函数fx的最小正周期可求得S的值.
【详解】由图可知，函数fx的最小正周期为4，则ω=2πT=2π4=π2，
A=fxmax−fxmin2=32−122=12，b=fxmax+fxmin2=32+122=1，
又因为f1=12sinπ2+φ+1=12csφ+1=32，则csφ=1，
因为−π2<φ<π2，则φ=0，所以，fx=12sinπx2+1，
因为f0+f1+f2+f3=12sin0+1+12sinπ2+1+12sinπ+1+12sin3π2+1=4，
又因为2024=4×506，
因此，S=f0+f1+f2+⋯+f2020+f2021+f2022+f2023=4×506=2024.
故选：D.
【变式2-1】2. （2023秋·天津滨海新·高三校考期末）函数fx=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，把函数fx的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，可得到函数y=gx的图象，下列结论中：
①φ=π3；②函数gx的最小正周期为π；
③函数gx在区间−π3,π12上单调递增；④函数gx关于点−π3,0中心对称
其中正确结论的个数是（ ）．
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】对①，先根据图象分析出ω的取值范围，然后根据f0=3分析出φ的可取值，然后分类讨论φ的可取值是否成立，由此确定出ω,φ的取值；对②，根据图象平移确定出gx的解析式，利用最小正周期的计算公式即可判断；对③，先求解出gx的单调递增区间，然后根据k的取值确定出−π3,π12是否为单调递增区间；对④，根据g−π3的值是否为0,即可判断.
【详解】解：由图可知： 11π123T4，
∴11π12<2πω<11π9，
即1811<ω<2411，
又∵f0=2sinφ=3，0<φ<π，
由图可知：φ=2π3，
又∵f1112π=2sin1112πω+φ=2，
∴1112πω+φ=π2+2kπ,k∈Z，
且1112πω∈3π2,2π，
∴1112πω+φ∈3π2,3π，
故k=1，
当φ=2π3时，1112πω=116π，解得：ω=2，满足条件，
∴fx=2sin2x+2π3，
故gx=2sin2x−π6+2π3=2sin2x+π3，
对①，由上述可知①错误；
对②，∵gx=2sin2x+π3，
∴gx的最小正周期为2π2=π，故②正确；
对③，令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z，
即kπ−5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z，
令k=0，此时单调递增区间为−5π12,π12，且−π3,π12⊆−5π12,π12，故③正确；
对④，∵g−π3=2sin2×−π3+π3=−3≠0，
∴−π3,0不是对称中心，故④错误；
故选：C.
【点睛】方法点睛：已知函数gx=Asinωx+φ ω>0，
若求函数gx的单调递增区间，则令2kπ−π2<ωx+φ<2kπ+π2，k∈Z；
若求函数gx的单调递减区间，则令2kπ+π2<ωx+φ<2kπ+3π2，k∈Z；
若求函数gx图象的对称轴，则令ωx+φ=kπ+π2，k∈Z；
若求函数gx图象的对称中心或零点，则令ωx+φ=kπ，k∈Z
【变式2-1】3. （2022秋·广东广州·高三广州市第十六中学校考阶段练习）如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0，ω>0，0<φ<π2)的图象的一部分，则要得到该函数的图象，只需要将函数g(x)=1−23sinxcsx﹣2sin2x的图象（ ）
A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度
C．向左平移π2个单位长度D．向右平移π2个单位长度
【答案】B
【分析】先由图用7π12−π3=14T求出ω，由 f(π3)=0 求出φ,由 f(0)=3求出A=3,
得到f(x)=3sin(2x+π3)；运用二倍角公式和辅助角公式化简g(x)=2sin(2x+5π6)
利用三角函数图象平移性质得解.
【详解】如图知: ,
∵ 7π12−π3=14T，∴T=π=2πω , 又ω>0 ∴ω=2
∴fx=Asin2x+φ
∵f(π3)=0,∴Asin(2π3+φ)=0,∵ 0<φ<π2
解得：φ=π3 ∴f(x)=Asin(2x+π3)
又f(0)=3,∴Asinπ3=3，∴A=2，∴f(x)=2sin(2x+π3)
g(x)=1−23sinxcsx﹣2sin2x=cs2x−3sin2x=2cs(2x+π3)
=2sin(2x+π3+π2)=2sin(2x+5π6)
由三角函数图象平移性质得
2sin(2x+5π6)=2sin[2(x−π4)+5π6]=2sin(2x−π2+5π6)=2sin(2x+π3)=f(x)
(技巧：由三角函数图象平移性质得(2x+π3)−(2x+5π6)2=−π4 )
所以g(x)函数向右平移π4个单位长度得到f(x).
故选：B
【点睛】本题考查由图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式.
确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0)的步骤和方法:
(1)求A，b ：确定函数的最大值M和最小值m，则 A=M−m2，b=M+m2；
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝2πT；
(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
【变式2-1】4. （多选）（2022秋·福建宁德·高三福建省福安市第一中学校考阶段练习）函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图所示， 则下列说法中， 正确的有（ ）
A．f(x)的最小正周期T为π
B．f(x)向左平移3π8个单位后得到的新函数是偶函数
C．若方程f(x)=1在(0,m)上共有 6 个根， 则这 6 个根的和为33π8
D．f(x)x∈0,5π4图像上的动点M到直线2x−y+4=0的距离最小时， M的横坐标为π4
【答案】ABD
【分析】选项A，把图像上的点代入函数解析式，可以求出ω，再算出最小正周期进行判断；
选项B，利用图像的平移，得到新函数解析式，再判断奇偶性；
选项C，方程的根转化为两个函数图像的交点问题，再根据对称性求和；
选项D，点到直线距离的最小问题，转化成曲线的切线问题解决.
【详解】因为f(x)经过点5π8， 0，所以f5π8=2sin5ωπ8+φ=0，
又5π8在f(x)的单调递减区间内，所以5ωπ8+φ=π+2kπ(k∈Z)①；
又因为f(x)经过点5π4， 1，所以f5π4=2sin5ωπ4+φ=1，sin5ωπ4+φ=22，
又x=5π4是f(x)=1在x>5π8时最小的解，所以5ωπ4+φ=9π4+2kπ(k∈Z)②．
联立①、②，可得5ωπ8=5π4，即ω=2，代入①，可得φ=−π4+2kπ(k∈Z)，又|φ|<π2，所以φ=−π4，则f(x)=2sin2x−π4．f(x)的最小正周期为2π2=π，A正确．
f(x)向左平移3π8个单位后得到的新函数是f(x)=2sin2x+3π8−π4=2sin2x+π2=2cs2x，为偶函数，B正确．
设f(x)=1在(0， m)上的6个根从小到大依次为x1， x2， ⋯， x6．令2x−π4=π2，则x=3π8，根据f(x)的对称性，可得x1+x22=3π8，则由f(x)的周期性可得x3+x42= 3π8+T =11π8，x5+x62=3π8+2T=19π8，所以i=16xi=23π8+11π8+19π8=33π4，C错误．
作与l：2x−y+4=0平行的直线，使其与f(x)x∈0， 5π4有公共点，则在运动的过程中，只有当直线与f(x)x∈0， 5π4相切时，直线与l存在最小距离，也是点M到直线2x−y+4=0的最小距离，
令f'(x)=22cs2x−π4=2，则2x−π4=±π4+2kπ (k∈Z)，
解得x=kπ (k∈Z)或x=π4+kπ(k∈Z)，又x∈0， 5π4，所以x=0， π4， 5π4（舍去），
又f(0)=−1，令M1(0， −1)，fπ4=1，M2π4， 1，则由|1+4|5>π2−1+45可得M1到直线l的距离大于M2到直线l的距离，所以M到直线2x−y+4=0的距离最小时，M的横坐标为π4，D正确
故选：ABD．
题型3恒等变换与平移
【例题3】（2020春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）设函数fx=asinωx+bcsωx ω>0在区间π6,π2上单调，且fπ2=f2π3=−fπ6，当x=π12时，fx取到最大值4，若将函数fx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数gx的图象，则函数y=gx−x+π3零点的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【解析】由已知可得fx=a2+b2sinωx+φ，由fπ2=f2π3=−fπ6得出对称中心及对称轴，得出T，再得出fx的解析式，再有变换得出gx，再分别画出gx与y=x+π3图象，得出结论.
【详解】解：设fx=a2+b2sinωx+φ ω>0，
∴π2−π6≤T2=12⋅2πω=πω，即0<ω≤3，
又fπ2=f2π3=−fπ6，
∴x=π2+2π32=7π12为fx=a2+b2sinωx+φ的一条对称轴，
且π2+π62=π3，则π3,0为fx=a2+b2sinωx+φ的一个对称中心，
由于0<ω≤3，所以x=7π12与π3,0为同一周期里相邻的对称轴和对称中心，
则T=47π12−π3=π，∴ ω=2．
又a2+b2=4，且fπ12=asin2π12+bcs2π12，
解之得a=2，b=23．
故fx=2sin2x+23cs2x=4sin2x+π3，由图象变换可得，gx=4sinx+π3．
因为gx=4sinx+π3在−π3,0处的切线斜率为g'−π3=4cs−π3+π3=4，y=x+π3在−π3,0处切线斜率不存在，即切线方程为x=−π3．
所以x=−π3右侧gx图象较缓,如图所示，
同时x+π3>4时，x>16−π3，
所以y=gx−x+π3的零点有7个．
故选：D.
【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象和性质及零点，转化为两个函数的图象的交点，属于难题.
