2024年陕西省韩城市新城区第四初级中学中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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数学试卷
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。全卷共6页，总分120分。考试时间120分钟。
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）。
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效。
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑。
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．据此即可解答．
【详解】解：的绝对值是2，
故选：A．
2. 中国旅游研究院预测，2024年出入境旅游市场的复苏进程将进一步加速，全年出入境旅游人次将超过2.64亿人次．用科学记数法表示264000000，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，正确确定a和n的值是解题关键．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C．
3. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键．
由题意可求得的度数，然后由两直线平行，同位角相等，求得的度数．
【详解】如图，∵把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，
∴，
∵，
∴．
故选C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方等运算法则逐项判断即得答案.
【详解】解：A、，故本选项运算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意；
C、，故本选项运算错误，不符合题意；
D、，故本选项运算正确，符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
5. 一次函数，为常数，且与一次函数关于轴对称，则一次函数的表达式为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数解析式得出与轴交点为，与轴的交点为，根据轴对称的性质得出经过点，，进而待定系数法求解析式即可求解．
【详解】解：一次函数，
当时，，即一次函数与轴的交点为
当时，，即一次函数与轴的交点为
∵关于轴对称的点为，
则经过点，，
∴设该一次函数的图象关于轴对称的解析式为，
∴
解得：
∴一次函数的表达式为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6. 如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于两点，分别以点为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点，连接，过点作直线，交于点，过点作直线，交于点．若，，则四边形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，直角三角形的性质和勾股定理．过P作于M，再判定四边形为菱形，再根据直角三角形的性质和勾股定理求出边长，据此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
过P作于M，

由作图得：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的周长是．
故选：D．
7. 如图，点在上，连接，，，，则的长为（ ）

A. B. C. 8D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了同弧所对的圆周角相等，含角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键得到．
连接，首先根据同弧所对的圆周角相等得到，然后求出，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，连接，

∵，
∴
∵，
∴
∴．
故选：A．
8. 已知抛物线（其中是自变量），满足，且该抛物线与轴仅有一个公共点，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，掌握，抛物线与轴有两个交点；，抛物线与轴有一个交点；，抛物线与轴没有交点是解题关键．根据抛物线与轴有一个交点，得到，再将代入，求出的值，进而得到的值，即可计算求值．
【详解】解：抛物线与轴仅有一个公共点，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：B．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 在实数中，最大的无理数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了无理数以及实数的大小比较，理解无理数的定义是解题关键．先找出实数中的无理数，再根据实数大小比较法则，即可得出答案．
【详解】解：在实数中，无理数有，
，
最大的无理数是，
故答案为：．
10. 因式分解：＝________________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
直接提取公因式m，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
11. 图1叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图1中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图2），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图3）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第四代勾股树图形中正方形的个数为______．
【答案】31
【解析】
【分析】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．由已知图形观察规律，即可得到第四代勾股树中正方形的个数．
【详解】解：第一代勾股树中正方形有个，
第二代勾股树中正方形有个，
第三代勾股树中正方形有个，
∴第四代勾股树中正方形有个，
故答案为：31．
12. 将函数的图象沿轴向下平移3个单位后，与反比例函数为常数，且的图象交于点，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的平移，求反比例函数的解析式，根据平移性质，得点未平移前所对应的点的坐标为，再把代入，求出的值，得到点，再代入反比例函数中，即可作答．
【详解】解：依题意，将函数的图象沿轴向下平移3个单位后，与反比例函数为常数，且的图象交于点，
∴点未平移前所对应点的坐标为，且该点在函数上
故把代入，得
∴
∴把代入，得
故答案为：
13. 如图，在正方形中，是等边三角形，则图中阴影部分（即）的面积为______．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形性质，三角函数等知识点，过E作于G，于H，利用三角函数计算出，进而即可求出的面积即阴影部分的面积，问题即可解决，关键是利用三角函数计算出．
【详解】如图，过E作于G，于H，
正方形的边长是4，为等边三角形，
，
，
，
的面积的面积面积的面积，
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，利用二次根式性质、绝对值的意义，零指数幂的意义等计算即可．
【详解】解：原式
．
15. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无解了”确定不等式组的解集是解答本题的关键．
分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到答案．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组解集为．
16. 化简
【答案】
【解析】
【分析】利用分式约分化简的方法与技巧进行化简计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查分式的混合运算，利用变除为乘、分式加减法则以及分式的约分化简是解题的关键．
17. 尺规作图：如图，已知，，请用尺规作图的方法在上确定一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）．

