2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练23平面向量的概念及其线性运算

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一、选择题
1．给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|，且a∥b.其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．①② C．③④ D．②④
答案：A
解析：当|a|＝|b|时，a与b的方向不确定，故①不正确；对于②，∵A，B，C，D是不共线的点为大前提， eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))⇔ABCD为平行四边形，故②正确；③显然正确；对于④由于当|a|＝|b|且a∥b时a与b的方向可能相反，此时a≠b，故|a|＝|b|且a∥b是a＝b的必要不充分条件，故④不正确．
2．设非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．|a|＝|b| B．a∥b
C．|a|>|b| D．a⊥b
答案：D
解析：由|a＋b|＝|a－b|的几何意义可知，以a、b为邻边的平行四边形为矩形，故a⊥b.
3．[2022·新高考Ⅰ卷，3]在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记 eq \(CA,\s\up6(→))＝m， eq \(CD,\s\up6(→))＝n，则 eq \(CB,\s\up6(→))＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
答案：B
解析：因为BD＝2DA，所以 eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋3 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋3( eq \(CD,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→)))＝－2 eq \(CA,\s\up6(→))＋3 eq \(CD,\s\up6(→))＝－2m＋3n.故选B.
4．在等腰梯形ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→))＝－2 eq \(CD,\s\up6(→))，M为BC的中点，则 eq \(AM,\s\up6(→))＝( )
A． eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)) B． eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))
C． eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(AD,\s\up6(→)) D． eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(3,4) eq \(AD,\s\up6(→))
答案：B
解析：∵M为BC的中点，
∴ eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)))
＝ eq \f(1,2)( eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→)))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))，
又 eq \(AB,\s\up6(→))＝－2 eq \(CD,\s\up6(→))，∴ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))，
∴ eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)).
5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， eq \(CO,\s\up6(→))＝λ( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→)))，则实数λ＝( )
A．－ eq \f(1,2) B． eq \f(1,2)
C．2 D．－2
答案：A
解析：由平行四边形法则可知，
eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))，
又O为AC与BD的交点，
∴ eq \(AC,\s\up6(→))＝－2 eq \(CO,\s\up6(→))，
∴ eq \(CO,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→)))，∴λ＝－ eq \f(1,2).
6．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2 eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→))＝0，则 eq \(OC,\s\up6(→))＝( )
A．2 eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→))
B．－ eq \(OA,\s\up6(→))＋2 eq \(OB,\s\up6(→))
C． eq \f(2,3) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→))
D．－ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(OB,\s\up6(→))
答案：A
解析：∵2 eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→))＝0，∴2( eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))＋( eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→)))＝0，得 eq \(OC,\s\up6(→))＝2 eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→))，故选A.
7．在四边形ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b， eq \(BC,\s\up6(→))＝－4a－b， eq \(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
答案：C
解析：∵ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2 eq \(BC,\s\up6(→))，∴ eq \(AD,\s\up6(→))∥ eq \(BC,\s\up6(→))且| eq \(AD,\s\up6(→))|＝2| eq \(BC,\s\up6(→))|，∴四边形ABCD为梯形．
8．已知平面内一点P及△ABC，若 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))，则点P与△ABC的位置关系是( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上
D．点P在△ABC内部
答案：C
解析：∵ eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(PB,\s\up6(→))－ eq \(PA,\s\up6(→))，
∴ eq \(PC,\s\up6(→))＝－2 eq \(PA,\s\up6(→))，∴点P在线段AC上．
9．[2024·河北省六校联考]已知点O是△ABC内一点，且满足 eq \(OA,\s\up6(→))＋2 eq \(OB,\s\up6(→))＋m eq \(OC,\s\up6(→))＝0， eq \f(S△AOB,S△ABC)＝ eq \f(4,7)，则实数m的值为( )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
答案：D
解析：由 eq \(OA,\s\up6(→))＋2 eq \(OB,\s\up6(→))＝－m eq \(OC,\s\up6(→))得， eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(OB,\s\up6(→))＝－ eq \f(m,3) eq \(OC,\s\up6(→))，如图，设－ eq \f(m,3) eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(OD,\s\up6(→))，则 eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(OB,\s\up6(→))＝ eq \(OD,\s\up6(→))，∴A，B，D三点共线，∴ eq \(OC,\s\up6(→))与 eq \(OD,\s\up6(→))反向共线，m>0，∴ eq \f(|\(OD,\s\up6(→))|,|\(OC,\s\up6(→))\(|,\s\up6( )) )＝ eq \f(m,3)，∴ eq \f(|\(OD,\s\up6(→))|,|\(CD,\s\up6(→))\(|,\s\up6( )) )＝ eq \f(\f(m,3),\f(m,3)＋1)＝ eq \f(m,m＋3)，∴ eq \f(S△AOB,S△ABC)＝ eq \f(|\(OD,\s\up6(→))|,|\(CD,\s\up6(→))\(|,\s\up6( )) )＝ eq \f(m,m＋3)＝ eq \f(4,7)，解得m＝4.故选D.