【变式3-1】1. （2022·全国·高三专题练习）已知把函数fx=sinx+π3csx−34的图象向右平移π3个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数gx的图象，若gx1⋅gx2=14，若x1，x2∈−π,π，则x1−x2的最大值为（ ）
A．πB．3π4C．3π2D．2π
【答案】C
【分析】先化简函数fx，然后根据图像的变换得函数gx的解析式，通过判断得x1，x2同时令gx取得最大值或最小值时，gx1⋅gx2=14，再结合函数gx的图像，即可求得x1−x2的最大值.
【详解】fx=sinx+π3csx−34=sinxcsπ3+csxsinπ3csx−34 =12sinxcsx +32cs2x−34
=14sin2x+32⋅1+cs2x2−34=12sin2x+π3．将图象向右平移至π3个单位长度，
再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数gx，可得gx=12sin4x−π3，
所以gxmax=12，gxmin=−12，
∴x1，x2同时令gx取得最大值或最小值时，gx1⋅gx2=14．当x1，x2∈−π,π时，−4π−π3≤4x−π3 ≤4π−π3，
根据函数的图象可知x1−x2的最大值为3个周期的长度，即3π2
故选：C.
【点睛】关于三角函数解析式的化简，一般先利用诱导公式或者和差公式展开将解析式化为同角，然后利用降幂公式对函数进行降次处理，最后利用辅助角公式代入化简，最终将解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式
【变式3-1】2. （多选）（2023秋·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考期末）已知f'x是fx的导函数，fx=asinx−bcsxab≠0，则下列结论正确的是（ ）
A．将f'x图象上所有的点向右平移π2个单位长度可得fx的图象
B．fx与f'x的图象关于直线x=3π4对称
C．fx+f'x与fx−f'x有相同的最大值
D．当a=b时，fx+f'x与fx−f'x都在区间0,π2上单调递增
【答案】AC
【分析】首先求得fx的导函数f'x=acsx+bsinx，然后根据三角函数图像平移验证A选项的正误，根据函数的对称性验证B选项的正误，根据求三角函数的值域验证C选项的正误，根据求解三角函数的单调性验证D选项的正误.
【详解】∵fx=asinx−bcsxab≠0，∴f'x=acsx+bsinx.
将f'x的图像向右平移π2个单位得y=acsx−π2+bsinx−π2=asinx−bcsx=fx的图像，故A选项正确；
已知fx的图像与f3π2−x的图像关于直线x=3π4对称，
f3π2−x=asin3π2−x−bcs3π2−x=−acsx+bsinx≠f'x，故B选项错误；
fx+f'x=a+bsinx+a−bcsx=a+b2+a−b2sinx+φ，其中tanφ=a−ba+b，∴fx+f'x最大值为a+b2+a−b2=2⋅a2+b2，
fx−f'x=a−bsinx−a+bcsx=a−b2+a+b2sinx−θ，其中tanθ=a+ba−b，∴fx−f'x最大值为a−b2+a+b2=2⋅a2+b2，故C选项正确；
当a=b时，fx+f'x=2asinx，fx−f'x=−2acsx，
当a>0时，fx+f'x在0,π2上单调递增，fx−f'x在0,π2上单调递增，
当a<0时，fx+f'x在0,π2上单调递减，fx−f'x在0,π2上单调递减，
综上可知fx+f'x和fx−f'x在0,π2上单调性相同，但可能递增也可能递减，故D选项错误.
故选：AC
【变式3-1】3. （多选）（2022秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知fx=2cs2ω2x+φ−1,ω>0,φ∈0,π4，具有下面三个性质：①将fx的图象右移π个单位得到的图象与原图象重合；②∀x∈R，fx≤f5π12；③fx在x∈0,5π12时存在两个零点，给出下列判断，其中正确的是（ ）
A．fx在x∈0,π4时单调递减
B．fπ48+fπ3+f9π16=12
C．将fx的图象左移π24个单位长度后得到的图象关于原点对称
D．若gx与fx图象关于x=π3对称，则当x∈π2,2π3时，gx的值域为−1,12
【答案】BCD
【分析】根据①可得ω=2k,k∈Z，再根据③可得3T4<5π12<5T4，由此可得185<ω<6，从而可求得ω的值，再由②可知f5π12=±1，可求得φ的值，从而可求出函数fx的解析式.求出函数fx的单调区间，即可判断A的正误；计算出fπ48+fπ3+f9π16的值，可判断B的正误；求出函数左移π24个单位长度后的解析式，判断其奇偶性，即可判断C的正误；根据对称性求出π2,2π3的对称区间后，再求函数fx的值域，可判断D的正误.
【详解】fx=2cs2ω2x+φ−1=csωx+2φ，
将fx右移π个单位得到的函数解析式为y=csω(x−π)+2φ=cs(ωx+2φ−πω)，
又该函数的图象与原图象重合，所以πω=2kπ,k∈Z，
所以ω=2k,k∈Z，
又fx在x∈0,5π12时存在两个零点，所以3T4<5π12<5T4，
所以π3所以fx=cs4x+2φ，
又∀x∈R，fx≤f5π12，所以f5π12=±1，
所以5π3+2φ=kπ,k∈Z，所以φ=kπ2−5π6,k∈Z，
又φ∈0,π4，所以φ=π6，所以fx=cs4x+π3，
由2kπ≤4x+π3≤2kπ+π,k∈Z得kπ2−π12≤x≤kπ2+π6,k∈Z，
所以函数fx的单调递减区间为kπ2−π12，kπ2+π6,k∈Z
当k=0时，函数fx在−π12，π6上单调递减；
由2kπ+π≤4x+π3≤2kπ+2π,k∈Z得kπ2+π6≤x≤kπ2+5π12,k∈Z，
所以函数fx的单调递增区间为kπ2+π6，kπ2+5π12,k∈Z
当k=0时，函数fx在π6，5π12上单调递增；
所以函数fx在0,π6上单调递减，在π6，π4上单调递增，故A错误；
fπ48=csπ12+π3=cs5π12，
fπ3=cs4π3+π3=cs5π3=csπ+2π3=−cs2π3=12，
f9π16=cs9π4+π3=cs2π+7π12=cs7π12=csπ−5π12=−cs5π12，
所以fπ48+fπ3+f9π16=12，故B正确；
将fx的图象左移π24个单位长度后得到的图象的解析式为ℎ(x)=cs4x+π24+π3=cs4x+π2=−sin4x，
又ℎ(−x)=−sin4−x=sin4x=−ℎ(x)，所以函数ℎ(x)为奇函数，
所以ℎ(x)的图象关于原点对称，故C正确；
π2,2π3关于x=π3对称的区间为0,π6，
当x∈0,π6时，4x+π3∈π3,π，所以f(x)∈−1,12，
所以当x∈π2,2π3时，gx的值域为−1,12，故D正确.
故选：BCD
【变式3-1】4. （2020·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知fx=4sinx+3csx，fx向右平移α(0<α<π)个单位后为奇函数，则tanα= ，若方程fx−m=0在[α,π]上恰有两个不等的根，则m的取值范围是 ．
【答案】 34 245,5
【分析】化简函数fx=5sin(x+φ)，其中tanφ=34，根据三角函数的图象变换和三角函数的性质，求得α=φ，求得tanα=tanφ=34，把方程fx−m=0在[α,π]上恰有两个不等的根，转化为函数y=fx与y=m在[α,π]上的图象有两个不同的交点，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】由题意，函数fx=4sinx+3csx=5sin(x+φ)，其中tanφ=34，
因为fx向右平移α个单位后，可得gx=5sin[(x−α)+φ]=5sin(x−α+φ)，
又由gx=5sin(x−α+φ)为奇函数，所以φ−α=kπ,k∈Z，即α=φ−kπ,k∈Z，
又因为0<α<π，所以α=φ，所以tanα=tanφ=34.
由方程fx−m=0在[α,π]上恰有两个不等的根，
即方程fx=m在[α,π]上恰有两个不等的根，
即函数y=fx与y=m在[α,π]上的图象有两个不同的交点，
因为x∈[α,π]，即x+φ∈[α+φ,π+φ]，
又由tanα=tanφ=34<1，且0<α<π，且α=φ，所以0<α+φ<π2，
所以当x+φ=π2，函数fx取得最大值，最大值为5；
当x+φ=3π2，即x=π，函数fx取得最小值，最小值为−5；
当x+φ=α+φ，即x=α=φ，函数fφ=4sinφ+3csφ=4×35+3×45=245，
要使得函数y=fx与y=m在[α,π]上的图象有两个不同的交点，
则245≤m<5，即实数m的取值范围是245,5.
故答案为：34，245,5.
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简，三角函数的图象与性质，以及函数与方程的综合应用，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
题型4已知对称轴问题
【例题4】（2023·全国·高三专题练习）将函数fx=sinωx+π6ω>0的图像向左平移π6个单位长度后，得到的图像关于y轴对称，且函数fx在0,π6上单调递增，则ω的取值是（ ）
A．12B．2C．32D．1
【答案】B
【分析】首先得到平移后的解析式，根据对称性得到π6ω+π6=π2+kπ，k∈Z，从而求出ω的取值集合，再由x的取值范围求出ωx+π6，结合正弦函数的单调性，求出ω的范围，即可得解.
【详解】fx=sinωx+π6的图像向左平移π6个单位长度后，得到gx=sinωx+π6ω+π6，
因为gx=sinωx+π6ω+π6关于y轴对称，所以π6ω+π6=π2+kπ，k∈Z，解得ω=2+6k，k∈Z，
因为ω>0，故当x∈0,π6时，ωx+π6∈π6,ωπ6+π6，
因为函数fx在0,π6上单调递增，所以ωπ6+π6∈π6,π2，解得ω∈0,2，
故ω=2+6k∈0,2，解得k∈−13,0，因为k∈Z，所以k=0，故ω=2.
