2024年福建省厦门市中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．可以直接使用2B铅笔作图．
一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1. 下图所示的零件的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三视图，根据主视图是从正面看到的即可得出答案
【详解】解：根据主视图是从正面看到的，主视图为：
故选：D
2. 为计数方便，某果园以每筐水果为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．“”表示的实际千克数是（ ）
A. 3B. 22C. 25D. 28
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了正负数的应用，首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题．
【详解】解：由题意，得
“”表示的实际千克数是千克．
故选B．
3. 如图，是正六边形的中心．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了正六边形的性质，熟练掌握正六边形的有关性质是解题的关键．根据点的坐标求出的长，再根据正六边形的性质求出，进而求出的坐标即可．
【详解】解：如图，连接、，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
故选:．
4. 如图，将绕点顺时针旋转至．下列角中，是旋转角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查图形旋转，旋转角，根据旋转角定义，对应点与旋转中心连线所夹的角是旋转角，可得旋转角为，即可．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转至，
∴旋转角为，．
故选：A．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6. 数轴上表示数的点的位置如图所示，若，则表示数的点可以是（ ）

A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查数轴．根据题意得到表示数的点在表示数的点的左边，结合四个选项即可判断．
【详解】解：∵，
∴，即表示数的点在表示数的点的左边，
观察四个选项，只有点在点的左边，
故选：A．
7. 在某校举办的诗歌朗诵比赛上，评委根据13位参赛选手的预赛成绩，选出了成绩较高的6位进入决赛．小梧进入了决赛，他的预赛成绩是85分．关于这13位选手的预赛成绩数据，下列判断正确的是（ ）
A. 平均数小于85B. 中位数小于85C. 众数小于85D. 方差大于85
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查统计的有关知识，平均数、中位数、众数、方差的意义．由于总共有13个人，选出了成绩较高的6位进入决赛，小梧进入了决赛，可得小梧的成绩高于中位数，即可．
【详解】解：由于总共有13个人，选出了成绩较高的6位进入决赛，小梧进入了决赛，
∴小梧的成绩高于中位数，
∵他的预赛成绩是85分，
∴这13位选手的预赛成绩中位数小于85，
∵不知道其他选手的成绩，
∴无法确定平均数，众数，方差．
故选：B
8. 某小组同学为了研究太阳照射下物体影长的变化规律，某日在学校操场上竖立一根直杆，经研究发现，当日该直杆的影长与时间的关系近似于二次函数，并在，，这三个时刻，测得该直杆的影长分别约为，，．根据该小组研究结果，下列关于当日该直杆影长的判断正确的是（ ）
A. 前，直杆的影子逐渐变长
B. 后，直杆的影子逐渐变长
C. 在到之间，还有某个时刻直杆的影长也为
D. 在到之间，会有某个时刻直杆的影长达到当日最短
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，由题意可知，从到，直杆的影长先变短，再变长，再结合数据可推导，对称轴在到之间．理解并掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，从到，直杆的影长先变短，再变长，
由二次函数的性质可知，其对称轴在到之间，
若对称轴在到之间时，与对称的时候直杆的影长为，且这个时间在之前，与题意矛盾，故不符题意；
∴对称轴在到之间，
∴前，直杆的影子逐渐变短，后，直杆的影子逐渐变长，故A、B错误，
在到之间，还有某个时刻直杆的影长也为，故C正确，
在到之间，会有某个时刻直杆的影长达到当日最短，故D错误，
故选：C．
二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）
9. 桌上倒扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃．从中随机抽取1张，抽到红桃的概率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查概率公式，直接利用随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数计算可得．
【详解】解：∵从这5张牌中任意抽取1张共有5种等可能结果，其中抽到“红桃”的有2种结果，
∴从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为．
故答案为：．
10. 因式分解：_____
【答案】
【解析】
【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3），
故答案为：（a+3）（a-3）．
点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
11. 如图，在中，是优弧上一点，，连接，，延长交于点，则图中角度大小为的角是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，三角形外角的定义与性质等知识，根据圆周角以及三角形的相关知识确定图中各个角的数量关系即可作答．
详解】连接，如图，
∵是优弧上一点，，
∴，即：，
∵，，
∴，
∴，
∴结合图形有：，，
∴，
∵，
∴，
即可以确定角度大小为的角为：，
故答案为：．
12. 不等式组的解集是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题关键．先解出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则求其公共解集即可．
【详解】解：
不等式①的解集即为：，
解不等式②，得：，
所以该不等式组的解集是．
故答案为：．
13. 如图， △ABC 沿射线 AC 的方向平移， 得到△CDE.若 AE＝6， 则 B，D 两点的距离为___.
