2023-2024学年辽宁省沈阳120中高一（下）第三次质检数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳120中高一（下）第三次质检数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若z=5ii+2，则z−=( )
A. 1+2iB. −1+2iC. 1−2iD. −1−2i
2.设a，b是空间中的两条直线，α，β是空间中的两个平面，下列说法正确的是( )
A. 若a⊂α，b//α，则a//b B. 若a⊂α，α∩β=b，则a与b相交
C. 若a⊂α，b⊂β，α//β，则a//b D. 若a⊂α，b⊂β，α//β，则a与b没有公共点
3.若cs(π6−α)=35，则sin(2α+π6)=( )
A. −2425B. −725C. 725D. 2425
4.已知M=sin100°−cs100°，N= 2(sin44°cs12°+sin46°sin12°)，P=12(1+tan22°)(1+tan23°)，那么M，N，P之间的大小顺序为( )
A. M5.已知正三棱台的上、下底面的棱长分别为3和6，侧棱长为2，则该正三棱台的体积为( )
A. 19 32B. 21 32C. 19 34D. 21 34
6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积S△ABC= 3，S△ABC= 34(a2+c2−b2)，则AB⋅BC=( )
A. 3B. − 3C. 2D. −2
7.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，若D1Q//平面A1PD，则线段D1Q长度的取值范围是( )
A. [1, 2]
B. [3 24, 2]
C. [1, 52]
D. [3 24, 52]
8.已知函数f(x)=xsin(ωx+π4),∀x1,x2∈(π2,5π6)，且x10，则ω的取值范围可能是( )
A. [12,32]B. [12,54]C. [32,94]D. [0,12]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是( )
A. 若|z1|=|z2|，则|z1z3|=|z2z3|B. 若z1z2=z1z3，则z2=z3
C. 若z1=z2−，则z1−=z2D. 若z12+z22>0，则z12>−z22
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3bcsC+3ccsB=a2，则下列说法正确的是( )
A. a=3
B. 若A=π4，且△ABC有两解，则b的取值范围为[3,3 2]
C. 若C=2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为(3 2,3 3)
D. 若A=2C，且sinB=2sinC，O为△ABC的内心，则S△AOB=3 3−34
11.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则下列结论正确的是( )
A. 该半正多面体的表面积为21 34
B. 该半正多面体的体积为23 212
C. 该半正多面体外接球的表面积为11π2
D. 若点M，N分别在线段DE，BC上，则 FM+MN+AN的最小值为 19
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a=(−2,λ)，b=(3,1)，若(a+b)⊥b，则|a|= ．
13.△ABC中，角A，B，C满足cs2A−cs2B=2sinC(sinB−sinC)，则1tanB+1tanC的最小值为______．
14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看作是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R，球冠的高是ℎ，球冠的表面积公式是S=2πRℎ，如图2，已知C，D是以AB为直径的圆上的两点，∠AOC=∠BOD=π3,S扇形COD=6π，则扇形COD绕直线AB旋转一周形成的几何体的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(sinx,1)，b=(−csx,32)，函数f(x)=2a⋅(a−b)．
(1)求f(x)的最小正周期以及单调递增区间；
(2)当x∈[0,π2]时，求f(x)的值域．
16.(本小题15分)
已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是梯形，AB//DC，AB⊥AD，DC=2AB=2，AD= 3，PB=PC，M，N分别是PD，BC的中点.求证：
(1)AM//平面PBC；
(2)MN⊥BC．
17.(本小题15分)
如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5nmile，与小岛D相距为3 5nmile.∠BAD为钝角，且sinA=35．
(1)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
(2)记∠BDC为α，∠CBD为β，求sin(2α+β)的值．
18.(本小题17分)
如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．
(1)求证：B1C/​/平面A1DE；
(2)若AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，求四棱锥A1−B1C1ED的体积．
19.(本小题17分)
某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由Rt△ABF，直角梯形BCEF和以C为圆心的四分之一圆弧ED构成，其中AB⊥BF，BC⊥CE，BF/​/CE，且BC=BF=1，CE=2，AB=72，将平面图形ADEF以AD所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．
(1)求该烟花的体积；
(2)工厂准备将矩形PMNQ(该矩形内接于图形BDEF，M在弧DE上，N在线段EF上，PQ在AD上)旋转所形成的几何体用来安放燃料，设∠MCE=θ(0<θ≤π3)，
①请用θ表示燃料的体积V；
②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系t=V(9−7csθ)cs2θ，请计算这个烟花燃烧的最长时间．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.B
5.D
6.D
7.D
8.A
9.ABC
10.ACD
11.BCD
12.2 5
13.2 33
14.72π+36 3π
15.解：(1)由a=(sinx,1)，b=(−csx,32)，得a−b=(sinx+csx,−12)，
∴f(x)=2a⋅(a−b)=2sin2x+2sinxcsx−1=sin2x−cs2x= 2sin(2x−π4)．
∴f(x)的最小正周期为2π2=π，
由−π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπ，解得−π8+kπ≤x≤3π8+kπ，k∈Z．
∴函数f(x)的单调递增区间为[−π8+kπ,3π8+kπ]，k∈Z；
(2)当x∈[0,π2]时，2x−π4∈[−π4,3π4]，可得f(x)的值域为[−1, 2].