故选：B
【变式4-1】1. （2023秋·浙江绍兴·高三浙江省上虞中学校考开学考试）将函数y=2sinωxω>0的图象向左平移φω0<φ<π个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到fx的图象，已知函数fx的一个零点是x=π3，且直线x=−π6是y=fx的图象的一条对称轴，则当ω取最小值时，φ的值是（ ）
A．11π18B．7π18C．5π18D．π18
【答案】A
【分析】根据函数图象的平移变换可得fx=2sinωx+φ−1，进而结合零点和对称轴可得π2ω=±π3+kπ，k∈Z，进而求得ω的最小值，进而求解.
【详解】由题意得fx=2sinωx+φω−1=2sinωx+φ−1，
令fx=2sinωx+φ−1=0，即sinωx+φ=12，
所以ωx+φ=π6+2kπ或ωx+φ=5π6+2kπ，k∈Z，
因为π3为函数fx的一个零点，
所以π3ω+φ=π6+2kπ或π3ω+φ=5π6+2kπ，k∈Z，①
又x=−π6是y=fx的图象的一条对称轴，
所以−π6ω+φ=π2+kπ，k∈Z，②
①−②得π2ω=±π3+kπ，k∈Z，
即ω=±23+2k，k∈Z，
由于ω>0，所以k=0时，ω取最小值为23，
此时−π6×23+φ=π2+kπ,k∈Z,0<φ<π，即φ=11π18.
故选：A.
【变式4-1】2. （2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）把函数fx=sinx+φ0<φ<π的图象向右平移π4个单位长度可以得到gx的图象，若gx为偶函数，则gxfx在3π4,π上的取值范围为（ ）
A．22,2B．1,2C．2,2D．1,2
【答案】A
【分析】根据三角函数图象变换以及三角函数的奇偶性求得φ，根据三角恒等变换以及三角函数值域的知识求得正确答案.
【详解】函数fx=sinx+φ的图象向右平移π4个单位长度得到gx=sinx+φ−π4，
由于gx是偶函数，所以φ−π4=kπ+π2,φ=kπ+3π4,k∈Z，
由于0<φ<π，所以φ=3π4，
所以gxfx=sinx+π2sinx+3π4=csx−22sinx+22csx=21−tanx，
由于x∈3π4,π，所以tanx∈−1,0，所以1−tanx∈1,2,21−tanx∈22,2.
故选：A
【点睛】求解三角函数图象变换有关的题目，关键点有两个，一个是“左加右减”的理解，另一个是ω的影响.求解三角函数值域有关的题目，需要先按照三角恒等变换的公式进行化简，然后再根据角的范围求得相应的值域.
【变式4-1】3. （2023·全国·高三专题练习）将函数y=cs2x+π3的图像向左平移φ个单位长度后，得到的函数图像关于y轴对称，则φ的最小值为 .
【答案】π6
【分析】根据题意，先求得平移之后的函数，然后根据其关于y轴对称，列出方程，即可得到φ，从而得到结果.
【详解】将函数y=cs2x+π3的图像向左平移φ个单位长度后，
得到函数y=cs2x+φ+π3=cs2x+2φ+π3的图像，
因为图像关于y轴对称，所以2φ+π3=kπ，k∈Z，则φ=kπ2−π6，k∈Z.
令k=0，得φ的最小值为π6.
故答案为：π6
【变式4-1】4. （2023秋·山西运城·高三统考阶段练习）已知函数f(x)=2sinωxcs2(ωx2−π4)−sin2ωxω>0，现将该函数图象向右平移π4ω个单位长度，得到函数g(x)的图象，且g(x)在区间(π2,3π4)上单调递增，则ω的取值范围为 ．
【答案】(0,1]∪[72,113]
【分析】根据给定条件，化简函数f(x)，结合图象平移求出函数g(x)，进而求出单调递增区间，再列出不等式求解作答.
【详解】函数f(x)=sinωx[1+cs(ωx−π2)]−sin2ωx=sinωx(1+sinωx)−sin2ωx=sinωx，
因此g(x)=f(x−π4ω)=sin(ωx−π4)，ω>0，
由2kπ−π2≤ωx−π4≤2kπ+π2,k∈Z，解得2kπω−π4ω≤x≤2kπω+3π4ω,k∈Z，
即函数g(x)在[2kπω−π4ω,2kπω+3π4ω](k∈Z)上单调递增，
于是(π2,3π4)⊆[2kπω−π4ω,2kπω+3π4ω](k∈Z)，即2kπω−π4ω≤π22kπω+3π4ω≥3π4,k∈Z，
解得ω≥4k−12ω≤83k+1,k∈Z，由83k+1≥4k−1283k+1>0,k∈Z，得−38当k=0时，0<ω≤1，当k=1时，72≤ω≤113，
所以ω的取值范围为(0,1]∪[72,113].
故答案为：(0,1]∪[72,113]
题型5已知对称中心问题
【例题5】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）将函数fx=sinx+3csx的图像向左平移φφ>0个单位长度后，所得函数是奇函数，则φ的最小值为 .
【答案】2π3
【分析】先根据辅助角公式化简得fx=2sinx+π3，平移φφ>0单位长度后函数是奇函数得出φ=−π3+kπ,k∈Z，计算出最值即可.
【详解】∵fx=sinx+3csx=2sinx+π3,
图像向左平移φφ>0个单位长度后得到y=2sinx+φ+π3是奇函数，
φ+π3=kπ,φ=−π3+kπ,k∈Z，∵φ>0,∴ φ的最小值为2π3.
故答案为： 2π3.
【变式5-1】1. （2023秋·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）若将函数fx=sin2x+φ0<φ<π的图象向右平移π3个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则φ= ．
【答案】2π3
【分析】根据函数的平移可得函数fx的图象向右平移π3个单位长度后得到的图象对应的函数解析式，进而结合正弦函数的奇偶性求解即可.
【详解】函数fx=sin(2x+φ)的图象向右平移π3个单位长度后得到的图象对应的函数为y=sin2x+φ−2π3，
要使该函数为奇函数，则φ−2π3=kπ，k∈Z，
即φ=2π3+kπ，k∈Z，
又0<φ<π，则φ=2π3．
故答案为：2π3.
【变式5-1】2. （2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考开学考试）将函数fx=2sin2x+φ0<φ<π2的图像向左平移π6个单位，得到偶函数gx的图像，下列结论中：①gx的图像关于点π4,0对称；②fx在−π6,π4上的值域为−1,3；③fx的图像关于直线x=7π6对称；④fx在区间π6,π2上单调递减.其中正确的结论有 .
【答案】①③④
【分析】利用函数平移法则及偶函数性质求出fx,gx解析式，然后利用三角函数的图象与性质逐个判断即可.
【详解】将函数fx=2sin2x+φ的图像向左平移π6个单位，
得到函数gx=2sin2x+π6+φ=2sin2x+π3+φ，
因为函数gx为偶函数，所以π3+φ=kπ+π2，k∈Z，
因为0<φ<π2，所以φ=π6，所以gx=2cs2x，fx=2sin2x+π6，
①gπ4=2csπ2=0，所以gx的图像关于点π4,0对称，故正确；
②因为x∈−π6,π4，2x+π6∈−π6,2π3，所以fx=2sin2x+π6∈−1,2，故错误；
③f7π6=2sin2×7π6+π6=2，所以fx的图像关于直线x=7π6对称，故正确；
④由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z，
所以fx在π6,π2上单调递减，故正确.
故答案为：①③④
【变式5-1】3. （2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）将函数f(x)=2sin3x+φφ≤π2的图象向右平移2π9个单位长度，得到的函数g(x)的图象关于点−1118π,0对称，且g(x)在区间φm,−φm上单调递增，则φ= ,实数m的取值范围是 .
【答案】 π2 /12π (−∞,−92]
【分析】由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得到g(x)的表达式，根据其对称中心可求得φ=±π2，再利用其单调区间，分类讨论，求出m的范围，即可确定答案.
【详解】将函数f(x)=2sin(3x+φ)(|φ|≤π2)的图象向右平移2π9个单位长度，
得到的函数g(x)=2sin(3x−3×2π9+φ)的图象关于点(−11π18,0)对称，
∴3×(−11π18)−2π3+φ=kπ,k∈Z，即φ=kπ+5π2,k∈Z，
因为|φ|≤π2，则φ=±π2，
若φ=π2，则g(x)=2sin(3x−π6)，
∵g(x)在区间(φm,−φm)=(π2m,−π2m),(m∈R)上单调递增，∴m<0，
当x∈(π2m,−π2m)，3x−π6∈(9π−mπ6m,−9π−mπ6m)，
∴9π−mπ6m≥−π2，且−9π−mπ6m≤π2，
即m≤−92，且m≤−94，∴m≤−92；
若φ=−π2，则g(x)=2sin(3x−7π6)，
∵g(x)在区间(φm,−φm)=(−π2m,π2m),(m∈R)上单调递增，∴m>0，
当x∈(−π2m,π2m)，3x−7π6∈(−9π−7mπ6m,9π−7mπ6m)，
−9π−7mπ6m≥−π2，且9π−7mπ6m≤π2，
即m≤−94且m≥910，故m∈∅；
综上可得，φ=π2，m≤−92.
故答案为：π2；(−∞,−92]
【点睛】难点点睛：根据三角函数的平移变换可得到平移后的函数解析式，根据对称中心可求得φ=±π2，难点就在于这两个值的取舍，要根据函数的单调区间求得参数m的范围，即可确定答案.
