2023-2024学年重庆市忠中教育联盟九年级（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年重庆市忠中教育联盟九年级（下）期中数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级抽取的竞答成绩统计表等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数−1，0， 2，−3，其中最小的是( )
A. −1B. 0C. 2D. −3
2.如图，下列几何体由5个大小相同的正方体组成，从左面看到该几何体的形状图是( )
A. B. C.
D.
3.如图，直线m//n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C.若∠1=55°，则∠2的度数为( )
A. 35°B. 45°C. 55°D. 60°
4.已知点A(a,−1)，点B(2,b)关于原点对称，则a+b的值为( )
A. −1B. 1C. −3D. 3
5.用放大镜将一个△ABC的面积放大为原来的4倍，则放大后的( )
A. ∠A，∠B，∠C是原来的4倍B. 周长是原来的2倍
C. 对应边长是原来的4倍D. 对应中线长是原来的4倍
6.估计(2 2+3 10)÷ 2的值应在( )
A. 6和7之间B. 7和8之间C. 8和9之间D. 9和10之间
7.观察这两组数：①1，2，4，8，16，…；②1，3，6，10，15，….取每组数的第7个数，计算这两个数的和是( )
A. 60B. 85C. 92D. 100
8.如图，点A、B、C是⊙O上不重合的三点，则下列结论一定正确的是( )
A. ∠AOB=∠A+∠B
B. ∠AOB=2(∠A+∠B)
C. ∠AOB=90°−(∠A+∠B)
D. ∠AOB=180°−2(∠A+∠B)
9.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC=4，DE=3 2，则AF的长为( )
A. 4
B. 5
C. 10
D. 2 5
10.对于多项式：a−b−c−m+n，只选取两个字母，并交换它们的位置(符号不参与交换)，称这种操作为一种“交换操作”.然后再运算，并将化简的结果记为X.例如：a，b交换后X=b−a−c−m+n；c，a交换后X=c−b−a−m+n.下列相关说法正确的个数为( )
①存在一种“交换操作”，使其运算结果为X=a−b−c+m+n；
②共有三种“交换操作”，使其运算结果与原多项式相等；
③所有的“交换操作”共有八种不同的运算结果．
A. 3B. 2C. 1D. 0
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.(π−3.14)0−3−1= ______．
12.一个正多边形的内角和为720°，则这个多边形的外角的度数为______．
13.现有三张正面分别标有数字1，2，4的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P(m,n)在函数y=4x图象上的概率为______．
14.某出版社为支持“乡村图书馆”建设，购买了两批次的书，每次降价且降价比例一样，每本书的售价由50元降为32元，设每次降价的百分率是x，则根据题意，可列方程为______．
15.在等腰直角△ABC中，已知∠ABC=90°，BC=1.如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′.则图中阴影部分面积为______．
16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，M是AD边上的一点，AM：MD=1：3，将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则△DMN的面积为______．
17.若关于x的不等式组6x+5≤7xx+218.一个四位自然数M的千位为a，百位为b，十位为c，个位为d，其中a、b、c、d互不相同且均不为0，若满足ad+bc=99，则称这个四位数为“归一数”.例如：四位数3627，∵37+62=99，∴3627是“归一数”.最小的“归一数”是______；去掉百位数字b得到新三位数M′，则满足M+M′−3c11为正整数的最小“归一数”是______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)4x(x+y)+(x−2y)2；
(2)(3a−1a−1−1)÷2aa2−1．
20.(本小题10分)
在学习了平行四边形后，小高和小新进行了拓展探究：如图，AD//BC，E是AD上一点，且AE=AB．
(1)作∠BAD的平分线AF交BC于点F，连接EF(尺规作图，保留痕迹，不写作法)；
(2)根据(1)中作图，小高和小新猜测四边形ABFE是菱形，请你帮助她们把证明过程或者推理依据补充完整．
证明：∵AF平分∠BAE，
∴ ______，
∵AD//BC，
∴ ______，
∴∠BFA=∠BAF，
∴AB=BF，
∵AE=AB，
∴ ______，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∵AE=AB，
∴四边形ABFE为菱形(______).
