2023-2024学年湖南省永州市名校联盟高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省永州市名校联盟高二（下）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|−2≤x<1}，B={−2,0,1,2}，则A∩B=( )
A. {−2,0,1}B. {−2,−1,0}C. {−2,0}D. {2,0,1}
2.已知z−=1−z1+i，则复数z=( )
A. 2+iB. 2−iC. 1−iD. −1+i
3.设a，b均为单位向量，且a⋅b=14，则|a+2b|=( )
A. 3B. 6C. 6D. 9
4.已知锐角α满足tan2α=43，则sin2α−3cs(α+π2)csα=( )
A. −1B. −25C. 45D. 75
5.已知等比数列{an}，Sn是其前n项和，S2=3a2，则S3a3=( )
A. 72B. 8C. 7D. 14
6.通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是( )
A. C74种B. A74种C. 47种D. 74种
7.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童ABCD−EFGH中，AB=4，AD=2，EF=8，EH=4，平面ABCD与平面EFGH之间的距离为3，则此“刍童”的体积为( )
A. 36B. 46C. 56D. 66
8.若M，N分别是双曲线C：x2−y23=1的右支和圆D：(x−5)2+(y−1)2=1上的动点，且F是双曲线C的右焦点，则|MN|+|MF|的最小值为( )
A. 5 2−3B. 5 2−2C. 3 2−2D. 3 2−1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在(2x−x)7的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 不存在常数项B. 二项式系数和为1
C. 第4项和第5项二项式系数最大D. 所有项的系数和为128
10.已知函数f(x)=x3−x+1，则( )
A. f′(x)=3x2−1B. f(x)有两个极值点
C. 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D. f(x)有两个零点
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点P在截面B1CD1内，且|PC1|= 53，则( )
A. 三棱锥P−A1BD的体积为16
B. 线段PA的长为 103
C. 点P的轨迹长为 23π
D. PA⋅PC的最大值为59
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=x2lnx+1x+a为奇函数，则a的值为______．
13.镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB=BC=40米，则云台阁的高度为______米.
14.设F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限交于点P，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线C的离心率为______.若△PF1F2内切圆圆心I的横坐标为2，则△PF1F2的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2−a2=bc，sinA= 7sinC．
(1)求bc的值；
(2)若CD=2DA，且BD=2，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=AD=2AB=2．
(1)证明：平面PCD⊥平面PAD；
(2)求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：
(1)求实数m的值.并用组中值(每组的中点值)估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；
(2)假设所有购物群销售脐橙的数量X～N(μ,σ2)，其中μ为(1)中的平均数，σ2=14400.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在[256,616)(单位：盒)内的群为“A级群”，销售数量小于256盒的购物群为“B级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“A级群”奖励100，对“B级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？(群的个数按四舍五入取整数)