【答案】3
【解析】
【分析】根据平移的性质计算出AC=BD=3即可．
【详解】解：∵△ABC沿射线AC的方向平移，得到△CDE，
∴AC=CE，
∵AE=6，
∴AC=3，
∴BD=AC=3，
故答案为3．
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
14. 已知长方形的长宽之和为，面积为，设宽为，根据图形面积的关系．可构造方程．早在3世纪，我国汉代的赵爽借助下图（由四个这样的长方形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形）将用p，q表示为，从而得到形如的一元二次方程其中一个根的求根公式．结合下图，x的表达式中所表示的几何量是______．
【答案】小正方形的边长
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的运算，涉及一元二次方程的相关概念，结合图形可知小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积，问题随之得解．
【详解】结合图形可知大正方形的面积为，
∵长方形的面积为，
∴四个长方形的面积总和为，
结合图形可知：小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积，
∴小正方形的面积为：，
∴小正方形的边长为：，
故答案为：小正方形的边长．
15. 有一条长的卷尺．若在刻度4处折叠（如图1所示），折叠后，在重叠部分刻度为2和6的位置用剪刀剪开（如图2所示），可将该卷尺剪成三段．若小桐将该卷尺在刻度30处折叠，并在整数刻度处剪开，她剪下的三段卷尺中的两段，其中一段是另一段的3倍，则剪开处的刻度可以是______．（写出其中一种即可）
【答案】12和48或25和35或9和51（写出其中任意一组即可）
【解析】
【分析】设在重叠部分刻度为和的位置用剪刀剪开，则剪下的三段卷尺的长分别为，，，任取两段，根据其中一段是另一段的3倍，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再取其符合题意的值代入中，即可求出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设在重叠部分刻度为和的位置用剪刀剪开，则剪下的三段卷尺的长分别为，，
①取 ，，则或，
解得：（不符合题意，舍去）或，
，
剪开处的刻度可以是12和48；
②取，，则或，
解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）；
③取，，则或，
解得：，，
当时，；
当时，，
剪开处的刻度可以是9和51，25和35．
故答案为：9和51，12和48，25和35（任写一种即可）．
16. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，顶点C，D在双曲线的同一支上，直线交轴于点，直线交轴于点．若，则的值是______．
【答案】4或12
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，平行四边形的性质与判定，勾股定理，设，根据平行四边形对角线中点坐标相同推出，再把代入反比例函数解析式中求出，则，据此求出直线解析式得到，，进而证明，得到四边形是平行四边形，再根据，推出，再分点C和点D在第一象限和第三象限两种情况利用两点中点坐标公式求出点C的坐标即可得到答案．
【详解】解：设，
∵四边形平行四边形，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∴，
同理可得直线解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
如图所示，当点C和点D在第三象限时，
∵，
∴，即点E是的中点，
∴，
∴；
如图所示，当C、D在第一象限时，同理可得，如图所示，取中点T，则，即点B为中点，
∴，
∴，
∴；
综上所述，k的值为4或12，
故答案为：4或12．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了零指数幂，求一个数的算术平方根等知识，根据相应的运算法则计算即可．
【详解】解：
．
18. 如下图，四边形是矩形，点在边上，，垂足为，．证明．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用 “”证明，即可证明．
【详解】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
．
，，，
．
．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化；运用相关公式、法则正确进行分式的化简是解题的关键．先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：原式，
，
，
，
当时，
上式，
．
20. 对墙垫球是某地初中学生体育素养测试项目之一，为了解该地某校八年级男生该项目的水平，该地教育部门在该校八年级男生中随机抽取了30名进行测试，并绘制了这30名男生40秒对墙垫球个数的频数分布直方图，如下图所示．（各组是，
（1）估计这30名男生40秒对墙垫球的平均个数；
（2）男生该项目“较高水平”的标准是“40秒对墙垫球的个数不少于32”．在该校八年级男生中随机抽取一名，记事件A为：该男生该项目达到较高水平．请估计事件A的概率．
【答案】（1）28个 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求平均数，求概率：