21.(本小题10分)
某校开展学生科技活动，为了解学生的科技知识水平组织了知识竞答活动，从七年级和八年级各随机抽取20名学生的竞答成绩(单位：分)，进行整理、描述和分析(比赛成绩用x表示，共分成4组：A：90≤x≤100，B：80≤x<90，C：70≤x<80，D：60≤x<70).下面给出了部分信息：
七年级学生B组的竞答成绩为：81，81，82，84，82，86，82，86．
八年级被抽取学生的竞答成绩为：83，60，66，62，68，83，71，92，90，76，91，94，83，75，84，83，77，90，91，81．
七、八年级抽取的竞答成绩统计表
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______，b= ______，n= ______；
(2)根据以上数据，你认为哪个年级学生的竞答成绩更好？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)该校七、八年级学生共有2000人，请你估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的有多少人？
22.(本小题10分)
为迎接端午节的到来，某工厂计划安排甲车间生产16000个艾草香包，根据现有设备和工艺，甲车间每天可生产400个艾草香包，甲车间单独先工作10天后，工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙车间每天可生产200个艾草香包．
(1)从开始加工到完成这批艾草香包一共需要多少天？
(2)由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产10天后，工厂改进了两个车间的生产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间.改进后甲、乙两车间每天生产的艾草香包数量之比为3：2，且改进工艺后两个车间完成剩下生产任务的天数之和为10天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个艾草香包？
23.(本小题10分)
如图1，△ABC中，∠C=30°，AC=8，AD是BC边上的高，点E是AD的中点，连接BE.∠EBD=30°，若动点P分别以每秒2单位长度的速度从点B(含端点出发，沿折线B→E→A→C方向运动，当点P运动到点C(含端点)时停止运动.设运动时间为x秒，点P到BC的距离为y．

(1)直接写出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)在图2平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质：______；
(3)若一次函数y=−25x+b与y的函数图象有两个交点，直接写出b的取值范围．
24.(本小题10分)
某商业区为了提升地下停车库入口的安全性能，拟将坡比为i=1：1的斜坡AC改造成斜坡AD，使得∠ADB=37°．
(1)若AB=5m，求斜坡底部增加的长度CD为多少米？(结果确到0.1米)
(2)入口处水平线AE=6m，且AE//BD，地下停车库坡道入口上方点E处有悬挂广告牌EF，EF⊥BD，EF=0.5m.若一辆满载货物高为3m的货车沿斜坡AD驶入车库，行进中是否会碰到广告牌的下端F？请说明理由.(参考数据：tan37°≈34，sin37°≈35，cs37°≈45)
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，且满足OB=OC=3OA.连接BC、AC．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是线段BC上一点，过点D作DE//AC交x轴于点E，连接CE.求△CDE面积的最大值及此时点D的坐标；
(3)如图2，在(2)△CDE的面积取得最大的前提下，将该抛物线沿射线BC的方向移动 2个单位长度，得到新的抛物线y1，在新抛物线y1上是否存在一点P，使得∠PBC=∠ECO，若存在直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
26.(本小题10分)
已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，D为平面内的一个动点．
(1)如图1，点D在△ABC内部，将△CDB绕点C顺时针旋转90°恰好得到△CEA，若B、D、E三点共线且BD=DE=3.求△ABE的面积；
(2)如图2，将△ABC绕点A旋转一定角度得到△AED，连接EB，点F为EB中点，连接DF.在DE左侧作直角△EGD，∠DGE=90°，取DB中点H，连接GH.若BE=BD，DE平分∠GDB.求证：DF=GH；