二、填空题
10．已知不共线向量a，b， eq \(AB,\s\up6(→))＝ta－b(t∈R)， eq \(AC,\s\up6(→))＝2a＋3b，若A，B，C三点共线，则实数t＝________．
答案：－ eq \f(2,3)
解析：因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使得 eq \(AB,\s\up6(→))＝k eq \(AC,\s\up6(→))，所以ta－b＝k(2a＋3b)＝2ka＋3kb，即(t－2k)a＝(3k＋1)b，因为a，b不共线，所以t－2k＝0，3k＋1＝0，解得k＝－ eq \f(1,3)，t＝－ eq \f(2,3).
11．在△OAB中，点C满足 eq \(AC,\s\up6(→))＝－4 eq \(CB,\s\up6(→))， eq \(OC,\s\up6(→))＝x eq \(OA,\s\up6(→))＋y eq \(OB,\s\up6(→))，则y－x＝________．
答案： eq \f(5,3)
解析：根据向量加法的三角形法则得到 eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4)( eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))，化简得到 eq \(OC,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(4,3) eq \(OB,\s\up6(→))，所以x＝－ eq \f(1,3)，y＝ eq \f(4,3)，则y－x＝ eq \f(4,3)＋ eq \f(1,3)＝ eq \f(5,3).
12.
如图所示，已知 eq \(AB,\s\up6(→))＝2 eq \(BC,\s\up6(→))， eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b， eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则c＝________(用a，b表示).
答案： eq \f(3,2)b－ eq \f(1,2)a
解析：∵ eq \(AB,\s\up6(→))＝2 eq \(BC,\s\up6(→))，∴ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))＝2( eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→))).
∴ eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \f(3,2) eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))，
即c＝ eq \f(3,2)b－ eq \f(1,2)a.
[能力提升]
13．已知点P是△ABC所在平面内一点，且满足3 eq \(PA,\s\up6(→))＋5 eq \(PB,\s\up6(→))＋2 eq \(PC,\s\up6(→))＝0，已知△ABC的面积为6，则△PAC的面积为( )
A． eq \f(9,2) B．4 C．3 D． eq \f(12,5)
答案：C
解析：∵3 eq \(PA,\s\up6(→))＋5 eq \(PB,\s\up6(→))＋2 eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
∴3( eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→)))＋2( eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→)))＝0，
取AB的中点D，BC的中点E，连接PD，PE，则 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＝2 eq \(PD,\s\up6(→))， eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝2 eq \(PE,\s\up6(→))，
∴3 eq \(PD,\s\up6(→))＋2 eq \(PE,\s\up6(→))＝0，
∴D、P、E三点共线，∴P到AC的距离为B到AC的距离h的一半，
∵S△ABC＝ eq \f(1,2)AC·h＝6，
∴S△PAC＝ eq \f(1,2)AC× eq \f(h,2)＝ eq \f(1,2)×6＝3.
14．(多选)[2024·湖南省四校摸底调研联考]在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AD，BE，CF交于点G，则( )
A． eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(CA,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))
B． eq \(BE,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))
C． eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(FC,\s\up6(→))
D． eq \(GA,\s\up6(→))＋ eq \(GB,\s\up6(→))＋ eq \(GC,\s\up6(→))＝0
答案：BCD
解析：如图，因为点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，所以 eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(CB,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))，故A不正确； eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CE,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(CA,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)( eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→)))＝ eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))，故B正确； eq \(FC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→))＋ eq \(FA,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(FA,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(FE,\s\up6(→))＋ eq \(FA,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(FB,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＋ eq \(FA,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))，故C正确；由题意知，点G为△ABC的重心，所以 eq \(AG,\s\up6(→))＋ eq \(BG,\s\up6(→))＋ eq \(CG,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(BE,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(CF,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)× eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))＋ eq \f(2,3)× eq \f(1,2)( eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→)))＋ eq \f(2,3)× eq \f(1,2)( eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→)))＝0，即 eq \(GA,\s\up6(→))＋ eq \(GB,\s\up6(→))＋ eq \(GC,\s\up6(→))＝0，故D正确．故选BCD.
15．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且 eq \(BC,\s\up6(→))＝a， eq \(CA,\s\up6(→))＝b，给出下列命题：① eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)a－b；② eq \(BE,\s\up6(→))＝a＋ eq \f(1,2)b；③ eq \(CF,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b；④ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＋ eq \(CF,\s\up6(→))＝0.其中正确命题的序号为________．
答案：②③④
解析：∵ eq \(BC,\s\up6(→))＝a， eq \(CA,\s\up6(→))＝b， eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)a－b，故①不正确；对于②， eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(CA,\s\up6(→))＝a＋ eq \f(1,2)b，故②正确；对于③， eq \(CF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2)(－a＋b)＝－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b，故③正确；对于④， eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＋ eq \(CF,\s\up6(→))＝－b－ eq \f(1,2)a＋a＋ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)b－ eq \f(1,2)a＝0，故④正确，故正确的有②③④.
16．在△ABC中， eq \(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若 eq \(AP,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,11) eq \(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为________．
答案： eq \f(5,11)
解析：∵N，P，B三点共线，
∴ eq \(AP,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,11) eq \(AC,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(6,11) eq \(AN,\s\up6(→))，
∴m＋ eq \f(6,11)＝1，∴m＝ eq \f(5,11).