（1）根据平均数的公式计算，即可求解；
（2）直接根据概率公式计算，即可求解．
【小问1详解】
解：根据图，可估计这30名男生40秒对墙垫球的平均个数为
（个）．
【小问2详解】
解：
即事件A的概率为．
21. 某盆景园艺租赁公司有某种盆栽供顾客租用．该种盆栽每盆租金现为15元，每天可租出95盆．市场调查反映：该种盆栽每盆租金每上涨1元，每天会少租出5盆．
（1）设该种盆栽每盆租金上涨元，请用含的式子表示该种盆栽每天租出的数量；
（2）判断随着该种盆栽每盆租金的上涨，该公司每天租出该种盆栽的总收益的增减情况，并说明理由．
【答案】（1）
（2）当该种盆栽每盆租金上涨0到2元时，该公司每天租出该种盆栽的总收益随着租金的上涨而增加；当该种盆栽每盆租金上涨2到19元时，该公司每天租出该种盆栽的总收益随着租金的上涨而减少，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，以及判断二次函数的增减性，根据等量关系列出表达式是解题的关键．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）设该公司每天租出该种盆栽的总收益为元，根据每天总收益每天租出的盆栽数量盆栽每盆租金，列出表达式，再根据二次函数的增减性作出判断即可．
小问1详解】
解：由题意得，该种盆栽每天租出的数量为盆．
答：该种盆栽每天租出的数量为盆；
【小问2详解】
解：设该公司每天租出该种盆栽的总收益为元，
由题意得：，
，
．
由（1）可知，，
．
，
当时，有最大值．
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
答：当该种盆栽每盆租金上涨0到2元时，该公司每天租出该种盆栽的总收益随着租金的上涨而增加；当该种盆栽每盆租金上涨2到19元时，该公司每天租出该种盆栽的总收益随着租金的上涨而减少．
22. 为创造美丽环境，某社区将辖区内一四边形闲置区域改造为一个生态景观区，平面示意图如图所示．景观区建有一个四叶草形生态水池及一座雕塑，水池内点处建有观景台，是两条通往观景台的步行道，其中步行道与边垂直，四边形内其他区域铺设草坪．观景台上安装了一盏广角灯，四边形是广角灯夜间开启时灯光所覆盖的区域．
小梧从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，对该广角灯的要求是：照射角为．他想验证该广角灯是否符合要求，于是利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表一所示．
表一
（1）步行道与边是否也垂直？请说明理由；
（2）根据所测得的数据，小梧能否完成验证？若能，请帮小梧完成验证；若不能，请说明理由．（参考数据：近似于1.732）
【答案】（1）垂直，理由见解析
（2）能，验证见解析
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合已知条件，得证，得出，即可作答．
（2）分别根据锐角三角函数得出，，得出，且，证明，则结合（1）的结论，即可作答．
【小问1详解】
解：与也垂直，理由如下：
连接，由测量数据可知，
．
又，
．
．
．
【小问2详解】
解：小梧可以完成验证，过程如下：
过点作，垂足为点．
由数据可知，在中，，
．
．
．
在中，．
．
．
在中与中，
则，且，
．
．
．
即．
由（1）可知，在中，，
．
所以照射角符合要求．
23. 若一个四边形是菱形，它的三个顶点在某抛物线上，且一条对角线在该抛物线的对称轴上，则称该四边形是该抛物线的“正菱形”．
已知抛物线，其中，顶点为．
（1）判断点是否在抛物线上，并说明理由；
（2）若，，是否存在点，使得四边形是拋物线的“正菱形”？若存在，请求出相应的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）不在，理由见解析
（2）存在点，使得四边形是抛物线的“正菱形”，相应的的值为
【解析】
【分析】本题是二次函数综合运用，考查了二次函灵敏的图像和性质，菱形的性质，
（1）当时，，即可求解；
（2）如图，则点、的纵坐标相同，即，得到点、的坐标分别为、，则点的横坐标为，其对称轴为直线，则，即可求解；
掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：点不在抛物线上．
理由：
∵抛物线，其中，
当时，得：
，
由抛物线的定义知：，
∴，
∴，
即，
∴点不在抛物线上；
小问2详解】
存在．
理由：依据题意，画出图像如下，连接，设交于点，
∵四边形是抛物线的“正菱形”，
则，互相垂直且平分，
∵是抛物线的顶点，
又∵菱形的一条对角线在抛物线的对称轴上，
∴点在对称轴上，点，在抛物线上，
∴轴，
∴轴，
∴，
∴，即，
∴、，
∵垂直平分，且在抛物线的对称轴上，
∴，
∵，
∴，
∴抛物线．
∵点在抛物线上，
∴，
解得，（舍去），
∴，，，
∴点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴，，
∵，互相垂直且平分，则，
∴，
∴，
综上所述：存在点，使得四边形是抛物线的“正菱形”，相应的的值为．
24. 是的直径，点在线段的延长线上，射线与相切于点，，连接，扇形的面积为．是线段上的动点，且，连接并延长交射线于点．

（1）请在图中作出四边形，使得且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，交射线于点M，交射线于点，
①当时，判断点与直线的位置关系，并说明理由；
②当时，探究线段之间的数量关系．
【答案】（1）见解析 （2）①点在直线上，理由见解析 ②当时，当时，
【解析】
【分析】（1）根据要求作图即可；
