2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练15导数的概念及运算

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一、选择题
1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)＝( )
A．2 B．0
C．－2 D．－4
答案：D
解析：∵f(x)＝2xf′(1)＋x2，
∴f′(x)＝2f′(1)＋2x，
∴f′(1)＝2f′(1)＋2，
∴f′(1)＝－2，
∴f(x)＝－4x＋x2，
∴f′(x)＝－4＋2x，
∴f′(0)＝－4.
2．已知函数f(x)＝g(x)＋2x且曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
答案：B
解析：∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2.∵函数f(x)＝g(x)＋2x，∴f′(x)＝g′(x)＋2＝g′(1)＋2，∴f′(1)＝2＋2＝4，即曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为4.故选B.
3．已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
答案：D
解析：因为y′＝aex＋ln x＋1，所以当x＝1时，y′＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ae＋1＝2，,b＝－1，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝e－1,b＝－1.))
4．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝( )
A．26 B．29 C．212 D．215
答案：C
解析：∵函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，
∴f′(x)＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，∴f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.
5．设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
答案：D
解析：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，∴a－1＝0，得a＝1，∴f(x)＝x3＋x，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x，故选D.
6．已知曲线y＝ eq \f(x2,4)－3ln x的一条切线的斜率为－ eq \f(1,2)，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2 C．1 D． eq \f(1,2)
答案：B
解析：令y′＝ eq \f(2x,4)－ eq \f(3,x)＝－ eq \f(1,2)，解得x＝－3(舍去)或x＝2.故切点的横坐标为2，故选B.
7．f′(x)是f(x)＝sin x＋a cs x的导函数，且f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝ eq \f(\r(2),4)，则实数a的值为( )
A． eq \f(2,3) B． eq \f(1,2) C． eq \f(3,4) D．1
答案：B
解析：∵f′(x)＝cs x－a sin x，∴f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝ eq \f(\r(2),2)－ eq \f(\r(2),2)a＝ eq \f(\r(2),4)，得a＝ eq \f(1,2).
8．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与二次曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a等于( )
A．－2 B．0
C．1 D．8
答案：D
解析：由y＝x＋ln x，得y′＝1＋ eq \f(1,x)，
∴当x＝1时，y′＝2，∴切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x－1，,y＝ax2＋（a＋2）x＋1，))
得ax2＋ax＋2＝0，
由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≠0，,Δ＝a2－8a＝0，))得a＝8.
9．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对于任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
答案：B
解析：设g(x)＝f(x)－2x－4，
g′(x)＝f′(x)－2，
由题意得g′(x)>0恒成立，
∴g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
又g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，
又f(x)>2x＋4等价于g(x)>0，
∴原不等式的解为x>－1.
二、填空题
10．已知物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s＝ eq \f(1,2)t3－t，则当t＝2时，该物体的瞬时速度为________．
答案：5
解析：由题知s′＝ eq \f(3,2)t2－1，故当t＝2时，该物体的瞬时速度为 eq \f(3,2)×22－1＝5.
11．已知函数f(x)＝ex ln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．
答案：e
解析：f′(x)＝ex·ln x＋ eq \f(ex,x)，∴f′(1)＝e.
12．若曲线y＝e－x在点P处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，则点P的坐标是________．
答案：(－ln 2，2)
解析：∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，
设P(x0，y0)，由题意得－e－x0＝－2，
∴e－x0＝2，∴－x0＝ln 2，x0＝－ln 2，
∴P(－ln 2，2).
[能力提升]
13．函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
答案：B
解析：f′(x)＝4x3－6x2，则f′(1)＝－2，易知f(1)＝－1，由点斜式可得函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.
14．(多选)已知函数f(x)＝－x3＋2x2－x，若过点P(1，t)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则t的取值可以是( )
A．0 B． eq \f(1,27) C． eq \f(1,28) D． eq \f(1,29)
答案：CD
解析：∵f(x)＝－x3＋2x2－x，∴f′(x)＝－3x2＋4x－1.
由已知得，过点P(1，t)作曲线y＝f(x)的三条切线，情况如下：
①点P(1，t)在曲线上，此时切点为P(1，t)，把P点坐标代入函数解析式可得P(1，0)，利用切线公式得y＝f′(1)(x－1)，所以切线为x轴，但此时切线只有一条，不符合题意．
②点P(1，t)不在曲线上，设切点为(x0，y0)，又切线经过点P(1，t)，所以切线方程为y－t＝f′(x0)(x－1).
因为切线经过切点，所以y0－t＝(－3x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋4x0－1)(x0－1).
又因为切点在曲线上，所以y0＝－x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(0)) ＋2x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －x0.
化简得t＝2x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(0)) －5x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋4x0－1.
令g(x)＝2x3－5x2＋4x－1，即t＝g(x)有三个解，即直线y＝t与y＝g(x)的图象有三个交点．
令g′(x)＝6x2－10x＋4＝2(x－1)(3x－2)＝0，可得两极值点为x1＝1，x2＝ eq \f(2,3).
所以x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(2,3)))和(1，＋∞)时，g(x)单调递增，x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))时，g(x)单调递减，
所以当g(1)＝0＜t＜ eq \f(1,27)＝g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))时，满足直线y＝t与y＝g(x)的图象有三个交点，而0＜ eq \f(1,29)＜ eq \f(1,28)＜ eq \f(1,27)，故选CD.
15．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝(x－1)ex＋3e的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则直线l的横截距为________．
答案：－2
解析：因为f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，所以切线l的斜率为f′(1)＝e，由f(1)＝3e知切点坐标为(1，3e)，所以切线l的方程为y－3e＝e(x－1).令y＝0，解得x＝－2，故直线l的横截距为－2.
16．[2022·新高考Ⅰ卷]若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．
答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析：设切线的切点坐标为(x0，y0).令f(x)＝(x＋a)ex，则f′(x)＝(x＋1＋a)ex，f′(x0)＝(x0＋1＋a)ex0.因为y0＝(x0＋a)ex0，切线过原点，所以f′(x0)＝ eq \f(y0,x0)，即(x0＋1＋a)·ex0＝ eq \f(（x0＋a）ex0,x0).整理，得x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋ax0－a＝0.由题意知该方程有两个不同的实数根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0.