【答案】作图见详解
【解析】
【分析】根据相似三角形判定方法，作的角平分线即可．
【详解】解：如图所示，作的角平分线交于点，

①以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，连接；
②分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接交于点，则即为的角平分线；
∵，平分，
∴，且，
∴，即．
【点睛】本题主要考查角平分线的作图方法，相似三角形的判定方法，掌握以上知识是解题的关键．
18. 如图，在菱形中，分别为边和上的点，且，连接交于点O．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，先由菱形的性质得到，则，证明，得到．进而证明，可得．
【详解】证明：在菱形中，，
，
在与中，
，
．
．
在与中，
，
．
．
19. 年春晚里，魔术师表演了一个和纸牌相关的魔术，可以说让人大开眼界，实际上隐含了一个数学问题一约瑟夫问题，不仅仅是一场视觉盛宴，更是一次数学知识的传播和实践．春晚结束后，龙龙和春春玩抽扑克牌游戏，如图，他们拿出四张大小、形状和背面完全相同的扑克牌（扑克牌当作数字）．
（1）龙龙将这四张扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上，春春从中随机抽出一张牌，则抽到这张牌的花色是______的可能性最大；
A．红心（） B．梅花（） C．方块（）
（2）春春将这四张扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上，让龙龙随机抽取一张（不放回）记下牌面上的数字，接着春春再从剩下的扑克牌中随机抽取一张，记下牌面上的数字，请用画树状图或列表法求他们抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是偶数的概率．
【答案】（1）A （2）
【解析】
【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是掌握概率的知识，用树状图或者列表法求出所有的结果，进行解答，即可．
（1）根据概率的知识，即可；
（2）用树状图或者列表法求出所有的结果，进行解答，即可．
【小问1详解】
∵张扑克牌中有张红心，一张梅花，一张方块
∴抽到红心为：，抽到梅花为：，抽到方块为：
∴抽到红心的概率最大，
故选：A．
【小问2详解】
树状图如下：
∴共种结果，其中两张扑克牌正面上的数字之和恰好是偶数的结果为：，，，共种；
∴两张扑克牌正面上的数字之和恰好是偶数的概率为：．
20. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定新进一批排球，按进价提高20%后标价．开学前期，商店为了促销，又按标价打九折销售，每个排球仍可获利4元，则这批排球每个的进货价格为多少元？
【答案】50元
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据“按进价提高20%后标价”及“又按标价打九折销售，每个排球仍可获利4元”列出方程，求解即可得出答案．
【详解】解：设这批排球每个的进货价格为元，
根据题意得：，
解得：．
答：这批排球每个的进货价格为50元．
21. 某生物兴趣小组观察甲、乙两种植物生长，得到植物的高度（厘米）与观察时间（天）的函数关系，制作如下的活动报告．
根据以上报告内容，解决下列问题：
（1）根据图象求甲植物的高度与观察时间之间的函数关系式；
（2）在图中画出关于的函数图象，观察图象可知，第______天，甲、乙两种植物高度相同
【答案】21.
22. 图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意设函数表达式为，用待定系数法将代入即可求出表达式；（2）根据（1）中所求的表达式画出一次函数的图像，观察图像即可作答．
【小问1详解】
设与之间的函数关系式为，
将代入，得
解得
甲植物的高度与观察时间之间的函数关系式为
【小问2详解】
由表格可知关于的函数图象过描点作图后，画出图象．
根据图像的交点可知：第天或第天，甲、乙两种植物高度相同．
由于植物不会逆向生长，故答案为第天．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数解析式和数形结合思想的应用．
22. 连霍高速的华州出口处、华州公园西门外有一座由三根立柱和一朵玫瑰花图案组成的雕塑（图1），这是华州区的地标，是华州的象征，也是华州区各种雕塑中最具有代表性的一座，这座雕塑名称为“华彩”，雕塑中间拔地而起的三根立柱代表华州区的悠久历史、灿烂文化和不断腾飞的地方经济如图2，小玲和小亮很想知道华彩雕塑的高度，阳光明媚的一天，他们带着测量工具来到雕塑前进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在D处竖直放置一根2米长的标杆，此时标杆影子末端恰好与雕塑的影子末端重合于点E，其中米．随后，小玲沿的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕塑的顶端A的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点B、D、E、G在同一水平直线上，且均垂直于．求该雕塑的高度．

【答案】22米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用；连接并延长，交于点，则，先根据题意表示出，再根据条件证明即可求解．
【详解】解：如图，连接并延长，交于点，则，

