2023-2024学年黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学高二(下)期末数学试卷(含解析)
展开一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中为偶函数且在区间(0,+∞)上是增函数的是( )
A. f(x)=1x2B. f(x)=|x|C. f(x)= xD. f(x)=x
2.已知x>2,则函数y=x+12(x−2)−2的最小值是( )
A. 2 2B. 2 2−2C. 2D. 2
3.已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)xm2−2在(0,+∞)上为增函数,则实数m的值是( )
A. −1B. 3C. −1或3D. 1或−3
4.已知4x=9y=6,则1x+1y等于( )
A. 2B. 1C. 12D. 32
5.f(x)为(−∞,+∞)上的减函数,a∈R,则( )
A. f(a)
A. a>b>cB. b>c>aC. b>a>cD. c>a>b
7.若偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(2)=0,则不等式f(x)+f(−x)3x<0的解集为( )
A. (−2,2)B. (−2,0)∪(2,+∞)
C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,2)
8.已知f(x)是R上的奇函数,且f(x+2)=f(−x),当x∈(0,1]时,f(x)=2x+1,则f(21)=( )
A. 1B. −1C. 3D. −3
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=x+2,x≤−1,x2,−1
C. 若f(x)=3,则x的值是 3D. f(x)<1的解集为(−1,1)
10.已知f(x)是定义域为R的函数,满足f(x+1)=f(x−3),f(1+x)=f(3−x),当0≤x≤2时,f(x)=x2−x,则下列说法正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为4
B. f(x)的图象关于直线x=2对称
C. 当0≤x≤4时,函数f(x)的最大值为2
D. 当6≤x≤8时,函数f(x)的最小值为−12
11.已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=−f(x),若函数f(x+1)的图像关于x=−1对称,且对任意的x1,x2∈(0,2),且x1≠x2,都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0,若f(−2)=0,则下列结论正确的是( )
A. f(x)是偶函数B. f(2022)=0
C. f(x)的图像关于(1,0)对称D. f(−72)>f(−52)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.若m>0,n>0,m+n=3,则1m+4n的最小值为___________.
13.函数y=x+ 2x−1的最小值为 .
14.已知f(x)=x5+ax3+bx−8(a,b是常数),且f(−3)=5,则f(3)=______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=(a2+a−5)ax是指数函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断F(x)=f(x)−f(−x)的奇偶性.
16.(本小题15分)
已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.
(1)求f(0)的值.
(2)证明函数f(x)是周期函数.
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[−2,4]上的最大值是16.
(1)求实数a的值;
(2)假设函数g(x)=lg2(x2−3x+2a)的定义域是R,求不等式lga(1−2t)≤1的实数t的取值范围.
18.(本小题17分)
函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意x>0,y>0都有f(xy)=f(x)−f(y)+1,且f(2)=2,当x>1时,有f(x)>1.
(1)求f(1),f(4)的值;
(2)判断f(x)的单调性并加以证明;
(3)求f(x)在[1,16]上的值域.
19.(本小题17分)
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且满足f(0)=2,f(x+1)−f(x)=2x+1.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)−m=0在x∈[−1,2]上有解,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)当x∈[t,t+2](t∈R)时,求函数f(x)的最小值(用t表示).
答案解析
1.B
【解析】解:对于选项A,函数在区间(0,+∞)上是减函数,故选项A错误;
对于选项B,函数为偶函数且在区间(0,+∞)上是增函数,故选项B正确;
对于选项C,函数的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数,故选项C错误;
对于选项D,函数为奇函数,故选项D错误.
故选B.
2.D
【解析】解:x>2时,y=x+12(x−2)−2≥2 (x−2)⋅12(x−2)= 2,
当且仅当x−2=12(x−2),即x=2+ 22时取等号,此时函数取得最小值 2.
故选:D.
3.B
【解析】解:∵幂函数f(x)=(m2−2m−2)xm2−2在(0,+∞)上为增函数,
∴m2−2m−2=1,且m2−2>0,求得m=3,
故选:B.
4.A
【解析】解:4x=9y=6,
则x=lg46,y=lg96,
故1x+1y=lg64+lg69=lg636=2.
故选:A.
