重难点专题34 立体几何体积问题八大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点专题34立体几何体积问题八大题型汇总
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc149852249" 题型1公式法 PAGEREF _Tc149852249 \h 1
\l "_Tc149852250" 题型2等体积转化法 PAGEREF _Tc149852250 \h 4
\l "_Tc149852251" 题型3割补法 PAGEREF _Tc149852251 \h 6
\l "_Tc149852252" 题型4体积比问题 PAGEREF _Tc149852252 \h 8
\l "_Tc149852253" 题型5体积中的动点问题 PAGEREF _Tc149852253 \h 10
\l "_Tc149852254" 题型6体积中的最值取值范围 PAGEREF _Tc149852254 \h 13
\l "_Tc149852255" 题型7向量法求体积 PAGEREF _Tc149852255 \h 16
\l "_Tc149852256" 题型8外接球问题 PAGEREF _Tc149852256 \h 19
题型1公式法
【例题1】（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）长方形ABCD中，AB=2AD=22，点E为CD中点（如图1），将点D绕AE旋转至点P处，使平面PAE⊥平面ABCE（如图2）．

(1)求证：PA⊥PB；
(2)点F在线段PB上，当二面角F−AE−P大小为π4时，求四棱锥F−ABCE的体积．
【变式1-1】1. （2023秋·四川成都·高三统考阶段练习）如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形OAED为矩形，且AC=1，BC=3．

(1)若F为BC的中点，求证：DF ∥平面ACE；
(2)若CD与底面ABC所成角为45°，求多面体ACBDE的体积．
【变式1-1】2. （2022秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，△PBC为等腰直角三角形，∠CPB=90∘，平面PBC⊥平面ABCD，AD//BC，CD⊥AD，BC=CD=2AD=4．

(1)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(2)若点E为PB的中点，F为CD的中点，点M为AB上一点，当EM⊥BF时，求三棱锥E−BFM的体积．
【变式1-1】3. （2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，AD//BC,AF//BE,DA⊥平面ABEF，AB⊥AF,AD=AB=2BC=2BE=2．

(1)已知点G为AF上一点，且AG=2，求证：BG与平面DCE不平行；
(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为55，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积．
【变式1-1】4. （2023秋·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点.

(1)求证：PA∥平面BDE；
(2)若OP=2，求三棱锥E−BCD的体积.
【变式1-1】5.（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥P−ABCD的底面是菱形，平面PAD⊥底面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点，AB=6，DP=AP=5，∠BAD=60°.

(1)求证：EF//平面PAD；
(2)求证：AC⊥PE；
(3)求四棱锥P−ABCD的体积.
题型2等体积转化法
【例题2】（2021·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD的平行四边形，∠ADC=60°，AB=12AD，PA⊥面ABCD，E为PD的中点.

(1)求证：AB⊥PC；
(2)若PA=AB=12AD=2，求三棱锥P﹣AEC的体积.
【变式2-1】1. （2023秋·四川成都·高三石室中学校考开学考试）如图，在四棱锥P−ABCD中， 四边形ABCD为正方形，平面ADP⊥底面ABCD,AP=DP，且AP⊥DP，设E,F分别为CP,BD的中点，FP=2．

(1)求证：AP⊥CP；
(2)求三棱锥P−ADE的体积．
【变式2-1】2. （2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）如图，在几何体BACDEF中，四边形CDEF是菱形，AB//CD，平面ADF⊥平面CDEF，AD=AF.

(1)求证：AC⊥DF；
(2)若FA=FC=FD=2，AB=1，求三棱锥E−BDF的体积.
【变式2-1】3 ．（2023秋·四川眉山·高三校考阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=AD=12AB=2，∠PAD=45°，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足CG⊥BD．

(1)求证：DE∥平面PBC
(2)求三棱锥G−PBC的体积．
【变式2-1】4. （2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，AB=5，PB=BC=2，点Q为PC的中点.

