广东省湛江第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

这是一份广东省湛江第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题，共12页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，如图，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：高考范围．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则（ ）
A．B．C．iD．
2．已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为1，则（ ）
A．B．6C．D．8
3．2020年以来，为了抗击新冠肺炎疫情，教育部出台了“停课不停学”政策，全国各地纷纷采取措施，通过网络进行教学，为莘莘学子搭建学习的平台．在线教育近几年蓬勃发展，为学生家长带来了便利，节省了时间，提供了多样化选择，满足了不同需求，也有人预言未来的教育是互联网教育．与此同时，网课也存在以下一些现象，自觉性不强的孩子网课学习的效果大打折扣，授课教师教学管理的难度增大．基于以上现象，开学后某学校对本校网课学习情况进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生进行测试、问卷等，调查结果形成以下列联表，通过数据分析，认为认真参加网课与学生性别之间（ ）
参考数据：其中
A．不能根据小概率的的独立性检验认为两者有关
B．根据小概率的的独立性检验认为两者有关
C．根据小概率的的独立性检验认为两者有关
D．根据小概率的的独立性检验认为两者无关
4．已知等差数列的前n项和为，则数列的公差是（ ）
A．B．C．D．3
5．已知非零向量的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
6．已知函数，若将的图象向左平移个单位后所得的函数图象与曲线关于对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
7．如图．椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点．若，，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的最小值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．0D．1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．为对立事件B．
C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．当时，函数的最小值为
B．当时，函数的极大值点为
C．存在实数a使得函数在定义域上单调递增
D．若恒成立，则实数a的取值范围为
11．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，为底面圆O的一条直径，为圆O上的一个动点（不与重合），记二面角为为，则（ ）
A．圆锥的体积为B．三棱锥的外接球的半径为
C．若，则平面D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．展开式中的常数项为_______．
13．已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为_______．
14．已知函数的导函数满足在R上恒成立，则不等式的解集是_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在中，内角所对的边分别为，且满足．
（1）求角B的大小；
（2）若的面积为，外接圆的面积为，求．
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面平面，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值．
17．（本小题满分15分）
甲同学参加学校的答题闯关游戏，游戏共分为两轮，第一轮为初试，共有5道题，已知这5道题中甲同学只能答对其中3道，从这5道题目中随机抽取3道题供参赛者作答，答对其中两题及以上即视为通过初试；第二轮为复试，共有2道题目，甲同学答对其中每道题的概率均为，两轮中每道题目答对得6分，答错得0分，两轮总分不低于24分即可晋级决赛．
（1）求甲通过初试的概率；
（2）求甲晋级决赛的概率，并在甲晋级决赛的情况下，记随机变量X为甲的得分成绩，求X的数学期望．
18．（本小题满分17分）
在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为F，一条渐远线的倾斜角为，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若点M在直线上，点N在双曲线C上，且焦点F在以线段为直径的圆上，分别记直线的斜率为，求的值．
19．（本小题满分17分）
已知函数且．
（1）讨论的单调性；
（2）比较与的大小，并说明理由；
（3）当时，证明：．
2023~2024学年度第二学期高二级期末考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1．C【解析）因为，所以，故选C．
2．C【解析】样本点的观测值为，预测值为，则残差为，解得．故选C．
3．B【解析】由数表知，，而，所以根据小概率的的独立性检验认为两者有关．故选B．
4．D【解析】．故选D．
5．D【解析】因为，则，且非零向量的夹角为，可知向量的夹角为，
则，
所以．故选D．
6．A【解析】依题意，，所以关于直线对称，
所以，所以的最小值为，故选A．
7．D【解析】设，有，由可知，又由椭圆的定义有，可得，解得，可得，故椭圆C的方程为．
8．B【解析】，令，当时，，当时，，故选B．
9．AB【解析】因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；
当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；
当发生时，乙中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故D不正确；，故C不正确．故选AB．
10．AD【解析】．
对于A选项，当时，，令有，可得函数的减区间为，增区间为，可得，故A选项正确；
对于B选项，当时，，令，可得，可知是的极小值点，B选项错误；对于C选项，由，故不存在实数a使得函数单调递增，故C选项错误；
对于D选项，令有，可得函数的减区间为，增区间为，可得，若恒成立，有，可得，故D选项正确．故选AD．
11．ACD【解析】设圆锥母线长为l，已知圆锥底面圆半径，则，解得，所以圆锥的高，圆锥体积为，A选项正确；
设三棱锥的外接球半径为R，则，解得，B选项错误；
分别作垂直于，则，若，则，此时，又，所以平面，C选项正确；
若，则．即．又，解得，所以．D选项正确，故选ACD．
12．【解析】展开式的通项公式为，．
令，无解．令，解得．故展开式中的常数项为．
13．【解析】抛物线的准线，过点P作垂直于准线，由题可知，的周长为，易知当三点共线时，的周长最小，且最小值为．
14．【解析】令，则．所以在R上单调递增，由，得，又在R上单调递增，所以，解得．所以不等式的解集是．
15．解：（1）由正弦定理有，……2分
可得，
可得，…4分
又由余弦定理有，
再由，可得；……6分
（2）由的面积为，有，可得．……7分
设的外接圆的半径为r，有，得，……8分
由正弦定理有，可得，……10分
又由（1）有，可得，得，
联立方程解得或……13分
16．（1）证明：由题意，则，……1分
因为，所以，…2分
因为平面平面，平面平面，且平面，
所以平面，…3分
因为平面，所以，…4分
且平面，所以平面，……5分
又平面，所以平面平面；………6分
（2）解：如图，以A为原点，分别为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，…8分
所以，……10分
设平面的法向量，
则令．得，……12分
设平面的法向量，
则令，得，…14分
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的正弦值为．……15分
17．解：（1）甲答对两道的概率为，……2分
甲答对三道的概率为，……4分
所以甲通过初试的概率为；……6分
（2）甲初试答对2题，复试答对2题的概率为：，……7分
甲初试答对3题，复试答对1题的概率为：，……8分
甲初试答对3题，复试答对2题的概率为：，……9分
所以甲晋级决赛的概率为；……10分
X的可能取值为，……11分
所以，……12分
，……13分
所以．……15分
18．解：（1）由双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，有，可得，……2分
又由点A在双曲线C上，代入双曲线C的方程，有，……3分
联立方程解得
故双曲线C的标准方程为；…5分
（2）设点M的坐标为，设点N的坐标为，
由点N在双曲线C上，有，……7分
又由点F在以线段为直径的圆上，可得，
由，有，有，可得，…………10分
又由，……14分
，……15分
有，
故的值为．……17分
19．（1）解：易知，令，得．
①．
当时，，即，所以在上单调递增，
当时，，即，所以在上单调递减；…3分
②．
当时，，即，所以在上单调递减，
当时，，即，所以在上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；…6分
（2）解：由（1）可知，当时，，…7分
取，则有，
即，所以；……10分
（3）证明：设，则，
所以在上单调递增，所以，
即当时，，……12分
结合（1）可知，……13分
当时．成立，……14分
当时．因为，…15分
所以，
即．
综上所述，．……17分
认真上网课
不认真上网课
合计
男生
5
20
25
女生
15
10
25
合计
20
30
50
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828