吉林省延边朝鲜族自治州珲春市第一高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份吉林省延边朝鲜族自治州珲春市第一高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题，共10页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知是虚数单位，则等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第二册.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设点是正三角形的中心，则向量是（ ）
A.相同的向量 B.模相等的向量
C.共线向量 D.共起点的向量
2.已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ）
A.1 B. C. D.
3.下列命题正确的是（ ）
A.三点确定一个平面
B.四条首尾相连的线段确定一个平面
C.两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内
D.空间两两相交的三条直线在同一平面内
4.下列叙述中，错误的是（ ）
A.数据的标准差比较小时，数据比较分散
B.样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响
C.数据的极差反映了数据的集中程度
D.任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变
5.在中，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
6.已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，且，则
D.若，且，则
7.有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（ ）
A.甲和乙相互独立 B.甲和丙相互独立
C.甲和丁相互独立 D.丁和丙相互独立
8.如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知是虚数单位，则（ ）
A.若复数，则
B.若复数，则
C.若复数，则
D.若，则
10.在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试.为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照的分组作出如图所示的频率分布直方图.若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（ ）
A.
B.考生成绩的众数为72
C.考生成绩的第70百分位数为75
D.估计该市考生成绩的平均分为70.6
11.已知圆锥的母线长为为底面圆的一条直径，.用一平行于底面的平面截圆锥，得到截面圆的圆心为.设圆的半径为，点为圆上的一个动点，则（ ）
A.圆锥的体积为
B.的最小值为
C.若，则圆锥与圆台的体积之比为
D.若为圆台的外接球球心，则圆的面积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为4cm，高为1cm，则这个正六棱柱的机械零件的表面积为__________.
13.若某次调查样本数据为，且是方程的两根，则这个样本的方差是__________.
14.在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足.设分别为四边形与的面积，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
的内角的对边分别为.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
16.（本小题满分15分）
已知平面向量，且.
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，且，求的值.
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面为的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立.
（1）求甲队总得分为1分的概率；
（2）求两队积分相同的概率.
19.（本小题满分17分）
如图，已知在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设.
（1）当平面时，求实数的值；
（2）当平面平面时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
珲春一中2023~2024学年度第二学期高一期末考试·数学
参考答案､提示及评分细则
1.B 是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，
到三个顶点的距离相等，但向量不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.故选B.
2.B ，所以，解得.故选B.
3.C 如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误；
如空间四边形，四条首尾相连的线段不在一个平面，故B错误；
两条平行直线确定一个平面，一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内，故这三条直线在同一平面内，故C正确；
空间两两相交的三条直线可确定一个平面，也可确定三个平面，故D错误.故选C.
4.A 数据的标准差比较小时，数据比较集中，故A错误；
样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响，故B正确；
数据的极差反映了数据的集中程度，故C正确；
任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D正确.故选A.
5.A 的面积为.
6.B 当时，或或与相交，A错；当时，C错；当时，D错.故选B.
7.C 甲乙是一个事件产生的两种结果，相互对立，A错；因为错错，，故选C.
8.C 平面截球的截面为的内切圆，如图所示.正方体棱长为1，内切圆半径.故选C.
9.BCD ，A错；设，则
对；，即，则，C对；对，故选BCD.
10.AD ，A对；考生成绩的众数为75，B错；考生成绩的第70百分位数为错；该市考生成绩的平均分为对.故选AD.
11.ABD 由圆锥的母线长为，底面圆的半径为2，可得圆锥的高.
考察A选项：，A选项正确；
考察B选项：已知，设点在底面的投影为，则，所以，B选项正确；
考察C选项：当时，，所以，又，所以选项错误；
考察D选项：若点是圆台的外接球球心，则由，解得，所以选项正确.故选ABD.
12. .
13.4 ，不妨，样本平均数是4，根据方差公式得：.
14. 不妨假设.记分别是的中点，
则顺次共线并且，由于
，故结合条件可知，故点在线段上且.设到
的距离为，
由面积公式可知.
15.解：（1）因为，所以，
因为，所以.
（2）因为，所以.
因为，所以为锐角，
因为，所以.
所以
.
故的面积为.
16.（1）解：设，
，又，
，
或，
或；
（2）解：，则，
.
17.（1）证明：平面平面，
，
由，
故四边形是正方形，平面，
平面，又平面；
（2）解：作平面，交平面于点，
即是直线与平面所成角，
，
，
，
在中，.
18.解：（1）记“甲队总得分为1分”为事件，甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，
；
（2）甲队积0分，1分，2分的概率分别为，
乙队积0分，1分，2分的概率分别为，
记两队积分同为0分，1分，2分的概率分别为事件，
两队得分相互独立，互不影响，
，
两队积分相同的概率为.
19.解：（1）连接，交于点，连接，则为的中点，
且平面平面，
平面平面，
为的中点，即实数的值为；
（2）在直三棱柱中，平面平面，
，
又平面平面，
过点作于点，
平面平面平面，
延长交于点，过点作交于点，过点作于点，
是平面与平面所成锐二面角的平面角，
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.