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2022-2023学年广东省深圳市福田区八年级（上）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年广东省深圳市福田区八年级（上）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数中，无理数是（ ）
A．B．3.14C．D．
2．（3分）下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6
3．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠E＝30°，则∠C等于（ ）
A．30°B．40°C．60°D．70°
5．（3分）若m，n是两个连续的整数且，则m+n＝（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人测试10次，射箭成绩的平均数都是8.8环，方差分别为S甲2＝0.65，S乙2＝0.45，S丙2＝0.55，S丁2＝0.50，则射箭成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．（3分）下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．如果∠1＝∠2，那么∠1与∠2是对顶角
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．两直线平行，同旁内角相等
D．等角的余角相等
8．（3分）下列图象中，是一次函数y＝kx+b（其中k＞0，b＜0）的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）在《九章算术》中记载一道这样的题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各需带多少钱？设甲需带钱x，乙带钱y，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）公路旁依次有A，B，C三个村庄，小明和小红骑自行车分别从A村、B村同时出发匀速前往C村（到了C村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，l1，l2分别表示小明和小红与B村的距离s（km）和骑行时间t（h）之间的函数关系，下列结论：
①A，B两村相距12km；
②小明每小时比小红多骑行8km；
③出发1.5h后两人相遇；
④图中a＝1.65．
其中正确的是（ ）
A．②④B．①③④C．①②③D．①②③④
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）81的平方根是 ．
12．（3分）点P（﹣3，2）到x轴的距离是 ．
13．（3分）已知是方程2x﹣y+k＝1的解，则k＝ ．
14．（3分）直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是 ．
15．（3分）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AO上，将△ABC沿BC所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为 ．
三、解答题（本题共7小题，其中16题8分，17题6分，18，19，20，21题各8分，22题9分，共55分）
16．（8分）计算：
（1）﹣（π﹣3）0；
（2）．
17．（6分）解方程组．
18．（8分）深圳某学校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次有 名初中学生接受调查，图①中m的值为 ；
（2）接受调查的学生每天在校体育活动时间的众数是 h，中位数是 h；
（3）求接受调查学生每天在校体育活动时间的平均数．
19．（8分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形），点B的坐标是（﹣2，0）．
（1）点A的坐标是 ，点C的坐标是 ；
（2）请作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′（点A与点A′对应，点B与点B′对应，点C与点C′对应）：
（3）y轴上存在点P，使得PA+PC的值最小，则点P的坐标是 ．
20．（8分）如图，已知点D是△ABC中BC边上的一点，DE⊥AC于点E，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若AF＝3，AB＝4，求BF的长．
21．（8分）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：
（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？
（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
22．（9分）如图①，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值．
2022-2023学年广东省深圳市福田区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）下列各数中，无理数是（ ）
A．B．3.14C．D．
【答案】A
【分析】根据有理数和无理数的定义即可判断．
【解答】解：是无理数的是﹣，
是有理数的是3.14，，．
故选：A．
【点评】本题考查了实数的分类，掌握有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数是关键．
2．（3分）下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6
【答案】C
【分析】利用勾股定理的逆定理进行计算即可求解．
【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不合题意；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
