2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练2常用逻辑用语

这是一份2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练2常用逻辑用语，共5页。

一、选择题
1．[2024·新课标Ⅱ卷]已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x.则( )
A．p和q都是真命题
B．¬p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题
D．¬p和¬q都是真命题
答案：B
解析：对于命题p，当x＝－1时，|x＋1|＝0<1，所以p是假命题，¬p是真命题．对于命题q，若x3＝x，则x＝－1，0，1，所以满足“∃x>0，x3＝x”，故q是真命题，¬q是假命题．故选B.
2．[2023·全国甲卷(理)]设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cs β＝0，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：B
解析：甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cs2β，等价于sinα＝±cs β，所以由甲不能推导出sin α＋cs β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cs β＝0，得sin α＝－cs β，平方可得sin2α＝cs2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．综上，选B.
3．[2024·福建泉州模拟]在等比数列{an}中，公比为q.已知a1＝1，则0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：an＝qn－1，
当0所以数列{an}单调递减，故充分性成立，
若数列{an}单调递减，则0< eq \f(an＋1,an)<1，即0所以0故选C.
4．设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由x2－5x<0可得05．设命题p：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R；q：0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：当a＝0时，不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R；
当a≠0时，由不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R知，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝4a2－4a<0，))得0∴当0≤a<1时不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R，
即p：0≤a<1，又(0，1)[0，1).
∴p是q的必要不充分条件．
6．已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝lgmx在(0，＋∞)上为减函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由y＝2x＋m－1＝0，得m＝1－2x，由函数y＝2x＋m－1有零点，则m<1，由函数y＝lgmx在(0，＋∞)上是减函数，得07．设p：|x－a|>3，q：(x＋1)(2x－1)≥0，若¬p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－4，\f(7,2)))
B．(－∞，－4]∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，＋∞))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，\f(7,2)))
D．(－∞，－4)∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，＋∞))
答案：B
解析：p：xa＋3，q：x≤－1或x≥ eq \f(1,2)，
¬p：a－3≤x≤a＋3.
因为¬p是q的充分不必要条件，
所以a＋3≤－1或a－3≥ eq \f(1,2)，
得a∈(－∞，－4]∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，＋∞)).
8．已知A，B，C为不共线的三点，则“| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))|”是“△ABC为直角三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))|两边平方得到 eq \(AB,\s\up6(→))2＋ eq \(AC,\s\up6(→))2＋2 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))2＋ eq \(AC,\s\up6(→))2－2 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))，得 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝0，即 eq \(AB,\s\up6(→))⊥ eq \(AC,\s\up6(→))，故△ABC为直角三角形，充分性成立；若△ABC为直角三角形，当∠B或∠C为直角时，| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))|≠| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))|，必要性不成立．故选A.
9．(多选)下列命题说法错误的是( )
A．∃x∈R，ex≤0
B．∀x∈R，2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是 eq \f(a,b)＝－1
D．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1
答案：ABC
解析：根据指数函数的性质可得ex>0，故A错误；x＝2时，2x>x2不成立，故B错误；当a＝b＝0时， eq \f(a,b)没有意义，故C错误；因为“x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1”的逆否命题为“x，y都小于等于1，则x＋y≤2”，是真命题，所以原命题为真命题，故D正确．故选ABC.
二、填空题
10．关于函数f(x)＝sin x＋ eq \f(1,sin x)有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称．
②f(x)的图象关于原点对称．
③f(x)的图象关于直线x＝ eq \f(π,2)对称．
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________．
答案：②③
解析：要使函数f(x)＝sin x＋ eq \f(1,sin x)有意义，则有sin x≠0，∴x≠kπ，k∈Z，∴定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝sin (－x)＋ eq \f(1,sin （－x）)＝－sin x－ eq \f(1,sin x)＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x＋\f(1,sin x)))＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称，
∴①是假命题，②是真命题．
对于③，要证f(x)的图象关于直线x＝ eq \f(π,2)对称，只需证f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x)).
∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＋ eq \f(1,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x)))
＝cs x＋ eq \f(1,cs x)，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＋ eq \f(1,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x)))
＝cs x＋ eq \f(1,cs x)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))，
∴③是真命题．
令sin x＝t，－1≤t≤1且t≠0，∴g(t)＝t＋ eq \f(1,t)，－1≤t≤1且t≠0，此函数图象如图所示(对勾函数图象的一部分)，∴函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
∴函数的最小值不为2，即f(x)的最小值不为2.∴④是假命题．
综上所述，所有真命题的序号是②③.
11．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg (x－a)的定义域为集合B.“若x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．
答案：(－∞，－3]
解析：由x2＋x－6<0得－3即：A＝(－3，2)，
由x－a>0，得x>a，即：B＝(a，＋∞)，
由题意得(－3，2)(a，＋∞)，∴a≤－3.
12．已知p： eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(x－1,3)))≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分而不必要条件，则m的取值范围为________.
答案：[9，＋∞)
解析：由 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(x－1,3)))≤2，得－2≤x≤10，
由x2－2x＋1－m2≤0得1－m≤x≤1＋m，
设p，q表示的范围为集合P，Q，则
P＝{x|－2≤x≤10}，
Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．
因为p是q的充分而不必要条件，所以PQ.
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m>0，,1－m≤－2，,1＋m≥10，))解得m≥9.
[能力提升]
13．(多选)若“存在x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ可能是( )
A． eq \f(3,2) B．2 eq \r(2) C．3 D． eq \f(9,2)
答案：AB
解析：因为“存在x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，所以对任意x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，2x2－λx＋1≥0恒成立，即2x＋ eq \f(1,x)≥λ对任意x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))恒成立．因为2x＋ eq \f(1,x)≥2 eq \r(2)(当且仅当x＝ eq \f(\r(2),2)时，等号成立)，所以λ≤2 eq \r(2).故选AB.
14．[2024·天津卷]设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：a3＝b3⇔a＝b，若a＝b，则3a＝3b，若3a＝3b，则a＝b，所以“a3＝b3”是“3a＝3b”的充分必要条件，故选C.
15．[2023·新课标Ⅰ卷]设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：C
解析：若{an}为等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋ eq \f(n（n－1）,2)d，所以 eq \f(Sn,n)＝a1＋(n－1)· eq \f(d,2)，所以 eq \f(Sn＋1,n＋1)－ eq \f(Sn,n)＝a1＋(n＋1－1)· eq \f(d,2)－[a1＋(n－1)· eq \f(d,2)]＝ eq \f(d,2)，为常数，所以{ eq \f(Sn,n)}为等差数列，即甲⇒乙；若{ eq \f(Sn,n)}为等差数列，设其公差为t，则 eq \f(Sn,n)＝ eq \f(S1,1)＋(n－1)t＝a1＋(n－1)t，所以Sn＝na1＋n(n－1)t，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t，当n＝1时，S1＝a1也满足上式，所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N*)，所以an＋1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－[a1＋2(n－1)t]＝2t，为常数，所以{an}为等差数列，即甲⇐乙．所以甲是乙的充要条件，故选C.
16．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
答案：[0，3]
解析：由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10.
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
又∵S≠∅，如图所示．
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m≤1＋m,1－m≥－2,1＋m≤10))，∴0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3].