（2）①连接，设的半径为r，根据切线性质，求出，利用扇形面积求出半径，解直角三角形的应用求出，结合中位线性质，平行四边形的判定与性质就可得出，进而得出结论；
②由①知：，四边形是平行四边形，先证出，得到，当点与点重合时，求出，过点作于，设，证明，利用相似三角形性质求出，分情况求解即可．
【小问1详解】
解：四边形即为所求，
【小问2详解】
①连接，设的半径为r．

与相切于点，
．
，
在中，．
扇形的面积为，
．
可得．
是的直径，
．
在中，．
．
，
，即是的中点．
是的中点，
是的中位线．
．
又，，
四边形是平行四边形．
．
过直线外点有且只有一条直线与已知直线平行，
和为同一条线，即点在直线上．
②由（2）①知：，四边形是平行四边形．
在中，．
．
四边形是平行四边形，
，．
．
．
．
，
．
．
．
．
当点与点重合时，
设，则，
，又，
可得．
．
过点作于，设，

在中，
，
．
，
．
．
，即．
可得．
．
所以当时，点D，N重合，此时由，

可得．
当时，点在E，N之间，
，
．
．
当时，点在M，N之间，

，
．
．
综上，当时，；当时，．
【点睛】本题考查了作图——作已知直线的平行线，相等的线段，切线的性质，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，扇形面积的求解，中位线的性质，平行公理的应用等知识，考查的知识点较多，准确熟练的掌握相关性质定理是解题关键．
25. 某实验室在的温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围内的生长速度相同．现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，并通过实验研究其对幼苗生长速度的影响．
研究人员发现，在范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律，且温度越高生长速度增大的幅度越大；但营养素超过一定量，则会抑制幼苗的生长速度．此外，在范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变．经过进一步实验，研究人员获得了两组数据，分别如表二、表三所示．
表二：在下营养素不同的用量所对应的生长速度
表三：在范围内的不同温度下达到最大生长速度平均所需的营养素用量
（1）在下营养素用量从增加到的过程中，该种幼苗的生长速度随之变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式；
（2）请判断实验室在下使用营养素将该种幼苗从培育到，比不使用营养素是否能提前天完成，并说明理由；
（3）请通过合理估计，用一个数学关系式大致描述在范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随营养素用量的增加而增大直至达到最大的规律．
【答案】（1）；
（2）不能，理由见解析；
（3）．
【解析】
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）由表二求出不使用营养素时，该种幼苗的生长速度，进而求出不使用营养素时，该种幼苗从培育到所需的时间，再求出该种幼苗在使用营养素的最大生长速度，求出比不使用营养素提前天生长的高度，与比较即可判断；
（）利用待定系数法解答即可求解；
本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，根据题意，正确求出函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设营养素用量为，该种幼苗的生长速度为，
∵在范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律，
∴可设，
根据表二，函数图象经过，代入可得
，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：不能提前天完成，理由如下：
由表二可知，在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度是天，
∴不使用营养素时，该种幼苗从培育到所需的时间是天，
由表三可知，在下该种幼苗达到最大生长速度平均所需的营养素是，
即，
代入（）中所求函数解析式可得，
即该种幼苗在使用营养素的最大生长速度是天，
此种情况下，该种幼苗在天内的生长高度为
，
∴不能提前天完成；
【小问3详解】
解：设营养素用量为，该种幼苗的生长速度为，
∵在范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律，
∴可设，
∵在的温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围内的生长速度相同，结合表二可知，当时，都有，
∴，
即
∵在范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变，
∴由（）可知，在范围内不同温度下，，
且当取最大值时，在范围内的不同温度下，对应的营养素用量如表三中第二行数据所示，将逐一代入，分别可求得在范围内的不同温度下解析式中相应的的值，如下表所示：
根据表中数据，的值与相应的温度值大致符合关系式为，
，其中，
∴在范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随营养素用量的增加而增大直至达到最大的规律可用关系式表示．
所测的量
长度（m）
15.00
15.00
17.32
17.32
6.00
24.00
营养索用量
该种幼苗的生长速度（/天）
温度（）
该种幼苗达到最大生长速度
平均所需的营养素用量