3．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用二次根式的加减、二次根式的乘除运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A．+无法合并，故此选项符合题意；
B．×＝，故此选项不合题意；
C．÷＝，故此选项不合题意；
D．＝3，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
4．（3分）如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠E＝30°，则∠C等于（ ）
A．30°B．40°C．60°D．70°
【答案】B
【分析】根据平行线的性质得出∠A＝∠EFD，再根据三角形的外角性质求出∠C即可．
【解答】解：AE与CD交于F点，
∵AB∥CD，∠A＝70°，
∴∠EFD＝70°，
∵∠E＝30°，
∴∠C＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，关键是求出∠EFD的度数和求出∠EFD＝∠A．
5．（3分）若m，n是两个连续的整数且，则m+n＝（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】先估算出的值的范围，从而求出m，n的值，然后代入式子中，进行计算即可解答．
【解答】解：∵9＜14＜16，
∴3＜＜4，
∵m，n是两个连续的整数且，
∴m＝3，n＝4，
∴m+n＝3+4＝7，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
6．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人测试10次，射箭成绩的平均数都是8.8环，方差分别为S甲2＝0.65，S乙2＝0.45，S丙2＝0.55，S丁2＝0.50，则射箭成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁四人谁的方差最小，则谁的成绩最稳定．
【解答】解：∵S甲2＝0.65，S乙2＝0.45，S丙2＝0.55，S丁2＝0.50，
乙的方差最小，
∴射箭成绩最稳定的是：乙．
故选：B．
【点评】此题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．在解题时要能根据方差的意义和本题的实际，得出正确结论是本题的关键．
7．（3分）下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．如果∠1＝∠2，那么∠1与∠2是对顶角
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．两直线平行，同旁内角相等
D．等角的余角相等
【答案】D
【分析】利用对顶角的定义、三角形的外角的性质、平行线的性质及余角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、如果∠1＝∠2，那么∠1与∠2是对顶角，错误，是假命题，不符合题意；
B、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意；
D、等角的余角相等，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．
8．（3分）下列图象中，是一次函数y＝kx+b（其中k＞0，b＜0）的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数y＝kx+b中k＞0，b＜0可得出函数图象经过的象限，进而可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b中k＞0，b＜0，
∴函数图象经过一、三、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
9．（3分）在《九章算术》中记载一道这样的题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各需带多少钱？设甲需带钱x，乙带钱y，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设甲需带钱x，乙带钱y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半＝50，乙的钱+甲所有钱的＝50，据此列方程组可得．
【解答】解：设甲需带钱x，乙带钱y，
根据题意，得：，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
10．（3分）公路旁依次有A，B，C三个村庄，小明和小红骑自行车分别从A村、B村同时出发匀速前往C村（到了C村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，l1，l2分别表示小明和小红与B村的距离s（km）和骑行时间t（h）之间的函数关系，下列结论：
①A，B两村相距12km；
②小明每小时比小红多骑行8km；
③出发1.5h后两人相遇；
④图中a＝1.65．
其中正确的是（ ）
A．②④B．①③④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
A，B两村相距12km，故①正确，符合题意；
小明的速度为：12÷0.6＝20（km/h），小红的速度为：33÷2.75＝12（km/h），
则小明每小时比小红多骑行20﹣12＝8（km/h），故②正确，符合题意；
设出发m h后两人相遇，
则20（m﹣0.6）＝12m，
解得m＝1.5，
即出发1.5h后两人相遇，故③正确，符合题意；
a＝0.6+33÷20＝2.25，故④错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）81的平方根是 ±9 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接根据平方根的定义填空即可．
【解答】解：∵（±9）2＝81，
∴81的平方根是±9．
故答案为：±9；
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12．（3分）点P（﹣3，2）到x轴的距离是 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答．