附：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X<μ+σ)≈0.683，P(μ−2σ≤X<μ+2σ)≈0.954，P(μ−3σ≤X<μ+3σ)≈0.997．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x212+y24=1及直线l：x−y+t=0．
(1)若直线l与椭圆没有公共点，求实数t的取值范围；
(2)P为椭圆C上一动点，若点P到直线l距离的最大值为6 2，求直线l的方程．
19.(本小题17分)
设函数f(x)=ex−alnx．
(1)当a=1，求f(x)在点(1,e)处的切线方程；
(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a−alna．
答案解析
1..C
【解析】解：集合A={x|−2≤x<1}，B={−2,0,1,2}，
则A∩B={−2,0}．
故选：C．
2..C
【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，
则z−=a−bi=1−a+bi1+i=1−(a+bi)(1−i)(1+i)(1−i)=1−(a+b)+(b−a)i2，
所以a=1−a+b2−b=−b−a2，解得a=1b=−1，
所以z=1−i．
故选：C．
3..B
【解析】解：a，b均为单位向量，且a⋅b=14，
则|a+2b|= |a+2b|2= a2+4a⋅b+4b2= 1+4×14+4= 6．
故选：B．
4..D
【解析】解：因为tan2α=43=2tanα1−tan2α且α为锐角，
所以tanα>0，
解得tanα=12，
则sin2α−3cs(α+π2)csα=sin2α+3csαsinαsin2α+cs2α=tan2α+3tanα1+tan2α=14+321+14=75．
故选：D．
5..C
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
因为S2=3a2，可得a1+a2=3a2，即a1=2a2，所以q=a2a1=12，
所以S3a3=a1+a1q+a1q2a1q2=1+q+q2q2=1+12+(12)2(12)2=7．
故选：C．
6..D
【解析】解：由题意每位同学都有7种选择，则4名同学共有74种选择方案．
故选：D．
7..C
【解析】解：根据题意可得所求几何体的体积为：
13×(4×2+8×4+ 8×32)×3=56．
故选：C．
8..A
【解析】解：圆D：(x−5)2+(y−1)2=1的圆心D(5,1)，半径r=1，
双曲线C：x2−y23=1，则a=1，b= 3，c= a2+b2=2，
设左焦点为F1(−2,0)，则|MF1|−|MF|=2a=2，即|MF|=|MF1|−2，
所以|MN|+|MF|=|MN|+|MF1|−2≥|DF1|−3= (5+2)2+12−3=5 2−3，
当且仅当M、N在线段DF1与双曲线右支、圆的交点时取等号．
故选：A．

【解析】解：因为展开式的通项公式为Tr+1=C7r(2x)7−r(−x)r=27−r⋅(−1)r⋅C7r⋅x2r−7，
对A，由2r−7=0，得r=72(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确；
对B，二项式系数和为27=128，故B错误；
对C，展开式共有8项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故C正确；
对D，令x=1，得所有项的系数和为(2−1)7=1，故D错误；
故选：AC．

【解析】解：易知f(x)的定义域为R，
可得f′(x)=3x2−1，故选项A正确；
当x<− 33时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当− 33当x> 33时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以函数f(x)在x= 33处取得极小值，在x=− 33取得极大值，
此时f(x)极小值=f( 33)=−29 3+1>0，f(x)极大值=f(− 33)=29 3+1>0，
所以f(x)只有一个零点，故选项B正确，选项D错误；
因为f(x)+f(−x)=x3−x+1−x3+x+1=2，
所以f(x)关于(0,1)对称，故选项C正确．
故选：ABC．

【解析】解：在正方体中，AC1⊥平面B1CD1，平面B1CD1//平面A1BD，
且两平面间的距离为13|AC1|= 33，又△A1BD的面积S△ABD= 32，
∴三棱锥P−A1BD的体积VP−ABD=13× 32× 33=16，A正确；
设△B1CD1的中心为O1，则O1C1= 33，AO1=2 33，
PO1= PC12−O1C12= 23，PA= AO12+PO12= 143，B错误；
如图，由R1O1=P2O1=P1P2= 23知，∠P1O1P2=60°，点P的轨迹是以O1为圆心， 23为半径的圆的一部分，
由三段R1P6，P2P3，P4P5劣弧构成，其长度为圆O1周长的一半12×2π× 23= 23π，C正确；
PA⋅PC=PA⋅(PA+AC)=AP2−AP⋅AC=149− 2|AP|cs∠PAC，