16.证明：(1)如图，取PC的中点Q，连结MQ，BQ，
因为M是PD的中点，
所以MQ//DC，MQ=12DC，
又AB//DC，AB=12DC，
所以AB//MQ，AB=MQ，
所以四边形ABQM是平行四边形，
所以AM/​/BQ，
因为AM⊄平面PBC，BQ⊂平面PBC，
所以AM/​/平面PBC；
(2)连结PN，DN，DB，
因为PB=PC，N是BC的中点，
所以PN⊥BC，
在△ABD中，AB⊥AD，AD= 3，AB=1，
所以DB=2，
由条件DC=2，所以DC=DB，
又N是BC的中点，所以DN⊥BC，
因为DN，PN⊂平面PDN，DN∩PN=N，
所以BC⊥平面PDN，
因为MN⊂平面PDN，
所以MN⊥BC．
17.解：(1)∵sinA=35，且A为钝角，∴csA=− 1−(35)2=−45，
在△ABD中，由余弦定理可得BD2=AD2+AB2−2AD⋅AB⋅csA，
∴(3 5)2=AD2+52−2AD⋅5⋅(−45)，即AD2+8AD−20=0，
解得：AD=2或AD=−10(舍去)．
∴小岛A与小岛D之间的距离为2 nmile．
∵A、B、C、D四点共圆，∴A与C互补，则sinC=35，
csC=cs(180°−A)=−csA=45．
在△BDC中，由余弦定理得：CD2+CB2−2CD⋅CB⋅csC=BD2，
∴CD2+52−2CD⋅5⋅45=(3 5)2，得CD2−8CD−20=0，
解得CD=−2(舍去)或CD=10．
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12AB⋅AD⋅sinA+12CB⋅CD⋅sinC
=12×5×2×35+12×5×10×35=3+15=18(平方nmile)；
(2)在△BDC中，由正弦定理得：BCsinα=BDsinC，
即5sinα=3 535，解得sinα= 55．
∵DC2+DB2>BC2，∴α为锐角，则csα=2 55，
又∵sin(α+β)=sin(180°−C)=sinC=35，
cs(α+β)=cs(180°−C)=−csC=−45，
∴sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sinαcs(α+β)+csαsin(α+β)
= 55×(−45)+2 55×35=2 525．
18.(1)证明：∵在三棱台ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，
∴DE/​/BC，DB= //A1B1，
∴四边形DBB1A1是平行四边形，∴A1D//BB1，
∵A1D∩DE=D，BB1∩BC=B，
A1D、DE⊂平面A1DE，BB1、BC⊂平面BCB1，
∴平面A1DE//平面B1BC，
∵B1C⊂平面B1BC，∴B1C/​/平面A1DE．
(2)解：∵AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，
AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．
∴AE=3，DE=1，B1E= 62−32=3 3，∠AED=90°，
∴四棱锥A1−B1C1ED的体积：
VA1−B1C1ED=VADE−A1B1C1−VA1−ADE
=S△ADE⋅B1E−13×S△ADE×B1E
=23S△ADE×B1E
=23×12×AE×DE×B1E
=23×12×3×1×3 3
=3 3．
19.解：(1)该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成，
又V半球=12×43πR3=16π3，V圆台=13πℎ(r上2+r上r下+r下2)=7π3，V圆锥=13ℎS=7π6，
所以该烟花的体积V=16π3+7π3+7π6=53π6．
(2)①由图可知：PM=NQ=2csθ，PC=2sinθ，
在梯形BCEF中，由CE=2，BF=BC=1，
易知∠CEF=π4，故CQ=2−2csθ，
则PQ=CP+CQ=2+2sinθ−2csθ，
所以V=π|MP|2⋅|PQ|=8πcs2θ(1+sinθ−csθ)．
②由上问可知：t=V(9−7csθ)cs2θ=8π(1+sinθ−csθ)9−7csθ
即t=8π(2sin2θ2+2sinθ2csθ2)2+7(1−csθ)=8π(2sin2θ2+2sinθ2csθ2)2+14sin2θ2
=8π(sin2θ2+sinθ2csθ2)8sin2θ2+cs2θ2=8π(tan2θ2+tanθ2)8tan2θ2+1，
令m=tanθ2，则0上式即为t=8π(m2+m)8m2+1=π(8m2+1+8m−1)8m2+1=π(1+8m−18m2+1)，
又令n=8m−1，n∈(−1,8 33−1]，则m=n+18，
当n=0时，t=π，
当−1当n>0时，t=π[1+n8(n+18)2+1]=π(1+8nn2+2n+9)=π(1+8n+9n+2)≤π(1+82 9+2)=2π，
当且仅当n=9n，即n=3，即m=12时，等号成立，满足题意．
该烟花燃烧的最长时间为2π．