甘肃省陇南市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

这是一份甘肃省陇南市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题，共10页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，在的展开式中，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：高考范围.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，若，则所有整数的取值构成的集合为（ ）
A. B. C. D.
2.已知，若为纯虚数，则（ ）
A. B.2 C.1 D.
3.已知向量，且，则（ ）
A.2 B.-1 C.2或-1 D.2或-2
4.在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（ ）
A.1600 B.1800 C.2100 D.2400
5.已知锐角满足，则（ ）
A. B. C.2 D.3
6.蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建设和搬迁很方便，适用于牧业生产和游牧生活.小张对蒙古包非常感兴趣，于是做了一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在他需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺），若购买油毡纸一平方米需要30元，则买油毡纸至少要花费的费用约为（ ）
A.89元 B.110元 C.126元 D.138元
7.已知椭圆的长轴的顶点分别为，点为椭圆的一个焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知，设函数若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在的展开式中，下列命题正确的是（ ）
A.偶数项的二项式系数之和为32
B.第3项的二项式系数最大
C.常数项为60
D.有理项的个数为3
10.已知等差数列的公差，其前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A.是等差数列
B.若，则有最大值
C.成等差数列
D.若，则
11.已知函数的定义域为，则（ ）
A. B.函数是奇函数
C. D.的一个周期为3
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.从这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是__________.
13.已知等比数列各项均为正数，前项和为.若，则等于__________.
14.已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
记的内角的对边分别为，面积为，且.
（1）求的外接圆的半径；
（2）若，且，求边上的高.
16.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面是等边三角形，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，，求的取值范围.
18.（本小题满分17分）
已知双曲线过点，左､右顶点分别为，直线与直线的斜率之和为3.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于（在第一象限）两点，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标.
19.（本小题满分17分）
甲､乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为，乙射击一次命中的概率为，比赛共进行轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射击；若本次未命中，则得0分，并终止射击.
（1）设甲同学在方案一中射击轮次总得分为随机变量，求；
（2）甲､乙同学分别选取方案一､方案二进行比赛，试确定的最小值，使得当时，甲的总得分期望大于乙.
陇南一中2023~2024学年度第二学期期末考试·高二数学
参考答案､提示及评分细则
1.C ，故中至多一个元素，当时，，当时，.故选C.
2.B ，若为纯虚数，则，故选B.
3.C 由或-1.故选C.
4.D 由题设，若表示数学考试成绩，则，而，
所以，故参加本次联考的总人数约为.故选D.
5.A 由，有，有，又由为锐角，有，可得.
6.B 由题三视图可知该蒙古包的模型是一个圆锥与圆柱的组合体.
其中圆锥的母线长为，
则圆锥的侧面积，
圆柱的侧面积，
故总面积为，
买油毡纸至少要花费的费用为元.故选B.
（注：可根据判断B选项正确）.
7.C 设长轴为，焦距为，由题意有，得.
8.D 当时，易知的最小值为，
当时，，令，解得，
若，则在上单调递增，
所以只需，解得或，
又，所以，
若，则在上单调递减，在上单调递增，
成立，所以符合题意，
综上，的取值范围是，故选D.
9.AC 偶数项的二项式系数之和为，故A正确；
当时，的值最大，是第4项的二项式系数最大，故B错误；
，令，
，故C正确；
为整数时，有理项的个数为4，故D错误，故选AC.
10.ABD ，故A正确；
若，则最大，若，则，则存在，故最大，故B正确；
对数列：，取，故C错误；
不妨设，则，即，而，故，D正确.故选ABD.
11.AC 令，则，所以，A选项正确；
令，则，即，所以是偶函数，B选项错误；
，令，则，令，则，所以，所以，因为，所以，C选项正确；
令，则，所以，所以的一个周期为6，D选项错误，故选AC.
12. 从2，4，5，7这4个数中一次随机抽取两个数的所有基本事件有，共6个，所取2个数之和为9的基本事件有，共2个，故所求概率.
13.31
14. 因为在抛物线内部，又，所以是的中点.设，所以，即，又在抛物线上，所以，两式作差，得，所以，所以直线的方程为，即.
15.解：（1）依题意，所以，
由正弦定理，得，
所以的外接圆半径为1；
（2）由（1）可知，，解得，
由余弦定理，得，
即，解得，
设边上的高为，则，所以.
16.（1）证明：是等边三角形，为的中点.
所以是等边的中线，所以，
又平面平面，
又平面平面平面；
（2）解：取的中点，连接，因为平面，
所以平面，
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
.
设平面的法向量为，
由
令，则，
.
显然平面的一个法向量为，
，
故平面与平面夹角的余弦值为.
17.解：（1）由于，则切点坐标为，
因为，所以切线斜率为，
故切线方程为；
（2）当时，等价于，
令，
恒成立，则恒成立，，
当时，，函数在上单调递减，，不符合题意；
当时，由，得，
时，，函数单调递减，，不符合题意；
当时，，因为，所以，则，
所以函数在上单调递增，，符合题意.
综上所述，.
18.解：（1）由题意可知，
将，
故双曲线方程为；
（2）设方程为整理得，
，又由，
代入上式得解得，
，代入双曲线得，
故或.
19.解：（1）设，故，
所以，
故；
（2）由（1）知，
设乙同学的总得分为随机变量的所有可能取值为，
所以
，
所以，
设.
则，
故，
即，代入，
故，
设，
易知，当时，，且，
则满足题意的最小为12.