【解答】解：点P（﹣3，2）到x轴的距离是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
13．（3分）已知是方程2x﹣y+k＝1的解，则k＝ 0 ．
【答案】0．
【分析】将代入原方程，可得出关于k的一元一次方程，解之即可求出k的值．
【解答】解：将代入原方程得2×2﹣3+k＝1，
解得：k＝0，
∴k的值为0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．
14．（3分）直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是 （1，0） ．
【答案】（1，0）．
【分析】利用一次函数平移规律，上加下减进而得出平移后函数解析式，再求出图象与坐标轴交点即可．
【解答】解：直线y＝2x﹣4沿y轴向上平移2个单位，
则平移后直线解析式为：y＝2x﹣4+2＝2x﹣2，
当y＝0时，则x＝1，
故平移后直线与x轴的交点坐标为：（1，0）．
故答案为：（1，0）．
【点评】此题主要考查了一次函数平移变换，正确记忆一次函数平移规律是解题关键．
15．（3分）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AO上，将△ABC沿BC所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为 （﹣，0） ．
【答案】（﹣，0）．
【分析】先求出AB两点的坐标，故可得出AB的长，再由轴对称的性质得出BD＝AB，故可得出D点坐标，进而可得出结论．
【解答】解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，
∴A（﹣4，0），B（0，﹣3），
∴AB＝＝5，
∵将△ABC沿BC所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，
∴BD＝AB＝5，
∴D（0，2）．
∵将△ABC沿BC所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，
∴点D在线段AD的垂直平分线上，
∴AC＝CD，
设AC＝CD＝x，则OC＝4﹣x，OD＝2，
∴OD2+OC2＝CD2，即22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，
∴OC＝4﹣＝，
∴D（﹣，0）．
故答案为：（﹣，0）．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及轴对称的性质，根据题意得出A、B两点的坐标是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，其中16题8分，17题6分，18，19，20，21题各8分，22题9分，共55分）
16．（8分）计算：
（1）﹣（π﹣3）0；
（2）．
【答案】（1）﹣2；
（2）﹣．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简、零指数幂的性质化简，进而计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质、二次根式的乘法运算法则化简，进而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣1
＝﹣1
＝﹣1﹣1
＝﹣2；
（2）原式＝+3×﹣3
＝+﹣3
＝﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
17．（6分）解方程组．
【答案】见试题解答内容
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：，
由②得：x＝2y+4③，
把③代入①，得2（2y+4）+y＝3，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入③，得x＝2，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．（8分）深圳某学校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次有 40 名初中学生接受调查，图①中m的值为 25 ；
（2）接受调查的学生每天在校体育活动时间的众数是 1.5 h，中位数是 1.5 h；
（3）求接受调查学生每天在校体育活动时间的平均数．
【答案】（1）40，25；
（2）1.5；1.5；
（3）1.5小时．
【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生人数，进而求得m的值；
（2）根据统计图中的数据可以求得这组数据的平均数和众数、中位数；
（3）利用加权平均数公式可求得这组数据的平均数．
【解答】解：（1）本次接受调查的初中学生人数为：4÷10%＝40，
m%＝＝25%，
故答案为：40，25；
（2）由条形统计图得，4个0.9，8个1.2，15个1.5，10个1.8，3个2.1，
∴1.5出现的次数最多，15次，
∴众数是1.5h，
第20个数和第21个数都是1.5，
∴中位数是1.5h；
故答案为：1.5；1.5；
（3）（0.9×4+1.2×8+1.5×15+1.8×10+2.1×3）＝1.5（小时），
答：接受调查学生每天在校体育活动时间的平均数为1.5小时．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图和利用样本估计总体．
19．（8分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形），点B的坐标是（﹣2，0）．
（1）点A的坐标是 （﹣5，4） ，点C的坐标是 （﹣1，2） ；
（2）请作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′（点A与点A′对应，点B与点B′对应，点C与点C′对应）：
（3）y轴上存在点P，使得PA+PC的值最小，则点P的坐标是 （0，） ．
【答案】（1）A（﹣5，4），C（﹣1，2）；
（2）作图见解析部分；
（3）作图见解析部分，（0，）．
【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）分别作出A，B，C关于x轴的对称点A′，B′，C′即可；