【变式5-1】4. （2021·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知θ∈π4,π2,3π4,2π，现将函数fx=cs4x−sin4x的图象向右平移θ个单位后得到函数gx的图象，若两函数gx与y=tanωxω>0图象的对称中心完全相同，则满足题意的θ的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【分析】首先化简fx=cs4x−sin4x，可得：fx=cs2x，因为y=tanωxω>0为奇函数，若要两函数gx与y=tanωxω>0图象的对称中心完全相同，则gx为奇函数，又因为fx=cs2x的周期为π，故y=tanωxω>0周期为π，从这两方面即可得解.
【详解】依题化简得：fx=cs2x，根据正余弦曲线与正切曲线的图象性质，欲使得两函数图象对称中心一致，fx−θ=cs2x−θ须为奇函数，且y=tanωx只能为y=tanx，有如图的两类情况．
θ=π4

θ=3π4
【点睛】本题考查了三角函数的化简和平移，考查了考查了正、余弦函数及正切函数的中心对称，考查三角函数的图像与性质，属于较难题.
题型6周期问题
【例题6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx的一条对称轴为直线x=2，一个周期为4，则fx的解析式可能为（ ）
A．sinπ2xB．csπ2x
C．sinπ4xD．csπ4x
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在x=2处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中T=2ππ2=4，B选项中T=2ππ2=4，
C选项中T=2ππ4=8，D选项中T=2ππ4=8，
排除选项CD，
对于A选项，当x=2时，函数值sinπ2×2=0，故2,0是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当x=2时，函数值csπ2×2=−1，故x=2是函数的一条对称轴，
故选：B.
【变式6-1】1. （多选）（2020·全国·校联考模拟预测）已知函数fx=sinx+θ+cs2x+2θ，则下列结论正确的是（ ）
A．π是函数fx的一个周期
B．存在θ，使得函数fx是偶函数
C．当θ=π4时，函数fx在0,π4上的最大值为22
D．当θ=π时，函数fx的图象关于点2π,0中心对称
【答案】BC
【分析】本题可通过fx+π≠fx判断出A错误，然后通过取θ=π2判断出B正确，再然后令t=sinx+csx，将fx转化为gt=−t2+22t+1，通过求出函数gt在1,2上的最大值判断出C正确，最后通过f2π+x≠−f2π−x判断出D错误.
【详解】A项：因为fx+π=sinx+π+θ+cs2x+2π+2θ=−sinx+θ+cs2x+2θ，
所以fx+π≠fx，π不是函数fx的一个周期，A错误；
B项：当θ=π2时，fx=sinx+π2+cs2x+π=csx−cs2x，
满足f−x=fx，故函数fx是偶函数，B正确；
C项：当θ=π4时，fx=sinx+π4+cs2x+π2
=sinx+π4−sin2x=22sinx+csx−2sinxcsx，
令t=sinx+csx，则t=2sinx+π4，2sinxcsx=t2−1，
因为x∈0,π4，所以t∈1,2，
则fx=gt=22t−t2−1=−t2+22t+1，开口向下，对称轴为t=24，
故当t=1时，gt在1,2上取最大值，g1=22，
故函数fx在0,π4上的最大值为22，C正确；
D项：当θ=π时，fx=sinx+π+cs2x+2π=−sinx+cs2x，
则f2π+x=−sinx+cs2x，f2π−x=sinx+cs2x，f2π+x≠−f2π−x，
故函数fx的图像不关于点2π,0中心对称，D错误，
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质的判断，考查三角函数的周期性、奇偶性、在区间内的最值以及对称性，若函数满足f2π+x=−f2π−x，则关于点2π,0中心对称，若函数定义域为R且满足f−x=fx，则函数是偶函数，考查推理能力与计算能力，是难题.
【变式6-1】2. （2023·北京·高三专题练习）函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足fπ2−x=fπ2+x，且当x∈[0,π)时，f(x)=sinxx2−πx+π，给出下列四个结论：
① f(π)=0；
② π是函数f(x)的周期；
③ 函数f(x)在区间(−1,1)上单调递增；
④ 函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和为3π.
其中，正确结论的序号是 .
【答案】① ③ ④
【分析】由fπ2−x=fπ2+x可得f(π)=f0直接计算f0即可判断① ；根据函数f(x)的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断② ；先判断f(x)在(0,1)的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③ ；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④.
【详解】对于①：由fπ2−x=fπ2+x可得f(π)=f0=sin0π=0，故①正确；
对于② ：由fπ2−x=fπ2+x可得f(x)关于直线x=π2对称，
因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以fπ+x=f−x=−fx
所以f2π+x=−fx+π=fx，
所以函数f(x)的周期为2π，故② 不正确；
对于③ ：当00，
y=x2−πx+π=x−π22+π−π24在01−π+π=1，
所以f(x)=sinxx2−πx+π在0所以函数f(x)在区间(−1,1)上单调递增；故③ 正确；
对于④ ：由fπ2−x=fπ2+x可得f(x)关于直线x=π2对称，作出示意图
函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和即为函数y=fx与y=sin1两个函数图象交点的横坐标之和，当x∈[−π2,3π2]时，两图象交点关于x=π2对称，此时两根之和等于π ，当x∈(3π2,10]时两图象交点关于x=5π2对称，此时两根之和等于5π，当x∈−5π2,−π2时两图象交点关于x=−3π2对称，此时两根之和等于−3π,x∈[−10,−5π2)时两图象无交点 ，
所以函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和为3π.故④ 正确；
故答案为：① ③ ④
【点睛】求函数零点的方法：画出函数fx的图象，函数fx的图象与x轴交点的个数就是函数fx的零点个数；将函数fx拆成两个函数，ℎx和gx的形式，根据fx=0⇔ℎx=gx，则函数fx的零点个数就是函数y=ℎx和y=gx的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和.
【变式6-1】3. （多选）（2023秋·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知函数fnx=sinnx+csnx n∈N*，下列命题正确的有（ ）
A．f12x在区间0,π上有3个零点
B．要得到f12x的图象，可将函数y=2cs2x图象上的所有点向右平移π8个单位长度
C．f4x的周期为π2，最大值为1
D．f3x的值域为−2,2
【答案】BC
【分析】f12x=2sin2x+π4，根据x的范围得出f12x的零点，即可判断A项；根据已知得出平移后的函数解析式，即可判断B项；由已知化简可得f4x=14cs4x+34，即可判断C项；由已知可得，f3x=322csx−π4−2cs3x−π4，换元根据导函数求解gt=322t−2t3在−1,1上的值域，即可判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得，f12x=sin2x+cs2x=2sin2x+π4.
因为0≤x≤π，所以π4≤2x+π4≤9π4，
当2x+π4=π或2x+π4=2π时，即x=3π8或x=7π8时，有f12x=0，
所以f12x在区间0,π上有2个零点，故A项错误；
对于B项，将函数y=2cs2x图象上的所有点向右平移π8个单位长度得到函数y=2cs2x−π8=2cs2x−π4=2sin2x+π4，故B项正确；
对于C项，由已知可得，f4x=sin4x+cs4x =sin2x+cs2x2−2sin2xcs2x =−12sin22x+1=−12×1−cs4x2+1 =14cs4x+34，
所以，f4x的周期T=2π4=π2，最大值为14+34=1，故C项正确；
对于D项，f3x=sin3x+cs3x=sinx+csx1−sinxcsx =2csx−π41−12sin2x=2csx−π41−12cs2x−π2 =2csx−π41−12×2cs2x−π4+12=322csx−π4−2cs3x−π4.
令t=csx−π4，−1≤t≤1，gt=322t−2t3，
则g't=322−32t2=−32t+22t−22.
解g't=0，可得t=±22.
解g't>0，可得−22解g't<0，可得−1≤t<−22或22且g−1=−322+2=−22，g−22=322×−22−2×−223=−1，
g22=322×22−2×223=1，g1=322−2=22.
所以，当t=−22时，gt有最小值−1；当t=22时，gt有最大值1.
所以，f3x的值域为−1,1，故D项错误.
故选：BC.
【点睛】思路点睛：求出f3x=322csx−π4−2cs3x−π4.令t=csx−π4，−1≤t≤1，gt=322t−2t3.然后借助导函数求出gt=322t−2t3在−1,1上的最值，即可得出函数的值域
【变式6-1】4. （多选）（2022·广东中山·中山纪念中学校考模拟预测）已知函数fx=sin12x+cs12x，x∈R，则下列说法正确的有（ ）
A．fx是周期函数，且π是它的一个周期B．fx的图象关于直线x=2π对称
C．fx的最大值为2D．fx在区间3π2,2π上单调递减
【答案】ABD
【分析】A选项，判断fx+π=fx是否成立即可；
B选项，判断f4π−x=fx是否成立即可；
C选项，先求0≤x≤π时fx的解析式，并求此时fx的最值，再利用fx的周期性求解即可；
D选项，根据0≤x≤π时fx的解析式，求fx在0,π上的单调递减区间，然后利用fx的周期性求解即可.
【详解】A选项：因为fx+π=sin12x+π+cs12x+π
=sin12x+π2+cs12x+π2=cs12x+sin12x=fx，
所以fx是周期函数，且π是它的一个周期，故A正确；
B选项：因为f4π−x=sin124π−x+cs12⋅4π−x=sin2π−12x+cs2π−12x
=sin12x+cs12x=fx，所以fx的图象关于直线x=2π对称，故B正确.
