初中数学北师大版八年级上册6 实数学案设计

这是一份初中数学北师大版八年级上册6 实数学案设计，共5页。学案主要包含了知识梳理，重难点突破，典例剖析，创新探究等内容，欢迎下载使用。

（一）平方根: 如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根），就是说，如果x2＝a，那么x叫做a的平方根. 这里，a是x的平方数，它是一个非负数，即a≥0。
1．平方根的表示方法:
(1)当a>0时，a的平方根记为±；
(2)当a＝0时，a的平方根是，即＝0；
(3)当a<0时，a没有平方根.
2．平方根的性质: 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它就是0本身；负数没有平方根.
3．算术平方根: 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，0的算术平方根是0.
4．算术平方根的性质: 非负数的算术平方根是非负数，即当a≥0时，≥0.
5．开平方: 开平方是一种运算方法，与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算。
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫被开方数。平方与开平方互为逆运算.
6．(1)()2＝a，(a≥0) (2)
（二）立方根：若，则x叫做a的立方根；每个实数都有一个立方根，记作
1．立方根的性质：
(1) 正数有一个立方根，仍为正数；
(2) 零的立方根是零；
(3) 负数有一个立方根，仍为负数。
2．开立方：
正如开平方是平方的逆运算一样，开立方运算也是立方运算的逆运算.
求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫被开方数。
3．(1) (a>0), (2) (3)
（三）实数：
1．有理数：整数和分数统称有理数。有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
2．无理数：无限不循环小数叫做无理数。无理数必须满足三个条件：①小数；②是无限小数；③不循环，三者缺一不可。
3．有理数和无理数统称为实数.
4．实数的分类 ：
二、重难点突破
1、重点：（1）平方根和立方根的概念。（2）开平方、开立方的书写步骤。
2、难点：（1）算术平方根；（2）解方程中解的个数；（3）根式是否有意义。
三、典例剖析
专题一：无理数的产生
例1：（无理数）将下列各数填在相应的大括号内：
0；π；；3.14；；；；；
整数集合{ }； 分数集合{ }；
负数集合{ }； 无理数集合{ }；
【变式】在数0.222；－；2.110110110…；π-3；－；1.1351335…；3.1416；；(－1)2；－1.424224222…其中无理数的个数为（ ）。
A．1个 B.2个 C.3个 D.4个
专题二：平方根、算术平方根、立方根求解
例2：求下列各题。
(1) 的平方根是_________； (2) (－)2的算术平方根是_________；
(3) －512的立方根是_______； (4)的算术平方根为_________；
例3：求下列各式的平方根和算术平方根。
（1）36；（2）2； （3）10－4； （4）|－|；
例4：求下列各式的立方根。
（1）216； （2）－0.729； （3）； (4) 0
【变式】(1) a的平方根是,则a=________；
(2)a的算术平方根的平方根是，则a=__________；
(3)一个数的立方根的算术平方根为2，则这个数为__________；
(4)一个数的算术平方根的立方根为，则这个数为__________；
专题三：根式的化简
例5：计算下列各题
（1）=_____； （2）=____；（3）=______；（4）=____；
（5）=_____； （6）=____；（7）=_______;（8）=_____；
（9）()2＝_____;(a≥0) （10）=_____； (11)=______;(12) =_____.
【变式】化简下列根式：
（1）= （2）= （3）=
(4) = (5) = (6) =
专题四：根式的意义
例6：若有意义，则x的取值范围是____________..
例7：若有意义，则的值是_____.
【变式1】. （1）任何数都有算术平方根；（2）一个数的算术平方根一定是正数；（3）的算术平方根是a，（4）的算术平方根是，（5）算术平方根不可能是负数，正确的个数有____________个。
【变式2】若｜x－4｜+=0, 那么x=________, y=_________.
【变式3】（2011成都中考）在函数自变量的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
专题五：根式在解方程中的运用
例8：求下列各式中的x:
（1）2(x2-1)＝30； （2）（x+1）2＝49
（3） =－2 （4）27(x+1)3+64=0
专题六：根式拓展运用
例9： 6．若m<0，则m的立方根是（ ）
A.B.－ C.±D.
◆变式拓展训练◆
【变式1】求的值为
【变式2】一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则这个数为多少？
【变式3】已知y＝2003－2004，求的值.
四、创新探究（名校、名书、名题、中考、培优、竞赛）
1．（成都）在函数中，自变量x的取值范围是 。
2.（培优）已知3x+1的平方根为，则9x+19的立方根为 。
3.（西川）若和互为相反数，求的平方根。
4.（七中嘉祥）已知2a－1的平方根为±3，3a＋b－1的算术平方根为4，求a＋2b的平方根。
5．（培优）已知是m的立方根，而是x的相反数，且m=3a-7，求x与y的平方和的立方根。
6.（培优）已知的值。
第一部分：
1．下列数中是无理数的是（ ）
B.C.0D.
2．一个正偶数的算术平方根是m，则这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（ ）
A.m+2 B.m+ C. D.
3．下列说法中，正确的是（ ）
A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数
B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数 C.负数没有立方根
D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1
4．判断下列各题的正误。
（1）有理数包括整数、分数和零。（ ） （2）无理数都是开方开不尽的数（ ）
（3）不带根号的数都是有理数 （ ） （4）带根号的数都是无理数 （ ）
（5）无理数都是无限小数 （ ） （6）无限小数都是无理数 （ ）
第二部分：
5．若，则
6．若x<0， 则= , =_ .
7.★若有意义，则x范围是 ;
8.★当x=______时，有最小值，其最小值为 。
9.★若，则的取值范围是 ；
10.（培优）立方根等于其本身的数是 ；平方根等于其本身的数是
第三部分：
11．49（x2＋1）＝50； 12．★当113.（树德联中）一个正数的平方根分别是和，求这个数