（3）作点C关于y轴的对称点C1，连接AC1交y轴于点P，连接CP，此时PC+PA的值最小，再求出直线AC1的解析式，可得点P的坐标．
【解答】解：（1）如图，A（﹣5，4），C（﹣1，2）．
故答案为：（﹣5，4），（﹣1，2）；
（2）如图，△A′B′C′即为所求；
（3）如图，点P即为所求．
∵A（﹣5，4），C1（1，2），
∴直线AC1的解析式为y＝﹣x+，
∴点P的坐标是（0，）．
故答案为：（0，）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
20．（8分）如图，已知点D是△ABC中BC边上的一点，DE⊥AC于点E，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若AF＝3，AB＝4，求BF的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【分析】（1）根据平行线的判定方法可得FG∥CB，由平行线的性质即可得出∠1＝∠3，再根据∠1+∠2＝180°，即可得到∠2+∠3＝180°，进而判定DE∥BF；
（2）根据平行线的性质可得∠BFC＝∠DEC＝90°，再根据勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵∠AGF＝∠ABC，
∴FG∥CB，
∴∠1＝∠3，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴DE∥BF；
（2）解：∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠BFA＝∠DEA＝90°，
∵AF＝3，AB＝4，
∴BF＝＝＝．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，以及勾股定理，解题时，要注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
21．（8分）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：
（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？
（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
【答案】（1）购进A种多媒体20套，B种多媒体30套；
（2）购进A种多媒体10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意可以写出利润与m的函数关系式，然后根据m的取值范围和一次函数的性质，可以求得利润的最大值．
【解答】解：（1）设购进A种多媒体a套，B种多媒体b套，
由题意可得：，
解得，
答：购进A种多媒体20套，B种多媒体30套；
（2）设利润为w元，
由题意可得：w＝（3.3﹣3）m+（2.8﹣2.4）×（50﹣m）＝﹣0.1m+20，
∴w随m的增大而减小，
∵10≤m≤20，
∴当m＝10时，w取得最大值，此时w＝19，
答：购进A种多媒体10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
22．（9分）如图①，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值．
【答案】（1）C（2，﹣4）；y＝2x﹣8；
（2）点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣14）；
（3）m的值为4或6或3．
【分析】（1）将点C的坐标代入直线y＝﹣2x可得出a的值，即得C点坐标，再用待定系数法求直线AB的表达式即可；
（2）设点P的坐标为（0，p），根据△PBC的面积为6求解即可；
（3）分三种情况：①当BC＝BQ时，过点C作CM⊥y轴于M，过点Q作QN⊥y轴于N，②当BC＝CQ时，过点C作CM⊥y轴于M，延长MC交直线l于N，③当BQ＝CQ时，过点C作CM⊥直线l于M，过点B作BN⊥直线l于N，分别利用全等三角形的判定和性质列出方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点C（a，﹣4）在直线y＝﹣2x上，
∴﹣2a＝﹣4，
解得a＝2，
∴C（2，﹣4），
将A（4，0），C（2，﹣4）代入直线y＝kx+b，得：
，
解得，
∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣8；
（2）设点P的坐标为（0，p），
∵直线AB的解析式为：y＝2x﹣8，
∴B（0，﹣8），
∴BP＝|p+8|，
∵△PBC的面积为6，C（2，﹣4），
∴S△PBC＝×2|p+8|＝6，
∴p＝﹣2或﹣14，
∴点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣14）；
（3）存在，
以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况：
①当BC＝BQ时，过点C作CM⊥y轴于M，过点Q作QN⊥y轴于N，
∴∠BMC＝∠QNB＝90°，
∴∠CBM+∠BCM＝90°，
∵∠QBC＝90°，
∴∠CBM+∠QBN＝90°，
∴∠BCM＝∠QBN，
∵BC＝BQ，
∴△BCM≌△QBN（AAS），
∴QN＝BM，BN＝CM，
∵B（0，﹣8），C（2，﹣4），
BM＝4，CM＝2，
∴QN＝BM＝4，
∴m＝4；
②当BC＝CQ时，过点C作CM⊥y轴于M，延长MC交直线l于N，
同理：△BCM≌△CQN（AAS），
∴QN＝CM＝2，BM＝CN＝4，
∴MN＝MC+CN＝6
∴m＝6；
③当BQ＝CQ时，过点C作CM⊥直线l于M，过点B作BN⊥直线l于N，
同理：△QCM≌△BQN（AAS），
∴QN＝CM，BN＝QM，
设Q（m，t），
∵B（0，﹣8），C（2，﹣4），
∴CM＝m﹣2，BN＝m，MN＝8﹣4＝4，QN＝t+8，QM＝﹣4﹣t，
∴，解得
∴m＝3；
综上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，m的值为4或6或3．
【点评】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键．