C选项：当0≤12x≤π2，即0≤x≤π时，fx=sin12x+cs12x=2sin12x+π4，
易知π4≤12x+π4≤3π4，所以当12x+π4=π2，即x=π2时，fxmax=2，
因为π是fx的一个周期，故当x∈R时，fxmax=2，C错误；
D选项：当0≤x≤π时，由C选项知，fx=2sin12x+π4，
令π2+2kπ≤12x+π4≤3π2+2kπk∈Z，得π2+4kπ≤x≤5π2+4kπk∈Z，
得fx的单调递减区间为π2,π.由fx的周期性知，
π2+π,π+π即3π2,2π为fx的一个单调递减区间，故D正确.
故选：ABD
【变式6-1】5.（多选） （2021·全国·高三专题练习）关于函数f(x)=4sin12x+π3+4cs12x+π3，有下述四个结论正确的有（ ）
A．f(x)的一个周期为π2；B．f(x)在π2,3π4上单调递增；
C．.g(x)=4sin12x+4 cs12x的值域与f(x)相同D．f(x)的值域为[4,42]
【答案】BCD
【解析】A. 可验证f(x+π2)是否等于f(x)可判断；B. 求出f(x)的单调递增区间可判断；
C. 根据图象左右平移的特征可得答案； D.根据周期计算出g(x)的值域可得答案.
【详解】A. f(x+π2)=4sin12(x+π2)+π3+4cs12(x+π2)+π3
=4sin12x+7π12+4cs12x+7π12=4cs12x+π12+4sin12x+π12≠f(x)，错误；
B.当x∈π2,3π4时，12x+π3∈7π12,17π24，所以f(x)=4sin12x+π3−4cs12x+π3=42sin12x+π12，
单调递增区间为−π2+2kπ≤12x+π12≤π2+2kπ,k∈Z，
得−7π6+4kπ≤x≤5π6+4kπ,k∈Z，当k=0时，π2,3π4⊆−7π6,5π6，正确；
C. 把函数f(x)=4sin12x+π3+4cs12x+π3的图象向右移动2π3单位得到
g(x)=4sin12(x−2π3)+π3+4cs12(x−2π3)+π3=4sin12x+4cs12x，
又它们的定义域都为R，所以它们的值域相同，正确；
D．由C知函数f(x)与g(x)的值域相同，
g(x+π)=4sin12x+π2+4 cs12x+π2=g(x)，
所以x∈0,π时，g(x)=4sin12x+4 cs12x=42sinx2+π4∈4,42，
所以正确.
故选：BCD.
【点睛】有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题.
【变式6-1】6. （多选）（2022·河北唐山·统考三模）已知函数f(x)=8sinx−tanx，则下列说法正确的有（ ）
A．f(x)的周期为πB．f(x)关于点(π,0)对称
C．f(x)在0,π2上的最大值为33D．y=f(x)−1x−π在−π2,5π2上的所有零点之和为6π
【答案】BCD
【分析】对A，根据正弦与正切的周期判断即可；
对B，计算fx+f2π−x=0是否成立即可；
对C，求导分析fx的单调性，进而求得0,π2上的最大值即可；
对D，根据f(x)的对称性与单调性，数形结合分析即可
【详解】对A，因为y=sinx的周期为2π，y=tanx的周期为π，故fx的周期为2π，A错误；
对B，因为fx+f2π−x=8sinx−tanx+8sin2π−x−tan2π−x =8sinx−tanx−8sinx+tanx=0，故f(x)关于点(π,0)对称，B正确；
对C，因为导函数f'x=8csx−1cs2x在0,π2上为减函数，且当f'x=0时，csx=12，即x=π3，故在0,π3上，f'x>0，fx单调递增；在π3,π2上，f'x<0，fx单调递减.故fmaxx=fπ3=8sinπ3−tanπ3=33；
对D，分析y=f(x)−1x−π在−π2,5π2上的所有零点即f(x)=1x−π图象交点的横坐标，又y=f(x),y=1x−π均关于(π,0)对称，故分析x∈−π2,π时的图象即可.由C选项,在0,π3上fx单调递增；在π3,π2上fx单调递减，又fx关于0,0对称，在π2,π上f'x=8csx−1cs2x<0，fx为减函数，故可画出fx在区间−π2,π上的简图.故f(x)=1x−π图象交点有三对关于(π,0)的对称点，故零点和为3×2π=6π ,故D正确

故选：BCD
【变式6-1】7.（2022·全国·高三专题练习）法国数学家傅里叶（Jean Baptiste Jseph Furier，1768—1830）证明了所有的乐声数学表达式是一些简单的正弦周期函数y=AsinωxA,ω≠0之和，若某一乐声的数学表达式为f(x)=34sinx+14sin3x，则关于函数f(x)有下列四个结论：
①f(x)的一个周期为2π；
②f(x)的最小值为－22；
③f(x)图像的一个对称中心为（π3，0）；
④f(x)在区间（π2，3π4）内为增函数．
其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①③B．①②C．②③D．①②④
【答案】D
【分析】依据周期的定义判断①；求得f(x)的最小值判断②；依据对称中心定义代入验证法判断③；求得f(x)在区间（π2，3π4）内的单调性判断④.
【详解】因为fx+2π=34sin(x+2π)+14sin3x+2π=34sinx+14sin3x=fx，
所以2π是f(x)的一个周期，①正确；
fx=34sinx+14sin3x =34sinx+14sin2xcsx+cs2xsinx =34sinx+142sinxcs2x+1−2sin2xsinx =34sinx+142sinx1−sin2x+sinx−2sin3x =32sinx−sin3x，
令t=sinx∈−1,1，则ℎt=32t−t3，ℎ'(t)=32−3t2，
令ℎ't>0，解得−22所以h（t）在区间[－1，－22）和区间（22，1]内单调递减，
在区间（－22，22）内单调递增，
当t=−22时，h（t）取得极小值ℎ−22=−22，又ℎ1=32−1=12，
故ℎtmin=ℎ−22=−22，②正确；
由于f2π3−x=34sin2π3−x+14sin32π3−x =34sin2π3−x+14sin2π−3x =34sin2π3−x−14sin3x ≠−34sinx+14sin3x，
即f2π3−x≠−fx，所以π3,0不是f（x）图像的一个对称中心，③错误；
当x∈[0,π]时，由ℎ't>0得0≤sinx<22，解得0≤x<π4或3π4由ℎ'(t)<0得22综合复合函数的单调性，所以f(x)在区间[0，π4），（π2，3π4）内单调递增，
在区间（π4，π2），（3π4，π]上单调递减，④正确．
故选：D．
题型7平移与重合问题
【例题7】（2022秋·河南南阳·高三统考期中）若将函数fx=2sinωx+π3,ω>0的图像向右平移14个周期后，与函数gx=2cs2x+φ的图像重合，则φ的一个可能取值为（ ）
A．π3B．−π3C．−2π3D．−4π3
【答案】C
【分析】根据三角函数图像平移规律得到平移后的解析式，再对gx的解析式变形处理，列出等式，即可判断.
【详解】fx=2sinωx+π3,ω>0，周期T=2πω，
函数fx=2sinωx+π3的图像向右平移14个周期后，
得函数y=2sinωx−π2ω+π3=2sinωx−π6的图像，
而gx=2cs2x+φ=2sinπ2+2x+φ=2sin2x+π2+φ，
由题意ω=2,π2+φ=2kπ−π6,k∈Z，∴φ=2kπ−2π3,k∈Z，
令φ=2kπ−2π3=π3，得k=12∉Z，故A错误；
令φ=2kπ−2π3=−π3，得k=16∉Z，故B错误；
令φ=2kπ−2π3=−2π3，得k=0∈Z，故C正确；
令φ=2kπ−2π3=−4π3，得k=−13∉Z，故D错误.
故选：C.
【变式7-1】1. （2020·内蒙古·校联考一模）已知函数f(x)=2sinωx−2csωx (ω<0)，若y=f(x+π4)的图象与y=f(x−π4)的图象重合，记ω的最大值为ω0，函数g(x)=cs(ω0x−π3)的单调递增区间为
A．[−π3+kπ2,−π12+kπ2] (k∈Z)B．[−π12+kπ2,π6+kπ2] (k∈Z)
C．[−π3+2kπ,−π12+2kπ] (k∈Z)D．[−π12+2kπ,−π6+2kπ] (k∈Z)
【答案】A
【详解】f(x)=2sin(ωx−π4),y=f(x+π4)的图象与y=f(x−π4)的图象重合，说明函数的周期π2，由于ω<0， T=|2πω|= −2πω≤π2，ω≤−4，ω0=−4 ,
g(x)=cs(−4x−π3)=cs(4x+π3)，
2kπ−π≤4x+π3≤2kπ ，则kπ2−π3≤x≤kπ2−π12，k∈Z ，选A
【变式7-1】2. （2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）将f(x)=sinωx+π4(ω>0)的图象向左平移π3个单位长度后与函数g(x)=csωx的图象重合，则ω的最小值为（ ）
A．14B．12C．34D．32
【答案】C
【分析】根据图象变换可得y=sinωx+π3ω+π4，根据题意结合诱导公式可得π3ω+π4=2kπ+π2,k∈Z，运算求解即可得结果.
【详解】将f(x)=sinωx+π4(ω>0)的图象向左平移π3个单位长度后，
得到y=fx+π3=sinωx+π3+π4=sinωx+π3ω+π4=csωx，
则π3ω+π4=2kπ+π2,k∈Z，解得ω=6k+34,k∈Z，
所以当k=0时，ω的最小值为34.
故选：C.
【变式7-1】3. （2022秋·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象过点B(0,1)，且在(7π18,2π3)上单调，同时f(x)的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当x1,x2∈(−19π12,−5π6)且x1≠x2时，f(x1)=f(x2)，则f(x1+x2)=（ ）
A．−3B．−1C．1D．−2
【答案】C
【分析】由题设知sinφ=12且T=πn (n∈N∗)、T≥5π9，即可求φ、ω，写出f(x)解析式，即可判断函数在x∈(−19π12,−5π6)上有x1≠x2时f(x1)=f(x2)，则x1,x2关于对称轴对称求x1+x2，进而求f(x1+x2).
