[数学][期中]湖南省名校联考联合体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份[数学][期中]湖南省名校联考联合体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共6页。试卷主要包含了填写答题卡的内容用2B铅笔填写，提前 xx 分钟收取答题卡等内容，欢迎下载使用。

考试时间：分钟 满分：分
姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、/span>､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）(共8题；共40分)
1. 在中，角所对的边分别为.若 ， 则（ ）
A . 2 B . 4 C . 16 D .
2. 设复数 ， 则复平面内对应的点位于（ ）
A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限
3. 已知点 ， 则与向量共线的单位向量为（ ）
A . B . 或 C . D . 或
4. 如图，已知的半径为4，若劣弧长为 ， 则劣弧所对圆周角的正弦的平方为（ ）
A . B . C . D .
5. 已知矩形的长 ， 宽.点在线段上运动（不与两点重合），则的取值范围是（ ）
A . B . C . D .
6. 设的内角的对边分别为 ， 已知 ， 且 ， 则角（ ）
A . B . C . D .
7. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数.声音的音调､响度､音长和音色等要素都与正弦函数及其参数有关.比如：振幅会影响响度，振幅越大，响度越大，振幅越小，响度越小；频率会影响音调，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.平常我们听到的每个音都是由纯音合成的，可用函数来描述.设某声音甲的函数模型为 ， 纯音乙的函数模型是 ， 结合上述材料进行分析，下列说法正确的是（ ）
A . 函数的图象关于轴对称 B . 函数在区间上单调递减 C . 声音甲的响度一定比纯音乙的响度小 D . 声音甲一定比纯音乙更低沉
8. 如图，已知正方体的棱长为3，点分别在棱上，满足 ， 点在正方体的面内，且平面 ， 则线段长度的最小值为（ ）
A . B . 3 C . D .
二、/span>､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）(共3题；共18分)
9. 下列说法正确的是（ ）
A . 单位向量都相等 B . 非零向量和满足 ， 则与的夹角为 C . 在四边形中， ， 则四边形为平行四边形 D . 若是平面内所有向量的一个基底，则也可以作为平面向量的基底
10. 如图，在三棱柱中， ， 下列结论中正确的有（ ）
A . 平面平面 B . 直线与所成的角的正切值是 C . 三棱锥的外接球的表面积是 D . 该三棱柱各侧面的所有面对角线长的平方和等于它所有棱长的平方和的3倍
11. 已知函数 ， 且在区间上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）
A . B . C . D .
三、/span>､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）(共3题；共15分)
12. 如图，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且 ， 则的边上的高为____________________.
13. 已知 ， 则的大小关系为____________________.（用“<”号表示）
14. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为 ， 则有.已知为的内心，且 ， 若 ， 则的最大值为____________________.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、/span>､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）(共5题；共77分)
15. 设的内角的对边分别为 ， 且.
（1） 求角的大小；
（2） 若 ， 角的平分线交边于 ， 求的值.
16. 已知向量 ， 函数.
（1） 若 ， 求的值；
（2） 已知是锐角三角形，角所对应的边分别为 ， 且 ， 求的取值范围.
17. 如图，在四棱锥中，底面 ， ， 点为棱的中点.
（1） 证明：平面；
（2） 求三棱锥的体积；
（3） 求直线与平面所成角的大小.
18. 城市住宅小区的绿化建设是提升小区品质､改善空气质量､创造美丽怡人的居住环境的重要组成部分.如图1，长沙市某小区居民决定在小区内部一块半径长为的半圆形荒地上建设一块矩形绿化园 ， 其中位于半圆的直径上，位于半圆的圆弧上，记.
（1） 求矩形面积关于的函数解析式，并求该矩形面积的最大值以及取得最大值时的值.
（2） 部分居民提出意见，认为这样的绿化同建设太过单调，一名居住在本小区的设计师提出了如图2的绿化园建设新方案：在半圆的圆弧上取两点 ， 使得 ， 扇形区域和均进行绿化建设，同时，在扇形内，再将矩形区域也全部进行绿化建设，其中分别在直线上，与平行，在扇形的圆弧上，请问：与（1）中的原方案相比，选择哪一种方案所得到的绿化面积的最大值更大？
19. 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数.其中，双曲余弦函数： ， 双曲正弦函数： ， 双曲正切函数：.
（1） 写出函数的单调区间，并求它的值域；
（2） 若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3） 已知 ， ， ， 点为的内心，求点的横坐标. 题号
一
二
三
四
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