(1)求证：平面ABQ⊥平面PAC；
(2)求三棱锥P−QBD的体积.
【变式2-1】5．（2023·全国·高三专题练习）如图，梯形ABCD中，AD=4，E为AD中点，且CE⊥AD，CE=BC=1，将△DEC沿CE翻折到△PEC，使得∠PEA=π3．连接PA,PB．

(1)求证：BE⊥PC；
(2)Q为线段PA上一点，若AQ=23AP，求三棱锥P−BCQ的体积．
题型3割补法
【例题3】（2023秋·青海西宁·高三统考开学考试）如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1⊥A1C1,D,E分别为棱AC,B1C1的中点，AC=2AB=2AA1=2．

(1)求证：DE//平面AA1B1B；
(2)求多面体BB1−AA1C1D的体积．
【变式3-1】1. （2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，∠AA1C1=120°，AC=CC1=4，tan∠BAC=32，BA=BC，AD=3DC，A1E=3EC1．
(1)求证：B，D，E，B1四点共面；
(2)求四棱锥A1−BDEB1的体积．
【变式3-1】2. （2023·四川泸州·校考三模）如图，已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，E，F分别为AA1，AB的中点．

(1)求证：直线D1E、CF、DA交于一点；
(2)若AA1=4，求多面体BCD1EF的体积．
【变式3-1】3. （2023秋·广东广州·高三广州市第一中学校考阶段练习）如图，四边形ABCD是矩形，四边形ABEF是梯形，BE//AF，BE⊥EF，∠BAF=30∘ ，平面ABCD与平面ABEF互相垂直，BF=2,AF=4．

(1)求证：BF⊥AC．
(2)若二面角C−AF−B为π6，求多面体ABCDEF的体积．
【变式3-1】4. （2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）如图，在三棱柱ABC−A'B'C'中，中，AB⊥BC,AB=BC=BB'=2，B'在平面ABC上的射影为AB的中点．

(1)证明：BC⊥CC'．
(2)求多面体AA'B'CC'的体积．
【变式3-1】5.（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）如图所示的多面体中，四边形ABCD是矩形，AB=4，△EAD，△FBC都是边长为2的正三角形，EF=2

(1)证明：EF//平面ABCD；
(2)求这个多面体的体积V.
题型4体积比问题
【例题4】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，四边形ACC1A1与四边形BCC1B1是全等的矩形，AB=2AC=22AA1，若P是AA1的中点.

(1)求证：平面PB1C1⊥平面PB1C；
(2)如果AC=1，求三棱锥B1−A1C1P与多面体ABCPB1的体积比值.
【变式4-1】1. （2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2,E是棱PC上的动点（不与P,C重合），PD交平面ABE于点F.

(1)求证：CD ∥平面ABE；
(2)求证：平面PAD⊥平面ABE；
(3)若E是PC的中点，平面ABE将四棱锥P−ABCD分成五面体PABEF和
五面体ABEFDC，记它们的体积分别为V1,V2，直接写出V1:V2的值.
【变式4-1】2. （2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2BC=2,AA1=4,P为棱AB的中点．

(1)证明：平面PCD1⊥平面PDD1；
(2)画出平面D1PC与平面A1ADD1的交线，并说明理由；
(3)求过D1,P,C三点的平面α将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比．
【变式4-1】3. （2023·浙江·统考二模）如图，在正四棱台ABCD−A'B'C'D'中，AB=2A'B'，点P为棱CC'上一点．
(1)记棱锥P−BCD，棱台ABCD−A'B'C'D'的体积分别为V1，V2，当PC=PC'时，求V1V2；
(2)若正四棱台的侧棱与底面所成角为π3，当平面A'BD⊥平面PBD时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
题型5体积中的动点问题
【例题5】（2023·河南·校联考模拟预测）如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=2，A1A=A1B=A1C=22，∠BAC=90°，E是BC的中点，F是线段A1C1上一点.