【详解】由题设知：f(0)=2sinφ=1，即sinφ=12，|φ|<π2，则φ=π6，
∴f(x)=2sin(ωx+π6)，而T=πn且T2≥2π3−7π18=5π18，即T≥5π9，
∴πn≥5π9 (n∈N∗)，则n≤95，故n=1，
∴T=2πω=π，即ω=2，所以f(x)=2sin(2x+π6)，
当x∈(−19π12,−5π6)时，−3π<2x+π6<−3π2，而此区间内的对称轴只有x=−4π3，即2x+π6=−5π2，
∴当x1,x2∈(−19π12,−5π6)，且x1≠x2时，f(x1)=f(x2)，则x1+x22=−4π3，即x1+x2=−8π3，
∴f(x1+x2)=f(−8π3)=2sin(−16π3+π6)=−2sin7π6=1.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：由函数过点、区间单调以及图象平移后的性质求参数，写出函数解析式，进而根据f(x1)=f(x2)确定给定区间内x1,x2的对称轴.
【变式7-1】4. （2022·上海·高三专题练习）某作图软件的工作原理如下：给定δ∈0,0.01，对于函数y=fx，用直线段链接各点nδ,fnδ−5δ≤n≤5δ,n∈Z，所得图形作为y=fx的图象.因而，该软件所绘y=sin2001x与y=sinx的图象完全重合.若其所绘y=csωx与y=csx的图象也重合，则ω不可能等于（ ）
A．1999B．1001C．999D．101
【答案】D
【分析】由题意可知，该软件所绘y=sin2001x与y=sinx的图象完全重合，说明给定的δ恰好为函数y=sin2001x最小正周期的k k∈N∗倍，若其所绘y=csωx与y=csx的图象也重合，则δ也为函数y=csωx最小正周期的k k∈N∗倍，可得出δ=2kπω∈0,0.01，可得出ω所满足的不等式，即可得出ω的取值范围，进而得出正确选项.
【详解】由题意可知，该软件所绘y=sin2001x与y=sinx的图象完全重合，说明给定的δ恰好为函数y=sin2001x最小正周期的k k∈N∗倍，
若其所绘y=csωx与y=csx的图象也重合，则δ也为函数y=csωx最小正周期的k k∈N∗倍，则δ=2kπω∈0,0.01，即2kπω<0.01，∴ω>200kπ>628.
因此，ω不可能的取值为101.
故选D.
【点睛】本题考查三角函数中参数的求解，解题的关键就是得出δ与正余弦型函数最小正周期之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
题型8sinx,csx和差积与最值
【例题8】函数y=sinx+csx−sinx−csx的值域是 ．
【答案】−2，2
【分析】分3段讨论后，根据正余弦函数的性质可得．
【详解】解：当x∈0,π4时，csx>sinx，y=sinx+csx+sinx−csx=2sinx∈[0,2]；
当x∈π4,5π4时，sinx>csx，y=sinx+csx−sinx+csx=2csx∈[−2, 2)；
当x∈5π4,2π时，csx＞sinx，y=2sinx∈[−2，0]，
∴x∈[0，2π]时，y∈[−2，2]，
根据正余弦函数的周期性可知，y∈[−2，2]．
故答案为[−2，2]．
【点睛】本题考查了三角函数的最值,周期性，属中档题．
【变式8-1】1.已知函数fx=sinxcsx−sinx−csx，x∈−π2,θ，若fx的值域为−1,1，则θ的取值范围是 .
【答案】0,π
【解析】设sinx+csx=t∈−2,2，将原函数转化为二次函数的最值问题求解即可.
【详解】设t=sinx+csx=2sinx+π4，则sinxcsx=t2−12，
则y=t2−12−t=12t−12−1≥−1.
当y=1时，则t=−1，得x=2kπ−π2或x=2kπ−π，k∈Z；
当y=−1时，则t=1，得x=2kπ+π2或x=2kπ，k∈Z；
又x∈−π2,θ，若fx的值域为−1,1，
则θ的取值范围是0,π.
故答案为：0,π.
【点睛】本题考查二次函数型的复合函数的值域问题，本题是根据值域研究定义域，注意内层函数的值域作为外层函数的定义域，是一道难度较大的题目.
【变式8-1】2.已知函数fx=−13cs2x−asinx−csx，且对于任意的x1,x2∈−∞,+∞，当x1≠x2时都有fx1−fx2x1−x2<1成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．−14,14B．−23,23C．−26,26D．−1,1
【答案】C
【分析】不妨设x1fx2−x2，构造函数gx=fx−x，可得函数gx在R上为减函数，根据导数和函数的单调性的关系，结合换元法求得a的取值范围.
【详解】依题意对于任意的x1,x2∈−∞,+∞，当x1≠x2时都有fx1−fx2x1−x2<1成立，
不妨设x1fx2−x2，构造函数gx=fx−x，可得函数gx在R上为减函数，
gx=fx−x=−13cs2x−asinx−csx−x，
则g'x=23sin2x−asinx+csx−1≤0在R上恒成立.
设t=sinx+csx=2sinx+π4∈−2,2，
则23t2−1−at−1=23t2−at−53≤0，在t∈−2,2上恒成立，
即2t2−3at−5≤0在t∈−2,2上恒成立，
所以4+32a−5≤04−32a−5≤0，解得−26≤a≤26.
故选：C
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
【变式8-1】3. 已知 x∈0,π,y∈0,π，csx−sinxcsx+sinx=siny1+csy，则
A．x+y=π2B．x+y=π4C．x+2y=π2D．2x+y=π2
【答案】D
【分析】解法一：考虑特殊值，通过排除法得到结果；
解法二：将等式交叉相乘并化简，根据y=sinx−csx的单调性得到x+y与π2−x的关系，从而得到结果；
解法三：对等式两边分别化简，然后根据y=tanx的单调性得到π4−x与y的关系，从而得到结果.
【详解】解法一：（排除法）当x→0时，y→π2，可排除B，C；
当y→0时，x→π4，可排除A，可知D正确；
解法二：由已知得
sin(x+y)−cs(x+y)=csx−sinx=sin(π2−x)−cs(π2−x)
又0函数y=sinx−csx在(−π4,3π4)上为增函数，
所以x+y=π2−x.即2x+y=π2；
解法三：csx−sinxcsx+sinx=1−tanx1+tanx=tan(π4−x)
siny1+csy=2siny2csy22cs2y2=tany2
所以tan(π4−x)=tany2
又−π4<π4−x<π4,0y=tanx在(−π2,π2)上增函数
所以π4−x=y2，即2x+y=π2.
故选D.
【点睛】本题考查利用三角函数单调性对等式进行化简，难度较难.
（1）在化简过程中注意诱导公式、二倍角公式、三角恒等变换中的公式的灵活运用.
（2）函数值相等时，利用函数单调性，可得到对应自变量之间的关系.
【变式8-1】4. 若函数fx=sin2x−π3与gx=csx−sinx都在区间a,b0A．π6B．π3C．π2D．5π12
【答案】B
【详解】分析：根据正弦函数的单调递减区间，可以求出f(x)的单调递减区间为5π12+kπ≤x≤11π12+kπ；利用辅助角公式，先将g(x)化成g(x)=2cs(x+π4），再利用余弦函数的单调递减区间可以求出g(x)的单调递减区间为2kπ-π4≤x≤3π4+2kπ；两个区间的交集即为两个函数的单调递减区间，根据a,b(0详解：根据正弦函数的单调递减区间为π2+2kπ,3π2+2kπ,k∈Z ，所以f(x)=sin(2x−π3) 的单调递减区间为π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ，可解得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ
g(x)=csx−sinx=2cs(x+π4） ，由余弦函数的单调递减区间为2kπ,π+2kπ,k∈Z，所以2kπ≤x+π4≤π+2kπ，可解得2kπ-π4≤x≤3π4+2kπ
因为f(x)与g(x)在a,b(0所以选B
点睛：本题考查了求三角函数单调区间，辅助角公式的应用等．熟练记忆正余弦函数的单调区间，掌握好求两个区间的交集运算．
【变式8-1】5. 设max{m,n}表示m，n中最大值，则关于函数f(x)=maxsinx+csx,sinx−csx的命题中，真命题的个数是（ ）
①函数f(x)的周期T=2π
②函数f(x)的值域为[−1,2]
③函数f(x)是偶函数
④函数f(x)图象与直线x = 2y有3个交点
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】求解sinx+csx=sinx−csx时x的值，再分析f(x)=maxsinx+csx,sinx−csx的图象，逐个选项判断即可.
【详解】当sinx+csx=sinx−csx时，csx=0，此时x=π2+kπk∈Z.
在同一坐标系种作出y=sinx+csx与y=sinx−csx的图象：
故f(x)=maxsinx+csx,sinx−csx与直线x=2y在同一坐标系中的图象为：
①fx的周期为32π−−12π=2π，故①正确；
②当x=−π2+2kπk∈Z时，fx取得最小值−1，当x=π4+2kπk∈Z和x=3π4+2kπk∈Z时，fx取得最大值2，故fx的值域为−1,2，故②正确；
③显然fx不为偶函数，故③错误；
④因为fx过−π2,−1，π2,1，x=2y过−2,−1，π2,π4，故fx图象与x=2y有3个交点，故④正确；
故①②④正确.
故选：C.
