重难点专题22 解三角形大题十四大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

这是一份重难点专题22 解三角形大题十四大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用），文件包含重难点专题22解三角形大题十四大题型汇总原卷版docx、重难点专题22解三角形大题十四大题型汇总解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共138页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点专题22解三角形大题十四大题型汇总（解析版）
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc146140149" 题型1正余弦定理的应用 PAGEREF _Tc146140149 \h 1
\l "_Tc146140150" 题型2余弦定理求最值与取值范围 PAGEREF _Tc146140150 \h 7
\l "_Tc146140151" 题型3正弦定理求最值与取值范围 PAGEREF _Tc146140151 \h 11
\l "_Tc146140152" 题型4不对称结构的最值取值范围问题 PAGEREF _Tc146140152 \h 19
\l "_Tc146140153" 题型5三角形中线问题 PAGEREF _Tc146140153 \h 29
\l "_Tc146140154" 题型6三角形角平分线问题 PAGEREF _Tc146140154 \h 35
\l "_Tc146140155" 题型7三角形高线垂线问题 PAGEREF _Tc146140155 \h 41
\l "_Tc146140156" 题型8普通多三角形问题 PAGEREF _Tc146140156 \h 48
\l "_Tc146140157" 题型9四边形问题 PAGEREF _Tc146140157 \h 55
\l "_Tc146140158" 题型10面积最值取值范围问题 PAGEREF _Tc146140158 \h 62
\l "_Tc146140159" 题型11与三角函数结合 PAGEREF _Tc146140159 \h 66
\l "_Tc146140160" 题型12三角形个数问题 PAGEREF _Tc146140160 \h 73
\l "_Tc146140161" 题型13证明问题 PAGEREF _Tc146140161 \h 78
\l "_Tc146140162" 题型14实际应用题 PAGEREF _Tc146140162 \h 87
题型1正余弦定理的应用
【例题1】（2022秋·新疆伊犁·高三校考阶段练习）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，acsC+3asinC−b−c=0.
(1)求A；
(2)若a=2，△ABC的面积为3，求b、c.
【答案】(1)A=π3
(2)b=c=2
【分析】（1）在△ABC中，由acsC+3asinC−b−c=0及正弦定理得到sinA−π6=12，得出角A；
（2）由三角形面积公式结合余弦定理可得b=c=2．
【详解】（1）根据正弦定理，acsC+3asinC−b−c=0
变为sinAcsC+3sinAsinC−sinB−sinC=0，即sinAcsC+3sinAsinC=sinB+sinC，
也即sinAcsC+3sinAsinC=sinA+C+sinC，
所以sinAcsC+3sinAsinC=sinAcsC+csAsinC+sinC．
整理，得3sinA−csA=1，即32sinA−12csA=12，所以sinA−π6=12,A∈0,π，
所以A−π6=π6，则A=π3．
（2）由A=π3，S△ABC=12bcsinA=3，得bc=4．
由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccsA=b+c2−2bc−2bccsA，
则b+c2=a2+3bc=4+12=16，所以b+c=4．则b=c=2．
【变式1-1】1. （2023·全国·高三专题练习）已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，向量m=(sinA,sinB),n=(csB,csA)，m⋅n=sin2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sinA,sinC,sinB成等差数列，且CA⋅(AB−AC)=18，求c.
【答案】(1)π3
(2)6
【分析】（1）由数量积的运算结合三角函数恒等变换公式可求出角C的大小；
（2）由已知条件结合正弦定理可得2c=a+b，由CA⋅(AB−AC)=18，得CA⋅CB=18，得ab=36，然后利用余弦定理可求得结果.
【详解】（1）因为m=(sinA,sinB),n=(csB,csA)，
所以m⋅n=sinAcsB+sinBcsA=sin(A+B)，
因为在△ABC中，A+B=π−C，
所以sin(A+B)=sinC，所以m⋅n=sinC，
因为m⋅n=sin2C，所以sin2C=sinC，
所以2sinCcsC=sinC，
因为sinC≠0，所以csC=12，
因为C∈(0,π)，所以C=π3，
（2）由sinA,sinC,sinB成等差数列，
可得2sinC=sinA+sinB，
由正弦定理得2c=a+b，
因为CA⋅(AB−AC)=18，所以CA⋅CB=18，
所以abcsC=18，得ab=36，
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC=(a+b)2−3ab，
所以c2=4c2−3×36，c2=36，
所以c=6.
【变式1-1】2. （2023秋·上海嘉定·高三上海市育才中学校考阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=2，内角A，B，C满足sinA:sinB:sinC=2:1:2.
(1)求a的值；
(2)求sin(2C−π6)的值.
【答案】(1)22
(2)321−116
【分析】（1）由正弦定理直接求解；
（2）先根据正弦定理求出边长，然后由余弦定理求解csC，从而利用二倍角公式和两角差的正弦公式求解即可.
【详解】（1）由asinA=bsinB得sinAsinB=ab，所以a2=2，解得a=22.
（2）由asinA=bsinB=csinC及sinA:sinB:sinC=2:1:2得a:b:c=2:1:2，
所以c=2b=2，由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=8+2−42×22×2=34，
所以sinC=1−cs2C=1−342=74，所以sin2C=2sinCcsC=2×74×34=378，
cs2C=2cs2C−1=2×916−1=18，所以sin(2C−π6)=sin2Ccsπ6−cs2Csinπ6
=378×32−18×12=321−116.