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B
进价（万元/套）
3
2.4
售价（万元/套）
3.3
2.8
A
B
进价（万元/套）
3
2.4
售价（万元/套）
3.3
2.8
1．（3分）下列各数中，无理数是（ ）
A．B．3.14C．D．
2．（3分）下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6
3．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠E＝30°，则∠C等于（ ）
A．30°B．40°C．60°D．70°
5．（3分）若m，n是两个连续的整数且，则m+n＝（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人测试10次，射箭成绩的平均数都是8.8环，方差分别为S甲2＝0.65，S乙2＝0.45，S丙2＝0.55，S丁2＝0.50，则射箭成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．（3分）下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．如果∠1＝∠2，那么∠1与∠2是对顶角
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．两直线平行，同旁内角相等
D．等角的余角相等
8．（3分）下列图象中，是一次函数y＝kx+b（其中k＞0，b＜0）的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）在《九章算术》中记载一道这样的题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各需带多少钱？设甲需带钱x，乙带钱y，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）公路旁依次有A，B，C三个村庄，小明和小红骑自行车分别从A村、B村同时出发匀速前往C村（到了C村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，l1，l2分别表示小明和小红与B村的距离s（km）和骑行时间t（h）之间的函数关系，下列结论：
①A，B两村相距12km；
②小明每小时比小红多骑行8km；
③出发1.5h后两人相遇；
④图中a＝1.65．
其中正确的是（ ）
A．②④B．①③④C．①②③D．①②③④
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）81的平方根是 ．
12．（3分）点P（﹣3，2）到x轴的距离是 ．
13．（3分）已知是方程2x﹣y+k＝1的解，则k＝ ．
14．（3分）直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是 ．
15．（3分）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AO上，将△ABC沿BC所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为 ．
三、解答题（本题共7小题，其中16题8分，17题6分，18，19，20，21题各8分，22题9分，共55分）
16．（8分）计算：
（1）﹣（π﹣3）0；
（2）．
17．（6分）解方程组．
18．（8分）深圳某学校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次有 名初中学生接受调查，图①中m的值为 ；
（2）接受调查的学生每天在校体育活动时间的众数是 h，中位数是 h；
（3）求接受调查学生每天在校体育活动时间的平均数．
19．（8分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形），点B的坐标是（﹣2，0）．
（1）点A的坐标是 ，点C的坐标是 ；
（2）请作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′（点A与点A′对应，点B与点B′对应，点C与点C′对应）：
（3）y轴上存在点P，使得PA+PC的值最小，则点P的坐标是 ．
20．（8分）如图，已知点D是△ABC中BC边上的一点，DE⊥AC于点E，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若AF＝3，AB＝4，求BF的长．
21．（8分）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：
（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？
（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
22．（9分）如图①，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值．
2022-2023学年广东省深圳市福田区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）下列各数中，无理数是（ ）
A．B．3.14C．D．
【答案】A
【分析】根据有理数和无理数的定义即可判断．
【解答】解：是无理数的是﹣，
是有理数的是3.14，，．
故选：A．
【点评】本题考查了实数的分类，掌握有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数是关键．
2．（3分）下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6
【答案】C
【分析】利用勾股定理的逆定理进行计算即可求解．
【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不合题意；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
3．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用二次根式的加减、二次根式的乘除运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A．+无法合并，故此选项符合题意；