(3)如图3，CA=CB=3，∠ADC=120°，且点D在AC右侧，分别作∠DAC和∠DCA的角平分线交于点M，过点M分别作MP⊥BC于点P，MQ⊥AB于点Q，请直接写出线段PQ的最小值．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.A
5.B
6.C
7.C
8.B
9.D
10.D
11.23
12.60°
13.13
14.50(1−x)2=32
15.38π−12
16.245
17.20
18.1827 3654
19.解：(1)4x(x+y)+(x−2y)2
=4x2+4xy+x2−4xy+4y2
=5x2+4y2；
(2)(3a−1a−1−1)÷2aa2−1
=2aa−1×(a+1)(a−1)2a
=a+1
20.(1)解：作∠BAD的角平分线如图所示：
；
(2)证明：∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF=∠EAF，
∵AD/​/BC，
∴∠BFA=∠EAF，
∴∠BFA=∠BAF，
∴AB=BF，
∵AE=AB，
∴AE=BF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∵AE=AB，
∴四边形ABFE为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)．
21.(1)81.5，83，40；
(2)八年级学生的竞答成绩更好，
理由：因为七年级和八年级的平均数一样，八年级的中位数和众数都比七年级的高，所以八年级学生的竞答成绩更好；
(3)2000×4+620+20=500(人)，
答：估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的有500人．
22.解：(1)设从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要x天．
400x+200(x−10)=16000，
解得x=30，
答：从开始加工到完成这批布艺红包袋，一共需要30天．
(2)设甲车间每天生产3m个，乙车间每天生产2m个布艺红包袋．
16000−400×102=6000(个)，
60003m+60002m=10，
解得：m=500，
经检验：m=500是原分式方程的解，且符合题意．
∴改进后甲每天产量：500×3=1500(个)．
答：改进工艺后，甲车间每天生产1500个布艺红包袋．
23.(1)∵∠C=30°，AC=8，
∴AD=4，
又∵E是AD的中点，
∴AE=ED=2，
又∵∠EBD=30°，
∴BE=2DE=4，
如图1.1，当0≤t≤2时，点P在BE上时，BP=2x，
又∵∠EBD=30°，
∴y=PQ=x；
如图1.2，当2如图1.3，当3≤t≤7时，点P在AC上时，y=PQ=12PC=12[8−2(x−3)]=−x+7；
故y=x(0≤t≤2)2x−2(2(2)函数图象如图2：
性质：当0(3)当一次函数y=−25x+b过点(3,4)时，即−25×3+b=4，
解得：b=325；
当一次函数y=−25x+b过点(7,0)时，即−25×7+b=0，
解得：b=145；
∵一次函数y=−25x+b在平移过程中，与y的函数图象有两个交点，则b的取值范围为145≤b<325．
24.解：(1)在Rt△ABC中，i=1：1，
∴BC=AB=5m，
在Rt△ABD中，∠ADB=37°，
∵tan∠ADB=ABBD，
∴BD=ABtan∠ADB=5tan37∘≈203(m)，
∴CD=BD−BC=203−5=53≈1.7(m)；
(2)若一辆高度为3米的货车沿斜坡AD驶入车库，行进中不会碰到广告牌的下端F，理由如下：
如图，延长EF交AD于G，过F作FH⊥AD于H，

由题意得：∠AEG=90°，AE/​/BD，
∴∠EAG=∠ADB=37°，
∵tan∠EAG=EGAE，AE=6m，
∴EG=AE⋅tan37°=6×34=92(m)，
∴FG=EG−EF=92−0.5=4(m)，
在Rt△FGH中，∠FGH=90°−∠EAG=90°−∠HFG，
∴∠EAG=∠HFG=37°，
∵cs∠HFG=FHFG，
∴FH=FG⋅cs37°≈4×45=165=3.2(m)，
∵3.2>3，
∴一辆高度为3米的货车沿斜坡AD驶入车库，行进中不会碰到广告牌的下端F．
25.解：(1)当x=0时，y=−3，
∴点C的坐标为(0,−3)，
又∵OB=OC=3OA，
∴OB=OC=3，OA=1，
∴点B的坐标为(3,0)，点A的坐标为(−1,0)，
把(3,0)和(−1,0)代入y=ax2+bx−3得：
9a+3b−3=0a−b−3=0，
解得a=1b=−2，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
(2)∵点B的坐标为(3,0)，点A的坐标为(−1,0)，
∴S△ABC=12AB⋅OC=12×4×3=6，
设点E的坐标为(m,0)，则BE=3−m，
∵DE//AC，
∴S△BEDS△BAC=(EBBA)2=(3−m4)2，