(1)求证：AB⊥EF；
(2)设P是棱AA1上的动点（不包括边界），当△PBC的面积最小时，求棱锥P−ABC的体积.
【变式5-1】1. （2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在三棱锥P−ABC中，侧棱PA⊥底面ABC，且PA=AC,AC⊥BC，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接AE,AF.

(1)证明：PB⊥平面AEF；
(2)若PA=2，三棱锥P−AEF的体积是26，求直线PC与平面AEF所成角的大小.
【变式5-1】2. （2023秋·江苏泰州·高三泰州中学校考阶段练习）如图，圆锥SO，S为顶点，O是底面的圆心，AE为底面直径，AE=AS，圆锥高SO=6点P在高SO上，△ABC是圆锥SO底面的内接正三角形.

(1)若PO=6，证明:PA⊥平面PBC
(2)点P在高SO上的动点，当PE和平面PBC所成角的正弦值最大时，求三棱锥P−ABC的体积.
【变式5-1】3. （2024·全国·高三专题练习）已知面积为23的菱形ABCD如图①所示，其中AC=2，E是线段AD的中点．现将△DAC沿AC折起，使得点D到达点S的位置.

(1)若二面角S−AC−B的平面角大小为2π3，求三棱锥S−ABC的体积；
(2)若二面角S−AC−B的平面角α∈π3,2π3，点F在三棱锥的表面运动，且始终保持EF⊥AC，求点F的轨迹长度的取值范围.
【变式5-1】4. （2023·江苏苏州·校联考三模）如图，在三棱锥P−ABC中，△ABC是边长为62的等边三角形，且PA=PB=PC=6，PD⊥平面ABC，垂足为D,DE⊥平面PAB，垂足为E，连接PE并延长交AB于点G.

(1)求二面角P−AB−C的余弦值；
(2)在平面PAC内找一点F，使得EF⊥平面PAC，说明作法及理由，并求四面体PDEF的体积.
【变式5-1】5.（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，底面ABCD是边长为2的正方形，点E在棱PC上，CE=2PE.

(1)证明：平面BDE⊥平面ABCD；
(2)当直线DE与平面PBD所成角最大时，求四棱锥P−ABCD的体积.
题型6体积中的最值取值范围
【例题6】（2023秋·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知矩形ABCD中，AB=2，BC=23，M，N分别为AD，BC中点，O为对角线AC，BD交点，如图1所示．现将△OAB和△OCD剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿MN将△AOD,△BOC折叠，并使OA与OB重合，OC与OD重合，连接MN，得到由平面OAM，OBN，ODM，OCN围成的无盖几何体，如图2所示．

(1)求证：MN⊥平面AOC；
(2)求此多面体体积V的最大值．
【变式6-1】1. （2023·全国·高三专题练习）如图（1），在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90∘，E、F、H分别为边AB、AC、BC的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P位置（如图（2））．当四棱锥P−BCFE的体积最大时，分别求下列问题：
(1)设平面PBE与平面PFH的交线为l，求证：l⊥平面PEF；
(2)在棱PF上是否存在点N，使得BN与平面PEF所成角的正弦值为22613？若存在，求PN的长；若不存在，请说明理由．
【变式6-1】2. （2023春·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60∘，点M,N分别是边BC,CD的中点，AC∩BD=O1，AC∩MN=G.沿MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接PA,PB,PD，得到如图2所示的五棱锥P−ABMND．

(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG?证明你的结论；
(2)在翻折过程中当四棱锥P−MNDB的体积最大时，求此时点A到平面PDB的距离；
(3)在（2）的条件下，求二面角的平面角B−PM−N的余弦值.
【变式6-1】3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，E为B1C1的中点，M为AB上靠近A的三等分点，N为A1B1上靠近B1的三等分点．