B．×＝，故此选项不合题意；
C．÷＝，故此选项不合题意；
D．＝3，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
4．（3分）如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠E＝30°，则∠C等于（ ）
A．30°B．40°C．60°D．70°
【答案】B
【分析】根据平行线的性质得出∠A＝∠EFD，再根据三角形的外角性质求出∠C即可．
【解答】解：AE与CD交于F点，
∵AB∥CD，∠A＝70°，
∴∠EFD＝70°，
∵∠E＝30°，
∴∠C＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，关键是求出∠EFD的度数和求出∠EFD＝∠A．
5．（3分）若m，n是两个连续的整数且，则m+n＝（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】先估算出的值的范围，从而求出m，n的值，然后代入式子中，进行计算即可解答．
【解答】解：∵9＜14＜16，
∴3＜＜4，
∵m，n是两个连续的整数且，
∴m＝3，n＝4，
∴m+n＝3+4＝7，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
6．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人测试10次，射箭成绩的平均数都是8.8环，方差分别为S甲2＝0.65，S乙2＝0.45，S丙2＝0.55，S丁2＝0.50，则射箭成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁四人谁的方差最小，则谁的成绩最稳定．
【解答】解：∵S甲2＝0.65，S乙2＝0.45，S丙2＝0.55，S丁2＝0.50，
乙的方差最小，
∴射箭成绩最稳定的是：乙．
故选：B．
【点评】此题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．在解题时要能根据方差的意义和本题的实际，得出正确结论是本题的关键．
7．（3分）下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．如果∠1＝∠2，那么∠1与∠2是对顶角
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．两直线平行，同旁内角相等
D．等角的余角相等
【答案】D
【分析】利用对顶角的定义、三角形的外角的性质、平行线的性质及余角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、如果∠1＝∠2，那么∠1与∠2是对顶角，错误，是假命题，不符合题意；
B、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意；
D、等角的余角相等，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．
8．（3分）下列图象中，是一次函数y＝kx+b（其中k＞0，b＜0）的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数y＝kx+b中k＞0，b＜0可得出函数图象经过的象限，进而可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b中k＞0，b＜0，
∴函数图象经过一、三、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
9．（3分）在《九章算术》中记载一道这样的题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各需带多少钱？设甲需带钱x，乙带钱y，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设甲需带钱x，乙带钱y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半＝50，乙的钱+甲所有钱的＝50，据此列方程组可得．
【解答】解：设甲需带钱x，乙带钱y，
根据题意，得：，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
10．（3分）公路旁依次有A，B，C三个村庄，小明和小红骑自行车分别从A村、B村同时出发匀速前往C村（到了C村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，l1，l2分别表示小明和小红与B村的距离s（km）和骑行时间t（h）之间的函数关系，下列结论：
①A，B两村相距12km；
②小明每小时比小红多骑行8km；
③出发1.5h后两人相遇；
④图中a＝1.65．
其中正确的是（ ）
A．②④B．①③④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
A，B两村相距12km，故①正确，符合题意；
小明的速度为：12÷0.6＝20（km/h），小红的速度为：33÷2.75＝12（km/h），
则小明每小时比小红多骑行20﹣12＝8（km/h），故②正确，符合题意；
设出发m h后两人相遇，
则20（m﹣0.6）＝12m，
解得m＝1.5，
即出发1.5h后两人相遇，故③正确，符合题意；
a＝0.6+33÷20＝2.25，故④错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）81的平方根是 ±9 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接根据平方根的定义填空即可．
【解答】解：∵（±9）2＝81，
∴81的平方根是±9．
故答案为：±9；
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12．（3分）点P（﹣3，2）到x轴的距离是 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答．
【解答】解：点P（﹣3，2）到x轴的距离是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
