吉林省通化市三校联考2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份吉林省通化市三校联考2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题，共12页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知向量，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
高一数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第九章，选择性必修第一册第一章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.矩形的直观图是（ ）
A.正方形 B.矩形
C.三角形 D.平行四边形
2.某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二600人，高三800人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（ ）
A.24 B.26 C.30 D.36
3.已知向量，若，则（ ）
A.-4 B.4 C. D.
4.在中，角所对的边分别为，若，则为（ ）
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
5.某科技攻关青年团队共有18人，他们的年龄分布如下表所示：
下列说法正确的是（ ）
A.29是这18人年龄的一个分位数
B.40是这18人年龄的一个分位数
C.34是这18人年龄的一个中位数
D.这18人年龄的众数是4
6.在正四面体中，其外接球的球心为，则（ ）
A. B.
C. D.
7.已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的高的比值为（ ）
A. B. C. D.
8.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为4，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.的最小值为 D.的最大值为4
10.已知i为虚数单位，复数为方程的两个根，则下列选项中正确的有（ ）
A.
B.
C.复数在复平面上对应的点在第二象限
D.
11.如图，已知三棱柱平面分别是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.平面
B.平面
C.直线与直线的夹角为
D.若，则平面与平面的夹角为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量与的夹角为，则__________.
13.已知向量为平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为__________.
14.在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点.
（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由.
16.（本小题满分15分）
某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，随机抽查了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），将所得到的数据分成7组：，（棉花纤维的长度均在内），绘制得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值，并估计棉花纤维的长度的众数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作为代表）；
（2）估计棉花纤维的长度的分位数.
17.（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱中，为的中点，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值.
19.（本小题满分17分）
在中，内角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）已知是边上的两个动点（不重合），记.
①当时，设的面积为，求的最小值；
②记.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由.
2023~2024学年度下学期三校联考期末考试·高一数学
参考答案､提示及评分细则
1.D 直观图的画法不改变平行关系，也不改变平行于横向的线段长度，故矩形的直观图是平行四边形.故选D.
2.A 由题意，从全校2000人中抽取80人访谈，按照年级分层，则高一年级应该抽（人）.故选A.
3.A 因为，所以.故选A.
4.A 因为，故为直角三角形.故选A.
5.B 对选项A：，第分位数为30，故A错误；对选项B：，第分位数为40，故B正确；对选项C：这18人年龄的中位数是，故C错误；对选项D：这18人年龄的众数是32，故D错误.故选B.
6.C 由题知，在正四面体中，因为是外接球的球心，设三角形的中心为点的中点为，则，所以.故选C.
7.D 设正三棱柱的底面边长为，高为，
等边的面积为，
则正三棱柱的体积为，
设的外接圆半径为，则，解得，
设圆柱的高为，则圆柱的体积，
由题意得，解得.故选D.
8.B 延长交于点，延长交于点，根据正八边形的特征，可知，又.，所以，则的取值范围是.故选B.
9.AC 对于A，若，且，
则存在唯一实数使得，即，
则解得故A正确；
对于B，若，则，即，无实数解，故B错误；
，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误.故选AC.
10.ABD 不妨令的两个根为，因此，故A正确；，故B正确；
复数在复平面上对应的点在第一象限或者第四象限，故C错误；
由于，故D正确.故选ABD.
11.ABD 因为分别是的中点，所以，又平面平面，则平面，故A正确；
因为平面，所以平面，即，又，且平面，则平面，即，又，且平面，则平面，故B正确；由于为中点，且，因此是等腰直角三角形，是的中点，则，故C错误；
连接，由于，易知平面，则，因此平面与平面的夹角为，由于，因此，则，因此，故D正确.故选ABD.
12. 因为，所以.
13. 由题意可得，则点到平面的距离.
14. 由三角形面积公式可得，故，故，因为，所以，解得或0，因为为锐角三角形，所以，由正弦定理得，其中，因为为锐角三角形，所以，故，所以
，令，则为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，则，又，因为，所以，则.
15.（1）证明：连交于，因为为中点，所以是中位线，
所以，又因为平面平面，所以平面；
（2）解：点为线段的中点，
连接，由于为中点，则，即，四边形为平行四边形，
因此平面平面，则平面.
16.解：（1）由频率分布直方图知，解得.
最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为.
平均数21.
（2）设棉花纤维的长度的分位数为，
所以，解得.
17.（1）证明：不妨设，则，
所以，所以，即，
在直三棱柱中，平面，
又平面，所以，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，所以，，所以，所以，易得平面的一个法向量为，
又，又平面，所以平面；
（2）解：因为，所以，
设平面的一个法向量为，所以
令，解得，所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为.
18.（1）证明：由题意知为等边三角形，所以，又，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：取的中点，连接，所以，又，所以，
又平面平面，平面平面平面，
则平面，即是三棱锥的高.
因为点满足，所以，解得.
又平面，所以.
以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角
坐标系，如图所示.所以，
，所以
，
设平面的一个法向量为，所
以
令，解得，所以平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，则
令，解得，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角的大小为，所以
，即平面与平面的夹角的余弦值为.
19.解：（1）因为，所以由正弦定理可得，
所以，
所以，所以，
因为，
所以，即，又，所以；
（2）（1）因为，所以，又，所以.
如图，设，则在中，
由正弦定理，得，所以，
在中，由正弦定理，得，所以，
，
因为，所以，故当，即时，；
（2）假设存在实常数，对于所有满足题意的，都有成立，
即都有，
由题意，所以对于所有满足题意的成立，
故有从而，即，
因为，所以.年龄
45
40
36
32
30
28
26
人数
3
2
3
4
2
3
1