|AP|cs∠PAC为AP在AC方向上的投影，
由图可知，当P位于点P1或P2的位置时，|AP|cs∠PAC最小，
此时PA⋅PC取得最大值，如图所示，
建立空间直角坐标系，则C(1,1,0)，P1(23,13,1)，P2(13,23,1)，
P1A⋅P1C=(−23,−13,−1)⋅(13,23,−1)=59，D正确．
故选：ACD．
12..−1
【解析】解：f(x)=x2lnx+1x+a为奇函数，
则f(x)+f(−x)=x2lnx+1x+a+x2ln−x+1−x+a=x2lnx+1x+ax−1x−a=x2lnx2−1x2−a=0，
此式在定义域内恒成立，
则a2=1，则a=1(舍)或a=−1.经检验符合题意．
故答案为：−1．
13..8 15
【解析】解：设云台阁的高度PO=ℎ，则Rt△PAO中，tan30°=POOA= 33，可得OA= 3ℎ，
同理，在Rt△PBO、Rt△PCO中，算出OB= 33ℎ，OC=ℎ．
因为△AOC中，AB=BC=40米，所以OB是AC边上的中线，可得OB=12(OA+OC)，
两边平方得|OB|2=14(OA+OC)2=ℎ23，即(OA+OC)2=4ℎ23，可得|OA|2+|OC|2+2OA⋅OC=4ℎ23，
即3ℎ2+ℎ2+2OA⋅OC=4ℎ23，整理得OA⋅OC=−4ℎ23，
又因为OA−OC=CA，两边平方得(OA−OC)2=|CA|2=802=6400，
所以|OA|2+|OC|2−2OA⋅OC=6400，即3ℎ2+ℎ2+8ℎ23=6400，解得ℎ=8 15米．
故答案为：8 15．
14.. 102 6
【解析】解：设以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点设为P，
则∠F1PF2=90°，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a=2|PF2|，
所以|PF1|=3a，|PF2|=a，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
即有9a2+a2=4c2，即c2=52a2，
则e=ca= 102．
设△PF1F2内切圆与x轴相切于M，M点横坐标为t，
则|PF1|−|PF2|=|MF1|−|MF2|，则3a−a=t+c−(c−t)=2t，
解得t=a，
又由△PF1F2内切圆圆心I的横坐标为2，得a=2，
故S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|=12×6×2=6．
故答案为： 102，6．
15..解：(1)因为b2+c2−a2=bc，由余弦定理可得：b2+c2−a2=2bccsA，
所以csA=12，而A∈(0,π)，
所以A=π3，
又因为sinA= 7sinC，可得a= 7c，可得角C为锐角，
且sinC=sinA 7= 2114，
csC=5 714，
所以sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC= 32×5 714+12× 2114=3 2114，
所以bc=sinBsinC=3 2114 2114=3．
(2)由(1)可得b=3c，CD=2DA，且BD=2，
因为BD=BA+AD=BA+13AC，
所以BD2=BA2+19AC2+23BA⋅AC=c2+19b2+23c⋅bcs(π−A)
=c2+c2−c2=c2，
可得c=2，b=6，
所以S△ABC=12bcsinA=12×2×6× 32=3 3．
【解析】(1)由题意及余弦定理可得csA的值，再由角A的范围，可得角A的大小；
(2)由题意可得BD=BA+AD=BA+13AC，两边平方可得c，b的值，代入三角形的面积公式，可得△ABC的面积．
16..(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD．
因为底面ABCD是矩形，所以AD⊥CD．
又PA∩AD=A，AD，PA⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．
又因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD．
(2)解：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,2,0)，P(0,0,2)，A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，
所以PC=(1,2,−2),BC=(0,2,0),CD=(−1,0,0)．
设平面PCD的一个法向量为m=(x2,y2,z2)，则
m⋅PC=0,m⋅CD=0⇒x1+2y1−2z1=0,−x1=0.，取y2=1，则x2=0，z2=1，
可得平面PCD的一个法向量为m=(0,1,1)．
设平面PBC的一个法向量为n=(x1,y1,z1)，则
n⋅PC=0,n⋅BC=0⇒x1+2y1−2z1=0,2y1=0.，取x1=2，则y1=0，z1=1，
可得平面PBC的一个法向量为n=(2,0,1)．