【变式8-1】6. 若函数fx=12cs2x+3asinx−csx+4a−1x在−π2,0上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．17,1B．−1,17C．−∞,−17∪1,+∞D．1,+∞
【答案】D
【详解】因为f/(x)=−sin2x+3a(csx+sinx)+4a−1，由题设可得−sin2x+3a(csx+sinx)+4a−1≥0在[−π2,0]上恒成立，令t=csx+sinx，则sin2x=t2−1，又t=csx+sinx=2sin(x+π4)，且−π4≤x+π4≤π4，故−22≤sin(x+π4)≤22⇒t∈[−1,1]，所以问题转化为不等式−t2+3at+4a≥0在[−1,1]上恒成立，即不等式t2−3at−4a≤0在[−1,1]上恒成立．令函数ℎ(t)=t2−3at−4a,t∈[−1,1]，则{ℎ(−1)≤0ℎ(1)≤0⇒{a≥17a≥1⇒a≥1，应选答案D．
点睛：本题的求解过程自始至终贯穿着转化与化归的数学思想，求函数的导数是第一个转化过程，换元是第二个转化过程；构造二次函数是第三个转化过程，也就是说为达到求出参数a的取值范围，求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归，从而使得问题的求解化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简，彰显了数学思想的威力．
【变式8-1】7．已知函数fx在定义域R上的导函数为f'x，若函数y=f'x没有零点，且ffx−2019x =2019，当gx=sinx−csx−kx在−π2,π2上与fx在R上的单调性相同时，则实数k的取值范围是（ ）
A．−∞,−1B．−∞,2C．−1,2D．2,+∞
【答案】A
【分析】根据导函数与单调性关系，可知fx为R上的单调函数，设t=fx −2019x，
利用换元法即可得fx=t+2019x，进而可得fx为增函数，即可知gx也为增函数，先求得g'x，并令g'x≥0，结合正弦函数的性质即可确定k的取值范围.
【详解】由函数y=f'x没有零点，即方程f'x=0无解，则f'x>0或f'x<0恒成立，
所以fx为R上的单调函数，
∀x∈R都有ffx−2019x=2019，则fx−2019x为定值，
设t=fx −2019x，
则fx=t+2019x，易知fx为R上的增函数，
∵gx=sinx−csx−kx，
∴g'x= csx+sinx−k=2sinx+π4−k，
又gx与fx的单调性相同，
∴gx在−π2,π2上单调递增，则当x∈−π2,π2时，g'x≥0恒成立.
当x∈−π2,π2时，x+π4∈−π4,3π4，
所以由正弦函数性质可知sinx+π4∈−22,1，
∴2sinx+π4∈−1,2.
所以−1−k≥0,k≤−1，即k∈−∞,−1，
故选：A.
【点睛】本题考查了导函数与单调性关系，换元法求函数解析式，正弦函数的性质求参数的取值范围，属于中档题.
1．（2021·天津滨海新·校联考一模）将函数fx=csx的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数gx的图象，若函数gx在π2,3π2上没有零点，则ω的取值范围是（ ）
A．0,29∪23,89B．0,89
C．0,29∪89,1D．0,1
【答案】A
【解析】根据图象变换求出g(x)的解析式，利用周期缩小ω的范围，再从反面求解可得结果.
【详解】将函数fx=csx的图象先向右平移56π个单位长度，得到y=cs(x−5π6)的图象，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=csωx−5π6 (ω>0)，周期T=2πω，
因为函数gx在π2,3π2上没有零点，所以3π2−π2≤T2，得T≥2π，得2πω≥2π，得0<ω≤1，
假设函数gx在π2,3π2上有零点，
令g(x)=0，得ωx−5π6=kπ+π2，k∈Z，得x=kπω+4π3ω，k∈Z，
则π2又0<ω≤1，所以29<ω<23或89<ω≤1，
又函数gx在π2,3π2上有零点，且0<ω≤1，
所以0<ω≤29或23≤ω≤89.
故选：A
【点睛】关键点点睛：求出函数g(x)的解析式，利用间接法求解是解决本题的关键.
2．（2023·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）已知函数f(x)=cs|x|−2|sinx|，以下结论正确的是（ ）
A．π是f(x)的一个周期B．函数在0,2π3单调递减
C．函数f(x)的值域为[−5,1]D．函数f(x)在[−2π,2π]内有6个零点
【答案】C
【分析】对于A，根据fπ4+π≠fπ4即可判断；对于B，当x∈0,2π3将fx化简，然后检验即可；对于C，求出函数fx在一个周期[0,2π]的值域，先求当x∈[0,π]，再求当x∈[π,2π]的值域即可判断；对于D，根据函数f(x)为偶函数，可通过区间[0,2π]上零点个数从而确定其零点个数.
【详解】因为fπ4+π≠fπ4，所以A错误；
当x∈0,2π3，f(x)=csx−2sinx= 515csx−25sinx=5cs(x+φ)，其中csφ=15,sinφ=25，不妨令φ为锐角，所以π3<φ<π2，所以φ≤x+φ≤2π3+φ，因为2π3+φ>π，所以B错误；
因为2π是函数f(x)的一个周期，可取一个周期[0,2π]上研究值域，当x∈[0,π]，
f(x)=csx−2sinx=515csx−25sinx=5cs(x+φ)，φ≤x+φ≤π+φ，所以5csπ≤f(x)≤5csφ，即f(x)∈[−5,1]；因为f(x)关于x=π对称，所以当x∈[π,2π]时f(x)∈[−5,1]，故函数f(x)在R上的值域为[−5,1]，故C正确；
因为函数f(x)为偶函数，所以在区间[−2π,2π]上零点个数可通过区间[0,2π]上零点个数，由y=sin|x|，y=2|csx|在[0,2π]图像知由2个零点，所以在区间[−2π,2π]上零点个数为4个，所以D错误．
故选:C.
3．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）设关于x、y的表达式F(x,y)=cs2x+cs2y−cs(xy)，当x、y取遍所有实数时，F(x,y)（ ）
A．既有最大值， 也有最小值B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值D．既无最大值， 也无最小值
【答案】D
【分析】根据cs2x ，cs2y，csxy的范围可以确定cs2x+cs2y−csxy∈−1 , 3，但根据余弦函数取值特点，取不到端点值，用换元方法证明，进而得出答案.
【详解】由cs2x ，cs2y∈0 , 1，csxy∈−1 , 1，易知cs2x+cs2y−csxy∈−1 , 3.
同时，由于π是无理数，因此当csx=csy=0时，csxy≠1；当cs2x=cs2y=1时，csxy≠−1，故两端均不能取得等号.
补充证明：二元表达式cs2x+cs2y−csxy（x,y∈R）可以取到任意接近−1和3的值，
从而该式无最值.
①取x=π，y=nπ（n∈N∗），则cs2x+cs2y−csxy=2−csnπ2.
对任意ε>0，由抽屉原理，存在N∈N∗，使得δ=Nπ−2Nπ2<ε.
再考虑k∈N∗，使得kδ<1则n=kN时，2kNπ2+1−δ②取x=π2，y=nπ+π2（n∈N∗），则cs2x+cs2y−csxy=−cs2n+14π2.
对任意ε>0，由抽屉原理，存在N∈N∗，使得δ=N2π−2Nπ4<ε.
再考虑k∈Z，使得kδ<−π4则n=kN时，2kN4π−π4−δ故选：D．
4．（2023·广西桂林·校考模拟预测）已知函数f(x)=asinx−23csx的一条对称轴为x=−π6，f(x1)+f(x2)=0，且函数f(x)在(x1, x2)上具有单调性，则|x1+x2|的最小值为
A．2π3B．π3C．π6D．4π3
【答案】A
【分析】由题，将函数化简，根据对称轴求得a的值，再根据已知条件求得x1,x2两点必须关于对称中心对称，求得x1+x2的值，可得结果.
【详解】由题，f(x)=asinx−23csx=a2+12sin(x+θ)，θ为辅助角，
因为对称轴为x=−π6，所以f(−π6)=−12a−3
即−12a−3=a2+12 解得a=2
所以f(x)=4sin(x−π3)
又因为f(x)在(x1, x2)上具有单调性，且f(x1)+f(x2)=0，
所以x1,x2两点必须关于正弦函数的对称中心对称，
即x1−π3+x2−π32=x1+x2−2π32=kπ(k∈z)
所以x1+x2=2kπ+2π3(k∈z)
当k=0时，x1+x2取最小为2π3
故选A
【点睛】本题考查了三角函数综合知识，包含图像与性质，辅助角公式化简等，熟悉性质图像是解题的关键，属于中等较难题.
5．（多选）（2023·湖南郴州·校联考模拟预测）已知函数fx=2sinωx+φω>0的最小正周期T<π，fπ5=1，且fx在x=π10处取得最大值.下列结论正确的有（ ）
A．sinφ=22
B．ω的最小值为152
C．若函数fx在π20,π4上存在零点，则ω的最小值为352
D．函数fx在13π20,11π15上一定存在零点
【答案】ACD
【分析】A选项，由fx图象关于x=π10对称结合fπ5=1可判断选项；B选项，由最小正周期T<π，fπ5=1，且fx在x=π10处取得最大值可得ω表达式；C选项，结合AB选项分析确定ω表达式，验证即可；D选项，分ω=52,352，ω≠52,352两种情况分析零点即可.