(1)证明：平面A1MC//平面BEN．
(2)若CM⊥平面ABB1A1，BE⊥AB1，CC1与平面ABB1A1的距离为x，A1C=8，AB1=12，三棱锥A1−ACM的体积为y，试写出y关于x的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，当x为多少时，三棱锥A1−ACM的体积取得最大值？并求出最大值．
【变式6-1】4. （2023春·四川雅安·高三雅安中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，AD⊥BP，AP⊥BD，E为棱AB上任意一点（不包括端点），F为棱PD上任意一点（不包括端点），且AEAB=DFDP．
(1)证明：异面直线CE与AP所成角为定值．
(2)已知AB=AP=1，BC=2，当三棱锥C−BEF的体积取得最大值时，平面CEF与PA交于点N，求EN的长．
【变式6-1】5.（2023·辽宁辽阳·统考二模）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，AD⊥BP,AP⊥BD,E为棱AB上任意一点（不包括端点），F为棱PD上任意一点（不包括端点），且AEAB=DFDP．
(1)证明：异面直线CE与AP所成角为定值．
(2)已知AB=AP=1,BC=2，当三棱锥C−BEF的体积取得最大值时，求PC与平面CEF所成角的正弦值．
【变式6-1】6.（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，∠ACB=45°，BC=3，过点A作AD⊥BC，交线段BC于点D（如图1），沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2）点E，M分别为棱BC，AC的中点.
(1)求证：CD⊥ME；
(2)求三棱锥A−BCD的体积最大值.
题型7向量法求体积
【例题7】（2023秋·河北邯郸·高三统考阶段练习）如图，几何体由四棱锥B−AEFC和三棱台EFG−ACD组合而成，四边形ABCD为梯形，AD//BC且AD=2BC，AD⊥CD，CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=2，平面EBC与平面ABCD的夹角为45°.

(1)求证：平面BCE⊥平面CDGF；
(2)求三棱台EFG−ACD的体积.
【变式7-1】1. （2023·广西·统考一模）如图，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB=CD=3，BC=2，E为AC的中点，F为AD的中点．

(1)证明：平面BEF⊥平面ABC；
(2)求多面体BCDFE的体积．
【变式7-1】2. （2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）如图，四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，DC=AD=PD=1，AB=2，E为线段PA上一点，点F在边AB上且CF⊥BD.
(1)若E为PA的中点，求四面体BCEP的体积；
(2)在线段PA上是否存在点E，使得EF与平面PFC所成角的余弦值是63？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由.
【变式7-1】3. （2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥平面AA1B1B，∠ABB1=π3，AB=1，AC=AA1=2，D为棱BB1的中点．
(1)求证：AD⊥平面A1C1D；
(2)若E为棱BC的中点，求三棱锥E−AC1D的体积．
【变式7-1】4．（2023春·重庆·高三重庆市万州第二高级中学统考阶段练习）如图，EA⊥平面ABCD，EA∥FC，AC=EA=2FC=2，四边形ABCD为菱形.
(1)证明：FA⊥平面EBD；
(2)若直线AB与平面EBD所成角的正弦值为25，求三棱锥E−BDF的体积.
【变式7-1】5. （2022·全国·高三专题练习）如图1，平面图形PABCD由直角梯形ABCD和Rt△PAD拼接而成，其中AB=BC=1，BC∥AD､AB⊥AD，PA=PD=2，PA⊥PD，PC与AD相交于O，现沿着AD折成四棱锥P−ABCD（如图2）.
(1)当四棱锥P−ABCD的体积最大时，求点B到平面PCD的距离；
(2)在（1）的条件下，线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q−AC−D的余弦值为63？若存在，求出PQQD的值；若不存在，请说明理由.
题型8外接球问题
【例题8】（2023·全国·高三专题练习）如图（1）所示，在△ABC中，AB=43，BC=23，∠B=60°，DE垂直平分AB．现将△ADE沿DE折起，使得二面角A−DE−B大小为60°，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点A记作点P）

(1)求点D到面PEC的距离；
(2)求四棱锥P−BCED外接球的体积；
(3)点Q为一动点，满足PQ=λPE (0