设平面PBC与平面PCD的夹角为θ，则
csθ=|cs|=|n⋅m||n||m|=1 5× 2= 1010，
所以平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为 1010．
【解析】(1)由题意可得PA⊥CD，AD⊥CD，可证CD⊥平面PAD，进而可证结论；
(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面PBC的一个法向量与平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式可求得平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值．
17..解：(1)由题意得，12+18+m+32+18=100，
解得m=20，
则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为：1100(150×12+250×18+350×20+450×32+550×18)=376；
(2)由题意，μ=376，σ=120，则256=μ−σ，616=μ+2σ，
故P(256≤X<616)=P(μ−σ≤X<μ+2σ)=12×P(μ−σ≤X<μ+σ)+12×P(μ−2σ≤X<μ+2σ)
≈12×0.683+12×0.954=0.8185，
故“A级群”约有1000×0.8185=818.5≈819个，
P(X≥616)=P(X≥μ+2σ)=12[1−P(μ−2σ≤X<μ+2σ)]≈12(1−0.954)=0.023，
故“特级群”约有1000×0.023=23个，
则依题意，需要资金为819×100+23×600=95700元，即该脐橙基地大约需要准备95700元．
【解析】(1)利用频数之和等于样本总数易得m值，利用与频数分布表有关的平均数公式计算即得；
(2)由题意，结合(1)的结果易得μ，σ的值，根据“A级群”，“特级群”的范围，利用正态分布曲线的对称性，求出对应的概率，再计算出需准备的奖金即可．
18..解：(1)联立方程组x−y+t=0x212+y24=1，消去y得：4x2+6tx+3t2−12=0，
因为直线l与椭圆C没有公共点，
所以Δ=36t2−4×4×(3t2−12)<0，解得t>4或t<−4，
所以实数t的取值范围为(−∞,−4)∪(4,+∞)；
(2)由题意，点P到直线l距离的最大值，
等价于与直线l平行且与椭圆C相切的直线与直线l间的距离，
由(1)中，Δ=36t2−4×4×(3t2−12)=0，解得t=4或t=−4，
此时直线l1：x−y−4=0或直线l2：x−y+4=0与椭圆C相切，
当l1与l之间的距离为6 2时，可得|t+4| 12+(−1)2=6 2，解得t=8或t=−16(舍去)，
当l2与l之间的距离为6 2时，可得|t−4| 12+(−1)2=6 2，解得t=−8或t=16(舍去)，
综上，所求直线l的方程为x−y−8=0或x−y+8=0．
【解析】(1)联立方程组，根据题意，利用Δ<0，即可求得实数t的取值范围；
(3)根据题意，把点P到直线l距离的最大值，转化为直线l平行且与椭圆C相切的直线l1与直线l间的距离，由(1)直线l1：x−y−4=0或直线l2：x−y+4=0与椭圆C相切，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．
19..解：(1)当a=1时，f(x)=ex−lnx，
则f′(x)=ex−1x，即f′(1)=e−1，
所以f(x)在点(1,e)处的切线方程为y−e=(e−1)(x−1)，即y=(e−1)x+1．
(2)证明：因为f′(x)=ex−ax,x>0,a>0，
因为y=ex为单调递增函数，y=−ax也为单调递增函数，
所以f′(x)为单调递增函数，又f′(a)=ea−1>0，且f′(aea)=eaea−ea<0，
所以f′(x)在(0,+∞)上存在唯一零点，设为x0，
当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，f(x)为单调递减函数；
当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为单调递增函数；
所以f(x)min=f(x0)，
由f′(x0)=0可得ex0=ax0，即x0=aex0，
所以f(x0)=ax0−alnaex0=ax0−a(lna−lnex0)=ax0+ax0−alna≥2a−alna，
当且仅当x0=1时取等号，
所以当a>0时，f(x)≥2a−alna．
【解析】(1)由导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可；
(2)先证明f′(x)在(0,+∞)上存在唯一零点，设为x0，再由导数求出最小值f(x)min=f(x0)结合基本不等式和对数的运算证明即可．脐橙数量/盒
[100,200)
[200,300)
[300,400)
[400,500)
[500,600]
购物群数量/个
12
18
m
32
18