5.C
【解析】解:因为a∈R,所以a−2a=−a与0的大小关系不定,没法比较f(a)与f(2a)的大小,故A错
而a2−a=a(a−1)与0 的大小关系也不定,f(a2)与f(a)的大小,故B错;
又因为a2+1−a=(a−12)2+34>0,
所以a2+1>a.又f(x)为(−∞,+∞)上的减函数,
故有f(a2+1)
6.B
【解析】解:x∈(1,2)时,x2<2x,所以2x2<22x,即a
所以a,b,c的大小关系为b>c>a.
故选:B.
7.B
【解析】解:因为偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(2)=0,
所以f(x)在(−∞,0)上单调递增,且f(−2)=0,
所以当x∈(−2,0)∪(0,2)时,f(x)>0;当x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)时,f(x)<0,
不等式f(x)+f(−x)3x<0可化为2f(x)3x<0,即xf(x)<0,
所以x<0f(x)>0或x>0f(x)<0,
所以x∈(−2,0)∪(2,+∞).
故选:B.
8.C
【解析】解:∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(−x)=−f(x),
由f(x+2)=f(−x)=−f(x)可得f(x+4)=f(x),
∵0≤x≤1时,f(x)=2x+1,
则f(21)=f(4×5+1)=f(1)=2×1+1=3.
故选:C.
9.AC
【解析】解:当x≤−1时,f(x)的取值范围是(−∞,1],
当−1
当x=1时,f(1)=12=1,故B错误;
当x≤−1时,由x+2=3,解得x=1(舍去),
当−1
当−1
故选:AC.
10.ABC
【解析】解:∵对任意实数x满足f(x+1)=f(3−x),
可得函数f(x)关于x=2对称轴,
又∵f(x+1)=f(x−3),
∴f(x+4)=f(x)
即函数f(x)是周期函数,最小正周期为4.
∴f(3−x)=f(x−3),
那么f(−x)=f(x)
∴函数f(x)是偶函数,
又∵当0≤x≤2时,f(x)=x2−x
∴函数f(x)在区间[12,2]上单调递增.
∴函数f(x)在区间[0,12]上单调递减.
∴当0≤x≤4时,函数f(x)的最大值为2.
∵函数f(x)的周期为4,关于x=2对称轴.
当6≤x≤8时,函数f(x)=f(x−4)=f(8−x)=(8−x)2−(8−x)=x2−15x+56,
当x=7.5时,取得最小值−14,则D选项错误.
故选:ABC.
11.ABC
【解析】解:因为y=f(x+1)的图像关于直线x=−1对称,
所以将y=f(x+1)的图像向右平移一个单位,得y=f(x)的图像,关于y轴对称,
故y=f(x)是偶函数,故A正确;
因为函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=−f(x),
所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x),
所以函数f(x)的周期为T=4,
所以f(2022)=f(4×505+2)=f(2)=f(−2)=0,故B正确;
因为f(x+2)=−f(x)=−f(−x),所以f(x+2)+f(−x)=0,
所以f(x)的图像关于(1,0)对称,故C正确;
因为任意的x1,x2∈(0,2),且x1≠x2,都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0,
故f(x)在(0,2)上是单调增函数,根据周期为4,
可知函数在(−4,−2)上也是增函数,故f(−72)
12.3
【解析】解:由m+n=3,得13(m+n)=1,又m>0,n>0,
所以1m+4n=13(m+n)(1m+4n)=53+4m3n+n3m≥53+2 4m3n⋅n3m=3,
当且仅当4m3n=n3m,即m=1,n=2时等号成立,
所以1m+4n的最小值为3.
故答案为3.
13.12
【解析】解:令t= 2x−1,则t≥0,且x=t2+12,
所以原函数变为y=t2+12+t,t≥0.
配方得y=12t+12,对称轴为直线t=−1,所以函数在0,+∞上单调递增,
所以y≥12,所以函数的最小值为12.
故答案为:12.
14.−21
【解析】解:已知f(x)=x5+ax3+bx−8,
则g(x)=f(x)+8=x5+ax3+bx为奇函数,
则g(x)+g(−x)=0,
即g(3)+g(−3)=0,
即f(3)+f(−3)+16=0,
即f(3)=−f(−3)−16=−21,
故答案为:−21.
