2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练8函数的奇偶性与周期性

这是一份2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练8函数的奇偶性与周期性，共5页。

一、选择题
1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝－x3
C．y＝－lg |x| D．y＝2x
答案：C
2．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．f(x)|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|g(x)是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
答案：B
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg2x，则f(－8)＝( )
A．3 B． eq \f(1,3)
C．－ eq \f(1,3) D．－3
答案：D
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－8)＝－f(8)＝－lg28＝－3.
4．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝( )
A．－ eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,4)
C． eq \f(1,4) D． eq \f(1,2)
答案：A
解析：∵f(x)为奇函数且周期为2，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－2× eq \f(1,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝－ eq \f(1,2).
5．[2024·广西桂林测试]定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝3x，则( )
A．f(－1)＝f(2) B．f(－1)＝f(4)
C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3))) D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝f(4)
答案：C
解析：∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，又f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)＝31＝3，∴f(2)＝f(0)＝1，∴f(4)＝f(0)＝1，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝ eq \r(3)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝ eq \r(3,3)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3))).
6．函数f(x)为奇函数，定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(2 016)＋f(2 017)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
答案：D
解析：∵f(x＋2)为偶函数，∴f(2＋x)＝f(2－x)，
又f(x)为奇函数，∴f(－x＋2)＝－f(x－2)，
∴f(x＋2)＝－f(x－2)，∴f(x＋4)＝－f(x)，
∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以8为周期的周期函数，
∵f(0)＝0，∴f(2 016)＝f(0)＝0，f(2 017)＝f(1)＝1，
∴f(2 016)＋f(2 017)＝0＋1＝1.
7．[2023·全国乙卷(理)]已知f(x)＝ eq \f(xex,eax－1)是偶函数，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案：D
解析：方法一 f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即 eq \f(xex,eax－1)＝ eq \f(－xe－x,e－ax－1)，即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x，即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2，故选D.
方法二 f(x)＝ eq \f(xex,eax－1)＝ eq \f(x,e（a－1）x－e－x)，f(x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2，故选D.
8．(多选)[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则( )
A．f(0)＝0
B．f(1)＝0
C．f(x)是偶函数
D．x＝0为f(x)的极小值点
答案：ABC
解析：取x＝y＝0，则f(0)＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确；由于f(0)＝0，且函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f(x)的极小值点，也可能为函数f(x)的极大值点，也可能不是函数f(x)的极值点，故D不正确．综上，选ABC.
9．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝ eq \f(2a－3,a＋1)，则实数a的取值范围为( )
A．(－1，4) B．(－2，0)
C．(－1，0) D．(－1，2)
答案：A
解析：∵f(x)是周期为3的偶函数，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)＝ eq \f(2a－3,a＋1)，
又f(1)<1，∴ eq \f(2a－3,a＋1)<1，得－1二、填空题
10．[2021·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．
答案：1
解析：因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a·2x－2－x))，
故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＝－x3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a·2－x－2x))，
因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))为偶函数，故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，
即x3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a·2x－2－x))＝－x3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a·2－x－2x))，整理得到 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2－x))＝0，故a＝1.
11．[2023·全国甲卷(理)]若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋ eq \f(π,2))为偶函数，则a＝________．
答案：2
解析：方法一 因为f(x)为偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，即(－x－1)2－ax＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(π,2)))＝(x－1)2＋ax＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，
得a＝2.
方法二 因为f(x)为偶函数，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－1)) eq \s\up12(2)－ eq \f(π,2)a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－1)) eq \s\up12(2)＋ eq \f(π,2)a，得a＝2.
12．若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．
答案：－ eq \f(1,2) ln 2
解析：本题先采用特殊值法求出f(x)，再检验正确性．
因为f(x)为奇函数，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（0）＝0，,f（2）＋f（－2）＝0，))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ln |a＋1|＋b＝0 ①，,ln |a－1|＋ln \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,3)))＋2b＝0 ②.))