∴S△BED=(3−m4)2S△BAC=(3−m)216×6=3(3−m)28，
∴S△CDE=S△BEC−S△BED=12(3−m)×3−3(3−m)28=−38(m−1)2+32，
∴当m=1时，S△CDE最大，最大为32，
这时点E为AB的中点，即点D为BC的中点，
根据中点坐标公式可得点D的坐标为(32,−32)；
(3)∵抛物线y=x2−2x−3沿射线BC的方向移动 2个单位长度，
即向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度，
解析式为y1=(x+1)2−2(x+1)−3−1=x2−5，
∵点E的坐标为(1,0)，点C的坐标为(0,−3)，
∴CE= OC2+OE2= 32+12= 10，
如图2.1，当点P在BC的上方时，设BP与CE交于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，

∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
又∵∠PBC=∠ECO，
∴∠ECB=∠EBF，
又∵∠CEB=∠BEF，
∴△BEF∽△CEB，
∴EFBE=BEEC，即EF2=2 10，
解得EF=2 105，
∵FG//y轴，
∴△EGF∽△EOC，
∴EFEC=EGEO=FGOC=25，
∴EG=25，GF=65，
∴OG=35，
∴点F的坐标为(35,−65)，
设BF的解析式为y=cx+n，把点(35,−65)和(3,0)代入得：
3c+b=035c+b=−65，
解得c=12b=−32，
∴BF的解析式为y=12x−32，
解方程组y=12x−32y=x2−5得x=1+ 574y= 57−118或x=1− 574y=− 57−118，
∴点P的坐标为(1+ 574, 57−118)或(1− 574,− 57−118)；
当点P在BC的下方时，如图2.2，设直线BP与y轴交于点M，过点E作EN⊥x轴交BC于点N，

则EN=EB=2，∠CNE=∠BCM=135°，
∴BC=3 2，BN=2 2，
∴CN= 2，
∵∠OCB=∠OCE+∠ECB=∠CBP+∠CMB，∠OCE=∠CBP，
∴∠ECB=∠CMB，
∴△CEN∽△MBC，
∴CMCN=CBEN，即CM 2=3 22，
解得CM=3，
∴OM=6，
∴M点的坐标为(0,−6)，
根据(1)中可以得到BM的解析式为y=2x−6，
解方程组y=2x−6y=x2−5得x=1y=−4，
∴点P的坐标为(1,−4)，
综上所述，点P的坐标为：(1+ 574, 57−118)或(1− 574,− 57−118)或(1,−4)．
26.解：(1)∵将△CDB绕点C顺时针旋转90°恰好得到△CEA，
∴∠EAC=∠DBC，AE=BD=3，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠DBC+∠DBA=90°=∠CAB+∠EAC+∠DBA，
∴∠AEB=90°，
∵BD=DE=3，
∴EB=6，
∵∠AEB=90°，
∴S△ABE=AE⋅BE=9；
(2)取ED的中点R，连接HR，FR，GR，

∵点R，FH分别为DE，BE，BD的中点，
∴RF=12BD，FH=12BE，RF//BD，RH//BE，
∴∠HRF=∠RFE=∠DBE，
∵BE=BD，
∴RF=RH，∠DEB=∠EDB，
∵∠DGE=90°，
∴GR=DR，
∴∠GDR=∠DGR，
∵DE平分∠GDB，
∴∠GDR=∠EDB，
∵∠GBD=180°−∠GDR−∠DGR，∠EBD=180°−∠DEB−∠EDB，
∴∠GRD=∠EBD，
∴∠GRD+∠DRH=∠EBD+∠DRH，
∴∠GRH=∠DRF，
∴△GRH≌△DRF(SAS)，
∴GH=DF；
(3)连接BM，取BM的中点为N，连接PN，QN，
∵MP⊥BC，MQ⊥AB，
∴NP=NQ=NB=12BM，
∴P，Q，B在以N为圆心，NB为半径的圆上，
∴∠PNQ=2∠PBQ=90°，
∴PQ= 2NP= 22BM，
∵∠DAC和∠DCA的角平分线交于点M，
∴点M为△ACD的内心，
∴∠AMC=90°+12∠ADC=150°，
∵CA=CB=3为定长，
∴点M在以点O为圆心，OA为半径，圆心角∠AOC为60°的圆上运动，
∴BM≥OB−OM，
点O，M，B三点共线时，等号成立，
此时，OC=AC=BC，
∴∠COB=∠CBO=15°，
过点B作BT⊥OC交OC的延长线于T，

∴∠BCT=∠COB+∠CBO=30°，
∵BT⊥OC，
∴∠BTC=90°，
∴BT=12BC=32，
在Rt△BTC中，BT2+CT2=BC2，
∴CT=3 32，
在Rt△BOT中，BT2+OT2=BO2，
∴OB=3 6+3 22，
∴线段PQ的最小值为 22BM= 22×(3 6+3 22−3)=3 3−3 2+32． 年级
七年级
八年级
平均数
80
80
中位数
a
83
众数
82
b