13．（3分）已知是方程2x﹣y+k＝1的解，则k＝ 0 ．
【答案】0．
【分析】将代入原方程，可得出关于k的一元一次方程，解之即可求出k的值．
【解答】解：将代入原方程得2×2﹣3+k＝1，
解得：k＝0，
∴k的值为0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．
14．（3分）直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是 （1，0） ．
【答案】（1，0）．
【分析】利用一次函数平移规律，上加下减进而得出平移后函数解析式，再求出图象与坐标轴交点即可．
【解答】解：直线y＝2x﹣4沿y轴向上平移2个单位，
则平移后直线解析式为：y＝2x﹣4+2＝2x﹣2，
当y＝0时，则x＝1，
故平移后直线与x轴的交点坐标为：（1，0）．
故答案为：（1，0）．
【点评】此题主要考查了一次函数平移变换，正确记忆一次函数平移规律是解题关键．
15．（3分）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AO上，将△ABC沿BC所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为 （﹣，0） ．
【答案】（﹣，0）．
【分析】先求出AB两点的坐标，故可得出AB的长，再由轴对称的性质得出BD＝AB，故可得出D点坐标，进而可得出结论．
【解答】解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，
∴A（﹣4，0），B（0，﹣3），
∴AB＝＝5，
∵将△ABC沿BC所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，
∴BD＝AB＝5，
∴D（0，2）．
∵将△ABC沿BC所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，
∴点D在线段AD的垂直平分线上，
∴AC＝CD，
设AC＝CD＝x，则OC＝4﹣x，OD＝2，
∴OD2+OC2＝CD2，即22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，
∴OC＝4﹣＝，
∴D（﹣，0）．
故答案为：（﹣，0）．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及轴对称的性质，根据题意得出A、B两点的坐标是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，其中16题8分，17题6分，18，19，20，21题各8分，22题9分，共55分）
16．（8分）计算：
（1）﹣（π﹣3）0；
（2）．
【答案】（1）﹣2；
（2）﹣．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简、零指数幂的性质化简，进而计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质、二次根式的乘法运算法则化简，进而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣1
＝﹣1
＝﹣1﹣1
＝﹣2；
（2）原式＝+3×﹣3
＝+﹣3
＝﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
17．（6分）解方程组．
【答案】见试题解答内容
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：，
由②得：x＝2y+4③，
把③代入①，得2（2y+4）+y＝3，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入③，得x＝2，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．（8分）深圳某学校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次有 40 名初中学生接受调查，图①中m的值为 25 ；
（2）接受调查的学生每天在校体育活动时间的众数是 1.5 h，中位数是 1.5 h；
（3）求接受调查学生每天在校体育活动时间的平均数．
【答案】（1）40，25；
（2）1.5；1.5；
（3）1.5小时．
【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生人数，进而求得m的值；
（2）根据统计图中的数据可以求得这组数据的平均数和众数、中位数；
（3）利用加权平均数公式可求得这组数据的平均数．
【解答】解：（1）本次接受调查的初中学生人数为：4÷10%＝40，
m%＝＝25%，
故答案为：40，25；
（2）由条形统计图得，4个0.9，8个1.2，15个1.5，10个1.8，3个2.1，
∴1.5出现的次数最多，15次，
∴众数是1.5h，
第20个数和第21个数都是1.5，
∴中位数是1.5h；
故答案为：1.5；1.5；
（3）（0.9×4+1.2×8+1.5×15+1.8×10+2.1×3）＝1.5（小时），
答：接受调查学生每天在校体育活动时间的平均数为1.5小时．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图和利用样本估计总体．
19．（8分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形），点B的坐标是（﹣2，0）．
（1）点A的坐标是 （﹣5，4） ，点C的坐标是 （﹣1，2） ；
（2）请作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′（点A与点A′对应，点B与点B′对应，点C与点C′对应）：
（3）y轴上存在点P，使得PA+PC的值最小，则点P的坐标是 （0，） ．
【答案】（1）A（﹣5，4），C（﹣1，2）；
（2）作图见解析部分；
（3）作图见解析部分，（0，）．
【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）分别作出A，B，C关于x轴的对称点A′，B′，C′即可；