由①可得－b＝ln |a＋1| ③.将③代入②可得， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(（a－1）（a＋\f(1,3)）))＝|a＋1|2.当(a－1)(a＋ eq \f(1,3))＝(a＋1)2时，解得a＝－ eq \f(1,2).把a＝－ eq \f(1,2)代入①，可得b＝ln 2，此时f(x)＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(1,1－x)))＋ln 2＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,1－x)))，所以f(－x)＋f(x)＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＋ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,1－x)))＝ln 1＝0，所以f(x)为奇函数，且f(0)，f(2)，f(－2)均有意义．当(a－1)(a＋ eq \f(1,3))＝－(a＋1)2时，整理可得a2＋ eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,3)＝0，此时Δ＝ eq \f(4,9)－4× eq \f(1,3)<0，所以a无解．综上可得，a＝－ eq \f(1,2)，b＝ln 2.
[能力提升]
13．[2023·新课标Ⅱ卷]若f(x)＝(x＋a)ln eq \f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则a＝( )
A．－1 B．0
C． eq \f(1,2) D．1
答案：B
解析：方法一 设g(x)＝ln eq \f(2x－1,2x＋1)，易知g(x)的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，且g(－x)＝ln eq \f(－2x－1,－2x＋1)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝－ln eq \f(2x－1,2x＋1)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln eq \f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B.
方法二 因为f(x)＝(x＋a)ln eq \f(2x－1,2x＋1)为偶函数，f(－1)＝(a－1)ln 3，f(1)＝(a＋1)ln eq \f(1,3)＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0，故选B.
14．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则 eq \i\su(k＝1,22,)f(k)＝( )
A．－21 B．－22
C．－23 D．－24
答案：D
解析：若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，则g(2－x)＝g(2＋x).因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(－x)＋g(2＋x)＝5，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．由g(2)＝4，f(0)＋g(2)＝5，得f(0)＝1.由g(x)－f(x－4)＝7，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5，得f(x)＋f(－x－2)＝－2，所以f(x)的图象关于点(－1，－1)中心对称，所以f(1)＝f(－1)＝－1.由f(x)＋f(－x－2)＝－2，f(－x)＝f(x)，得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)为周期函数，且周期为4.由f(0)＋f(2)＝－2，得f(2)＝－3.又因为f(3)＝f(－1)＝f(1)＝－1，所以f(4)＝－2－f(2)＝1，所以 eq \i\su(k＝1,22,)f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D.
15．[2024·惠州一中测试]已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4，8]，当x10恒成立；
②f(x＋4)＝－f(x)；
③y＝f(x＋4)是偶函数．
若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 017)，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A．aC．a答案：B
解析：由①知函数f(x)在区间[4，8]上为单调递增函数；由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，所以c＝f(2 017)＝f(252×8＋1)＝f(1)，b＝f(11)＝f(3)；由③可知函数f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(1)＝f(7).因为函数f(x)在区间[4，8]上为单调递增函数，所以f(5)16．(多选)[2022·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x).若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－2x))，g(2＋x)均为偶函数，则( )
A．f(0)＝0 B．g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0
C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)
答案：BC
解析：因为f( eq \f(3,2)－2x)，g(2＋x)均为偶函数，所以f( eq \f(3,2)－2x)＝f( eq \f(3,2)＋2x)，g(2＋x)＝g(2－x).令t＝ eq \f(3,2)－2x，则x＝ eq \f(3,4)－ eq \f(t,2)，所以f(t)＝f(3－t)，即f(x)＝f(3－x).对两边求导，得f′(x)＝－f′(3－x)，即g(x)＋g(3－x)＝0，所以g(x)的图象关于点( eq \f(3,2)，0)对称，即g( eq \f(3,2))＝0.又因为g(2＋x)＝g(2－x)，所以g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(x)的周期为4×(2－ eq \f(3,2))＝2，所以g( eq \f(3,2))＝g(－ eq \f(1,2))＝0，所以B正确．因为f′(2＋x)＝f′(2－x)，所以f(2＋x)＝－f(2－x)＋C，其中C为常数，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝C，所以f(x)的图象关于点(2， eq \f(C,2))对称．又因为f(x)＝f(3－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝ eq \f(3,2)对称，所以f(x)的周期为4×(2－ eq \f(3,2))＝2，所以f(－1)＝f(1)，f(4)＝f(2).又因为f(x)＝f(3－x)，所以f(1)＝f(2)，所以f(－1)＝f(4)，所以C正确．g(x)的图象不关于直线x＝ eq \f(1,2)对称，所以D错误．因为f(0)＝f(2)＝ eq \f(C,2)，所以当C＝0时，f(0)＝0，当C≠0时，f(0)≠0，所以A错误．故选BC.