【变式1-1】3. （2023秋·广东揭阳·高三普宁市第二中学校考阶段练习）在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcsA−acsB=a+c．
(1)求角B；
(2)若b=5，△ABC的内切圆半径r=34，求△ABC的面积．
【答案】(1)B=2π3
(2)21316
【分析】（1）由余弦定理得到a2+c2−b2=−ac，进而求出csB=−12，求出B=2π3；
（2）由余弦定理和三角形面积公式求出ac=214，从而得到答案.
【详解】（1）因为bcsA−acsB=a+c，
由余弦定理得b⋅b2+c2−a22bc−a⋅a2+c2−b22ac=a+c，
即a2+c2−b2=−ac，
所以csB=a2+c2−b22ac=−12．
又B∈0,π，
所以B=2π3
（2）由余弦定理得：a2+c2−25=−ac，则a2+c2=25−ac，
由三角形面积公式，12a+b+c⋅r=12acsinB，即a+c=2ac−5，
则a2+c2+2ac=4ac2−20ac+25，
所以25−ac+2ac=4ac2−20ac+25，解得ac=214，
所以S△ABC=12×214×32=21316.
【变式1-1】4．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2acsB=2c−b．
(1)求角A；
(2)若a=7，且△ABC的内切圆半径r=3，求△ABC的面积S．
【答案】(1)π3；
(2)103.
【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换求出csA，即可求A;
(2)利用余弦定理和三角形的面积公式求出bc，即可求面积.
【详解】（1）由正弦定理得： 2sinAcsB=2sinC−sinB，
即2sinAcsB=2sinA+B−sinB，
即2sinAcsB=2sinAcsB+2csAsinB−sinB，
即2csAsinB=sinB.
因为B∈0,π，所以sinB≠0，所以csA=12.
因为A∈0,π，
所以A=π3.
（2）△ABC面积S=12bcsinA=12a+b+cr，
代入a=7，r=3和A=π3，整理得：bc=2b+c+14①，
由余弦定理：a2=b2+c2−2bccsA，得： b2+c2−bc=49，
即b+c2−3bc=49②，
①②联立可得：bc−1422−3bc=49，解得：bc=40或bc=0（舍去），
所以S=12bcsinA=12×40×32=103.
【变式1-1】5.（2021秋·北京·高三景山学校校考期中）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若(b+c−a)(sinA+sinB−sinC)=csinA且b=2.
(1)求角B的大小；
(2)在①a,b,c成等差数列，②a,b,c成等差数列，③a2,b2,c2成等差数列，这三个条件中任选一个作为已知条件，求△ABC的面积S.（如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
【答案】(1)π3
(2)3
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和余弦定理，化简得到csB=12，即可求得B的值；
（2）对于条件①：利用等差中项结合基本不等式可得b≤a+c2，再根据a2+c2−b2=ac，可得a=c，利用面积公式即可得结果；对于条件②③：利用等差中项，根据a2+c2−b2=ac，求得△ABC为边长为2的等边三角形，结合三角形面积公式的应用求出结果.
【详解】（1）因为(b+c−a)(sinA+sinB−sinC)=csinA，
由正弦定理的(b+c−a)(a+b−c)=ac，整理得a2+c2−b2=ac，
所以csB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，
又因为B∈(0,π)，所以B=π3.
（2）选择条件①：因为a,b,c成等差数列，所以2b=a+c，
由基本不等式(a+c2)2≤a+c2，当且仅当a=c时，等号成立，
所以2b=a+c≤2(a+c)，所以b≤a+c2，
又由a2+c2−b2=ac，即b2=a2+c2−ac，可得a2+c2−ac≤(a+c2)2，
整理得3a2+3c2−6ac≤0，即(a−c)2≤0，所以a=c，
又因为B=π3，且b=2，所以△ABC为边长为2的等边三角形，
所以S△ABC=12acsinB=12×2×2×32=3.
选条件②：由a,b,c成等差数列，所以2b=a+c，
又由a2+c2−b2=ac，整理得(a+c2)2=a2+c2−ac，可得(a−c)2=0，即a=c，
因为B=π3，且b=2，所以△ABC为边长为2的等边三角形，
所以S△ABC=12acsinB=12×2×2×32=3.
选条件③：由a2,b2,c2成等差数列，所以2b2=a2+c2，
又由a2+c2−b2=ac，整理得a2+c2−a2+c22=ac，可得(a−c)2=0，即a=c，
因为B=π3，且b=2，所以△ABC为边长为2的等边三角形，
所以S△ABC=12acsinB=12×2×2×32=3.
题型2余弦定理求最值与取值范围
【例题2】（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且满足：acsB+3asinB−b−c=0
(1)求角A；
(2)若△ABC的外接圆半径为233 ，求△ABC的周长的最大值.
【答案】(1)A=π3
(2)6
【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得A.
（2）利用正弦定理求得a，利用余弦定理和基本不等式求得b+c的最大值，进而求得△ABC的周长的最大值.
【详解】（1）由已知可得：sinAcsB+3sinAsinB=sinB+sinC
=sinB+sinA+B=sinB+sinAcsB+sinBcsA，
由于sinB>0，则有1=3sinA−csA=2sinA−π6⇒sinA−π6=12，
又0