由题意得：，
在中，，
，即．
，
，
，
，
，即，
，
解得．
故该雕塑的高度为22米．
23. 雷锋精神是我们中华民族宝贵的精神财富，它激励着一代又一代的青少年健康成长，促进了社会文明的进步．为进一步弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的雷锋精神，倡导志愿服务理念，树立“学雷锋”的意识，某校组织了“学习雷锋精神，爱心捐款活动”．活动结束后，学生会对本次活动的捐款随机抽取了样本进行统计，并用得到的数据绘制了如下统计图（不完整）
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图，所抽查学生捐款金额的众数是______元，中位数是______元；
（2）求所抽查学生捐款的平均金额；
（3）该校共有1000名学生参与捐款，请你估计该校学生捐款不少于30元的人数
【答案】（1）图见解析，20，20
（2）元
（3）人
【解析】
【分析】（1）先求出所抽查学生总人数，即可求出捐10元的人数，从而补全条形统计图，求出众数和中位数；
（2）根据求平均数的公式计算即可；
（3）利用样本估计总体计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：所抽查学生的总人数为：人；
∴捐10元的人数有：人，
∴补全条形统计图如下：
∴学生捐款金额的众数是20元；
总人数有40人，中位数是第20，21的平均数，
∴中位数是；
【小问2详解】
解：学生捐款的平均金额为：元；
【小问3详解】
解：人，
∴该校共有1000名学生参与捐款，捐款不少于30元的有350人．
【点睛】此题主要考查条形统计图、扇形统计图的制作方法和特点、众数、中位数的意义，以及样本估计总体的统计方法，理解统计图中数量之间的关系是解决问题的关键．
24. 如图，内接于，过的延长线上一点作的切线，交的延长线于点，切点为，连接，若．
（1）求证：；
（2）交于点，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】此题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、一元二次方程等知识，
（1）连接，利用切线的性质和平行线的性质得到，由垂径定理得到，根据弧和圆心角直角的关系即可得到答案；
（2）证明，则，求出的长即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
为的切线，
，
∴，
，
．
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，即，
（负值舍去），
的长为6．
【点睛】此题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、一元二次方程等知识，证明是解题的关键．
25. 小明的爸爸给小明买了一个高级水枪，想测试一下水枪的射程远近．如图，在一个外墙距地面的点和的点处，各设置了一个点，小明站在设置点的正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次尝试时，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到外墙的水平距离为，建立平面直角坐标系，水流的高度与到外墙的水平距离之间的关系如图所示，点在轴上，点在轴上，为地面（水枪到地面的高度忽略不计）．
（1）求小明第一次射水时水流所在抛物线的函数表达式；
（2）待处试射后，小明前进到点（水流从点射出，）处进行第二次试射，若两次试射时，水流所在抛物线的形状完全相同，请判断第二次试射水流能否到达点处，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）不能，理由见解析．
【解析】
【分析】（）根据题意，设顶点式，利用待定系数法将代入即可得到答案；
（）根据题意，设第二次射水时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移个单位得到，当时，判断即可；
本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数表达式和二次函数的平移，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【小问1详解】
依题意顶点坐标为，
∴设小明第一次射水时水流所在抛物线的函数表达式为，
将点代入得，，
解得：，
∴小明第一次射水时水流所在抛物线的函数表达式为：；
【小问2详解】
不能，理由如下，
依题意，小明第二次射水时，水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移个单位得到，
∴小明第二次射水时，水流所在抛物线的函数表达式为：，
令，解得：，
即小明第二次射水时，水流所在抛物线不过，
∴水流不能到达点处．
26. 【观察发现】
（1）如图1，在正方形中，点O为对角线的交点，点为正方形外一动点，且满足，连接．若正方形边长为4，则的最大值为______；
（2）如图2，已知和都是等边三角形，连接，求证：；
【拓展应用】
（3）如图3，某地有一个半径为的半圆形（半圆O）人工湖，其中是半圆的直径，在半圆上（不与重合），现计划在的左侧，规划出一个三角形区域，开发成垂钓中心，要求为入口，并沿修建一笔直的观光桥，根据规划要求观光桥的长度尽可能的长，问的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）4；（2）见解析；（3）存在，
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，圆的基本性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相关性质是解题的关键．
（1）以为直径作，连接，点和点在上，当为直径时，最长即可求解；
（2）通过等边三角形的性质，证明，即可求证；
（3）过点作的垂线并截取点使，如图，以点为圆心，为半径，作半圆， 则点在半圆上运动， 当三点共线时， ，此时长度取到最大值，即可求解．
【详解】解：（1）以为直径作，连接，如图：
∵是正方形，
∴，
又∵，
∴点和点在上，
当在一条直线上时，即为直径时，最长，
∵正方形边长为4，
∴；
（2）∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）过点作的垂线并截取点使，如图，以点为圆心，为半径，作半圆， 则点在半圆上运动，
理由如下：
作，交半圆于点，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即且，
∴当点在上运动时，点在上运动，
连接，当三点不共线时， ，
当三点共线时， ，此时长度取到最大值，
即∶如图中，点在位置时，，
∵，，
∴，，
∴，
即最大值为．项目主题
观察甲、乙两种植物的生长
记录数据
观察时间（天）
…
甲植物的高度（厘米）
…
乙植物的高度（厘米）
…
建立模型
发现植物的高度（厘米）与观察时间（天）之间存在函数关系，关系式为：
甲植物：？
乙植物：？
绘制图象