（3）作点C关于y轴的对称点C1，连接AC1交y轴于点P，连接CP，此时PC+PA的值最小，再求出直线AC1的解析式，可得点P的坐标．
【解答】解：（1）如图，A（﹣5，4），C（﹣1，2）．
故答案为：（﹣5，4），（﹣1，2）；
（2）如图，△A′B′C′即为所求；
（3）如图，点P即为所求．
∵A（﹣5，4），C1（1，2），
∴直线AC1的解析式为y＝﹣x+，
∴点P的坐标是（0，）．
故答案为：（0，）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
20．（8分）如图，已知点D是△ABC中BC边上的一点，DE⊥AC于点E，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若AF＝3，AB＝4，求BF的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【分析】（1）根据平行线的判定方法可得FG∥CB，由平行线的性质即可得出∠1＝∠3，再根据∠1+∠2＝180°，即可得到∠2+∠3＝180°，进而判定DE∥BF；
（2）根据平行线的性质可得∠BFC＝∠DEC＝90°，再根据勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵∠AGF＝∠ABC，
∴FG∥CB，
∴∠1＝∠3，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴DE∥BF；
（2）解：∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠BFA＝∠DEA＝90°，
∵AF＝3，AB＝4，
∴BF＝＝＝．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，以及勾股定理，解题时，要注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
21．（8分）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：
（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？
（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
【答案】（1）购进A种多媒体20套，B种多媒体30套；
（2）购进A种多媒体10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意可以写出利润与m的函数关系式，然后根据m的取值范围和一次函数的性质，可以求得利润的最大值．
【解答】解：（1）设购进A种多媒体a套，B种多媒体b套，
由题意可得：，
解得，
答：购进A种多媒体20套，B种多媒体30套；
（2）设利润为w元，
由题意可得：w＝（3.3﹣3）m+（2.8﹣2.4）×（50﹣m）＝﹣0.1m+20，
∴w随m的增大而减小，
∵10≤m≤20，
∴当m＝10时，w取得最大值，此时w＝19，
答：购进A种多媒体10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
22．（9分）如图①，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值．
【答案】（1）C（2，﹣4）；y＝2x﹣8；
（2）点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣14）；
（3）m的值为4或6或3．
【分析】（1）将点C的坐标代入直线y＝﹣2x可得出a的值，即得C点坐标，再用待定系数法求直线AB的表达式即可；
（2）设点P的坐标为（0，p），根据△PBC的面积为6求解即可；
（3）分三种情况：①当BC＝BQ时，过点C作CM⊥y轴于M，过点Q作QN⊥y轴于N，②当BC＝CQ时，过点C作CM⊥y轴于M，延长MC交直线l于N，③当BQ＝CQ时，过点C作CM⊥直线l于M，过点B作BN⊥直线l于N，分别利用全等三角形的判定和性质列出方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点C（a，﹣4）在直线y＝﹣2x上，
∴﹣2a＝﹣4，
解得a＝2，
∴C（2，﹣4），
将A（4，0），C（2，﹣4）代入直线y＝kx+b，得：
，
解得，
∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣8；
（2）设点P的坐标为（0，p），
∵直线AB的解析式为：y＝2x﹣8，
∴B（0，﹣8），
∴BP＝|p+8|，
∵△PBC的面积为6，C（2，﹣4），
∴S△PBC＝×2|p+8|＝6，
∴p＝﹣2或﹣14，
∴点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣14）；
（3）存在，
以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况：
①当BC＝BQ时，过点C作CM⊥y轴于M，过点Q作QN⊥y轴于N，
∴∠BMC＝∠QNB＝90°，
∴∠CBM+∠BCM＝90°，
∵∠QBC＝90°，
∴∠CBM+∠QBN＝90°，
∴∠BCM＝∠QBN，
∵BC＝BQ，
∴△BCM≌△QBN（AAS），
∴QN＝BM，BN＝CM，
∵B（0，﹣8），C（2，﹣4），
BM＝4，CM＝2，
∴QN＝BM＝4，
∴m＝4；
②当BC＝CQ时，过点C作CM⊥y轴于M，延长MC交直线l于N，
同理：△BCM≌△CQN（AAS），
∴QN＝CM＝2，BM＝CN＝4，
∴MN＝MC+CN＝6
∴m＝6；
③当BQ＝CQ时，过点C作CM⊥直线l于M，过点B作BN⊥直线l于N，
同理：△QCM≌△BQN（AAS），
∴QN＝CM，BN＝QM，
设Q（m，t），
∵B（0，﹣8），C（2，﹣4），
∴CM＝m﹣2，BN＝m，MN＝8﹣4＝4，QN＝t+8，QM＝﹣4﹣t，
∴，解得
∴m＝3；
综上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，m的值为4或6或3．
【点评】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键．
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