【详解】A选项，因fx在x=π10处取得最大值，则fx图象关于x=π10对称，则
f0=fπ5=2sinφ=1⇒sinφ=22，故A正确；
B选项，最小正周期T<π，则2πω<π⇒ω>2，fπ5=1，
则π5ω+φ=π4+2mπ或π5ω+φ=3π4+2mπ，又fx在x=π10处取得最大值，
则π10ω+φ=π2+2nπ，则ω=−52+20m−n或ω=52+20m−n，
其中m,n∈Z，则ω的最小值为52，故B错误；
C选项，由AB选项分析结合π5ω+φ=π4+2mπ，可知ω=−52+20m−n时，
可取φ=3π4，令ωx+3π4=kπ⇒x=k−34πω，
则k−34πω∈ π20,π4 ⇒4k−3<ω<20k−15，其中k∈Z.
当k≤1时，不存在相应的ω，当k=2时，5<ω<25，则存在ω=352满足题意；
由AB选项分析结合π5ω+φ=3π4+2mπ，可知ω=52+20m−n时，
可取φ=π4，令ωx+π4=kπ⇒x=k−14πω，
则k−14πω∈ π20,π4⇒ 4k−1<ω<20k−5，
当k≤1时，不存在相应的ω，当k=2时，7<ω<35，则存在ω=452满足题意，
综上可知ω的最小值为352，故C正确；
D选项，由C分析可知，ω=352时，可取fx=2sin352x+3π4，
此时f13π20= 2sin97π8>0，f11π15=2sin163π12<0，存在零点；
ω=52时，可取fx=2sin52x+π4，
此时f13π20=2sin15π8<0，f11π15=2sin25π12>0，存在零点；
当ω≠52,352时，ωmin=452⇒Tmax=4π45，注意到11π15−13π20=π15>Tmin2=2π45，
则此时函数fx在13π20,11π15上一定存在零点，
综上fx在13π20,11π15上一定存在零点，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：三角函数常利用整体代换法确定参数值，本题还用到了对称性.对于三角函数的零点问题，常利用代值验证结合周期分析可解决问题.
6．（多选）（2021·全国·模拟预测）已知点(π6,0)是函数fx=sinωx+φω>0,φ<π的图象的一个对称中心，且fx的图象关于直线x=π3对称，fx在[0,π3]单调递减，则（ ）
A．函数fx的最小正周期为2π3
B．函数fx为奇函数
C．若fx=13x∈0,2π的根为xi=i=1,2,⋅⋅⋅,n，则i=1nxi=6π
D．若f2x>fx在a,b上恒成立，则b−a的最大值为2π9
【答案】ACD
【分析】先根据函数图象的对称性和函数的单调性得到函数的最小正周期，然后求出ω，φ的值，最后利用三角函数的图象和性质进行求解即可．
【详解】对于A，设fx的最小正周期为T，因为点(π6,0)是函数fx图象的一个对称中心，且fx的图象关于直线x=π3对称，fx在[0,π3]上单调递减，[π6,π3]⊆[0,π3]，所以T4=π3−π6，T=2π3，故函数fx的最小正周期为2π3，故A正确．
对于B，ω=2πT=2π2π3=3，因为f(π6)=0，所以3×π6+φ=kπk∈Z，因为φ<π，所以φ=±π2．又fx在[0,π3]上单调递减，所以f0>fπ6，即sinφ>0，所以φ=π2，fx=sin3x+π2=cs3x，fx为偶函数，故B错误．
对于C，由fx=13x∈0,2π得cs3x=12，3x∈0,6π，结合三角函数的周期性可知，方程fx=13x∈0,2π有6个根，在0,T内的两根关于直线x=π3对称，同理可得i=1nxi=i=16xi=2[π3+(π3+2π3)+(π3+4π3)]=6π，所以C正确．
对于D，由f2x>fx得cs6x−cs3x>0，因此cs3x−12cs3x+1>0，
所以cs3x<−12，
故2kπ+2π3<3x<2kπ+4π3k∈Z，即2kπ3+2π9,2kπ3+4π9k∈Z，所以b−a的最大值为4π9−2π9=2π9，故D正确．
故选：ACD
【点睛】利用三角函数性质求得函数解析式是解题关键
7．（2022·湖北襄阳·襄阳五中校考模拟预测）已知函数f(x)=sinx+2csx的图象向右平移φ个单位长度得到g(x)=2sinx+csx的图象，若x=φ为ℎ(x)=sinx+acsx的一条对称轴，则a= ．
【答案】43
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换得sinφ=35，csφ=45，再利用三角函数对称性列方程求解即可．
【详解】设f(x)=5sin(x+α)，则sinα=255，csα=55，
g(x)=5sin(x+β)，则sinβ=55，csβ=255，
∴α−φ=β+2kπ，即φ=α−β−2kπ，
∴sinφ=sinα−β=sinαcsβ−csαsinβ=35，csφ=csα−β=csαcsβ+sinαsinβ=45，
又x=φ是ℎ(x)=sinx+acsx的一条对称轴，
∴ℎ(φ)=sinφ+acsφ=35+45a =±1+a2，即a=43.
故答案为43
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数图象的平移变换问题的应用，正弦型函数的对称性．
8．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间π6,2π3单调递增，直线x=π6和x=2π3为函数y=fx的图像的两条相邻对称轴，则f−5π12=（ ）
A．−32B．−12C．12D．32
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x=−5π12即可得到答案.
【详解】因为f(x)=sin(ωx+φ)在区间π6,2π3单调递增，
所以T2=2π3−π6=π2，且ω>0，则T=π，w=2πT=2，
当x=π6时，fx取得最小值，则2⋅π6+φ=2kπ−π2，k∈Z，
则φ=2kπ−5π6，k∈Z，不妨取k=0，则f(x)=sin2x−5π6，
则f−5π12=sin−5π3=32，
故选：D.
9．（2023·天津·统考高考真题）已知函数fx的一条对称轴为直线x=2，一个周期为4，则fx的解析式可能为（ ）
A．sinπ2xB．csπ2x
C．sinπ4xD．csπ4x
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在x=2处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中T=2ππ2=4，B选项中T=2ππ2=4，
C选项中T=2ππ4=8，D选项中T=2ππ4=8，
排除选项CD，
对于A选项，当x=2时，函数值sinπ2×2=0，故2,0是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当x=2时，函数值csπ2×2=−1，故x=2是函数的一条对称轴，
故选：B.
10．（2022·全国·统考高考真题）将函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（ ）
A．16B．14C．13D．12
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得ωπ2+π3=π2+kπ,k∈Z，即可求出ω的最小值.
【详解】由题意知：曲线C为y=sinωx+π2+π3=sin(ωx+ωπ2+π3)，又C关于y轴对称，则ωπ2+π3=π2+kπ,k∈Z，
解得ω=13+2k,k∈Z，又ω>0，故当k=0时，ω的最小值为13.
故选：C.
11．（2021·全国·统考高考真题）把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sinx−π4的图像，则f(x)=（ ）
A．sinx2−7π12B．sinx2+π12
C．sin2x−7π12D．sin2x+π12
【答案】B
【分析】解法一：从函数y=f(x)的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到y=f2x−π3，即得f2x−π3=sinx−π4，再利用换元思想求得y=f(x)的解析表达式；
解法二：从函数y=sinx−π4出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到y=f(x)的解析表达式.
【详解】解法一：函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到y=f(2x)的图象，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，应当得到y=f2x−π3的图象，
根据已知得到了函数y=sinx−π4的图象，所以f2x−π3=sinx−π4，
令t=2x−π3,则x=t2+π3,x−π4=t2+π12,
所以ft=sint2+π12,所以fx=sinx2+π12；
解法二：由已知的函数y=sinx−π4逆向变换，
第一步：向左平移π3个单位长度，得到y=sinx+π3−π4=sinx+π12的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sinx2+π12的图象，
即为y=f(x)的图象，所以fx=sinx2+π12.
故选：B.
12．（多选）（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像关于点2π3,0中心对称，则（ ）
A．f(x)在区间0,5π12单调递减
B．f(x)在区间−π12,11π12有两个极值点
C．直线x=7π6是曲线y=f(x)的对称轴
D．直线y=32−x是曲线y=f(x)的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：f2π3=sin4π3+φ=0，所以4π3+φ=kπ，k∈Z，
即φ=−4π3+kπ,k∈Z，
又0<φ<π，所以k=2时，φ=2π3，故f(x)=sin2x+2π3．
对A，当x∈0,5π12时，2x+2π3∈2π3,3π2，由正弦函数y=sinu图象知y=f(x)在0,5π12上是单调递减；
对B，当x∈−π12,11π12时，2x+2π3∈π2,5π2，由正弦函数y=sinu图象知y=f(x)只有1个极值点，由2x+2π3=3π2，解得x=5π12，即x=5π12为函数的唯一极值点；
对C，当x=7π6时，2x+2π3=3π，f(7π6)=0，直线x=7π6不是对称轴；
对D，由y'=2cs2x+2π3=−1得：cs2x+2π3=−12，
解得2x+2π3=2π3+2kπ或2x+2π3=4π3+2kπ,k∈Z,
从而得：x=kπ或x=π3+kπ,k∈Z,
所以函数y=f(x)在点0,32处的切线斜率为k=y'x=0=2cs2π3=−1，
切线方程为：y−32=−(x−0)即y=32−x．
故选：AD．
函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径
注意：1.两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq \f(|φ|,ω)(ω＞0)个单位长度．
2.变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，求φ.
(2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
已知对称轴，可以带入对称轴
已知对称中心，可以带入对中心
1.化一法，直接利用正余弦最小正周期定义求解.
2.利用图像观察求解.
3.定义证明：f（x+T）=f（x）.
4.经验推论：如果是多项式和与差型，则各项的最小正周期的公倍数是周期（需要证明是否是最小正周期）.
sinx±csx与sinx∙csx之间的互相转化关系
sinx±csx2=1±2sinx∙csx
如果x∈R,则由辅助角可知sinx±csx∈[−2,2]