15.解:(1)根据题意,∵函数f(x)=(a2+a−5)ax是指数函数,
∴a2+a−5=1且a>0,解得,a=2,
故f(x)=2x;
(2)F(x)为奇函数,证明如下:
F(x)=f(x)−f(−x)=2x−2−x的定义域为R,
且对∀x∈R,−x∈R,
F(−x)=2−x−2x=−(2x−2−x)=−F(x),
故F(x)为奇函数.
【解析】(1)由指数函数的定义知a2+a−5=1且a>0,可解得a=2,则f(x)=2x;
(2)可判断F(x)为奇函数,利用奇偶性的定义证明即可.
16.解:(1)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(−x)=−f(x),当x=0时,f(−0)=−f(0),所以f(0)=0.
(2)因为函数关于x=1对称,所以f(1+x)=f(1−x),
即f(1+x)=f(1−x)=−f(x−1),
所以f(x+2)=−f(x),即f(x+4)=f(x).
所以函数是以4为周期的周期函数.
【解析】(1)根据函数是奇函数得到f(−x)=−f(x),所以令x=0得,f(−0)=−f(0),可得f(0)=0.
(2)根据函数关于x=1对称得到f(1+x)=f(1−x),然后利用函数的周期性的定义证明即可.
17.解:(1)当0因此当x=−2时,函数f(x)取得最大值16,即a−2=16,
因此a=14;
当a>1时,函数f(x)在区间[−2,4]上是增函数,
当x=4时,函数f(x)取得最大值16,即a4=16,
因此a=2,
所以a=14或2.
(2)因为g(x)=lg2(x2−3x+2a)的定义域是R,
即x2−3x+2a>0恒成立.
则方程x2−3x+2a=0的判别式Δ<0,即(−3)2−4×2a<0,
解得a>98,
又因为a=14或a=2,因此a=2,
代入不等式得lg2(1−2t)≤1,即0<1−2t≤2,
解得−12≤t<12,
因此实数t的取值范围是[−12,12).
【解析】(1)当01时,函数f(x)在区间[−2,4]上是增函数求解;
(2)根据g(x)=lg2(x2−3x+2a)的定义域是R,由x2−3x+2a>0恒成立求解.
18.解:(1)可令x=y=1时,f(1)=f(1)−f(1)+1=1;
令x=4,y=2可得f(2)=f(4)−f(2)+1,即f(4)=3;
(2)函数f(x)在x>0上为增函数.
理由:当x>1时,有f(x)>1,
可令0
可得f(x2)>f(x1),
则f(x)在x>0递增;
(3)由f(x)在x>0上为增函数,
可得f(x)在[1,16]递增,
可得f(1)=0为最小值,f(16)为最大值,
由f(4)=f(16)−f(4)+1,可得f(16)=2f(4)−1=5,
则f(x)的值域为[0,5].
【解析】(1)可令x=y=1,可得f(1);令x=4,y=2,可得f(4);
(2)函数f(x)在x>0上为增函数.可令0
19.解:(Ⅰ)∵f(x+1)−f(x)=2x+1,
∴a(x+1)2+b(x+1)+c−ax2−bx−c=2ax+a+b=2x+1,
∴2a=2a+b=1,解得a=1,b=0,
又f(0)=2,∴c=2,
∴f(x)=x2+2;
(Ⅱ)由f(x)−m=0得,方程x2+2=m在x∈[−1,2]上有解,如图,
则2≤m≤6,
∴m的取值范围为[2,6];
(Ⅲ)∵x∈[t,t+2],
∴①t≥0时,f(x)的最小值为f(t)=t2+2;
②t<0且t+2>0,即−2
综上得,t≥0时,f(x)的最小值为t2+2;−2
(Ⅱ)根据题意可得出,方程x2+2=m在x∈[−1,2]上有解,然后画出函数y=x2+2和y=m即可得出得出m的取值范围;
(Ⅲ)可讨论t的取值情况,然后根据f(x)的图象即可求出f(x)的最小值.
2023-2024学年黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学高一(下)第二次月考数学试卷(含答案): 这是一份2023-2024学年黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学高一(下)第二次月考数学试卷(含答案),共7页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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