2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练26正弦定理余弦定理及解三角形

这是一份2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练26正弦定理余弦定理及解三角形，共4页。
一、选择题
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝ eq \r(2)，b＝ eq \r(3)，B＝ eq \f(π,3)，则A＝( )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(5,6)π C． eq \f(π,4) D． eq \f(π,4)或 eq \f(3,4)π
答案：C
解析：由正弦定理得 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，∴sin A＝ eq \f(a sin B,b)＝ eq \f(\r(2)×\f(\r(3),2),\r(3))＝ eq \f(\r(2),2)，又a1，∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝ eq \r(7)，则角C＝( )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,4) C． eq \f(π,3) D． eq \f(π,2)
答案：C
解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cs C，
得cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(4＋9－7,2×2×3)＝ eq \f(1,2)，又C为△ABC内角，∴C＝ eq \f(π,3).
4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为( )
A． eq \f(1,2) B．1 C． eq \r(3) D．2
答案：C
解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cs A，又a2＝b2＋c2－bc，∴2cs A＝1，cs A＝ eq \f(1,2)，∴sin A＝ eq \r(1－cs2A)＝ eq \f(\r(3),2)，∴S△ABC＝ eq \f(1,2)bc sinA＝ eq \f(1,2)×4× eq \f(\r(3),2)＝ eq \r(3).
5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若b sin A＝3c sin B，a＝3，cs B＝ eq \f(2,3)，则b＝( )
A.14 B．6 C． eq \r(14) D． eq \r(6)
答案：D
解析：∵b sin A＝3c sin B，由正弦定理得ab＝3bc，∴a＝3c，又a＝3，∴c＝1，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cs B＝9＋1－2×3× eq \f(2,3)＝6，∴b＝ eq \r(6).
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cs C＋c cs B＝a sin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案：B
解析：∵b cs C＋c cs B＝a sin A，∴sin B cs C＋sin C cs B＝sin2A，∴sinA＝1，又A为△ABC的内角，∴A＝90°，∴△ABC为直角三角形．
7．钝角三角形ABC的面积是 eq \f(1,2)，AB＝1，BC＝ eq \r(2)，则AC＝( )
A．5 B． eq \r(5) C．2 D．1
答案：B
解析：∵S△ABC＝ eq \f(1,2)AB×BC×sin B＝ eq \f(\r(2),2)sin B＝ eq \f(1,2)，∴sin B＝ eq \f(\r(2),2)，若B＝45°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs 45°＝1＋2－2× eq \r(2)× eq \f(\r(2),2)＝1，则AC＝1，则AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不合题意；当B＝135°时，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cs 135°＝1＋2＋2× eq \r(2)× eq \f(\r(2),2)＝5，∴AC＝ eq \r(5).
8．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
A．50 eq \r(2) m B．50 eq \r(3) m
C．25 eq \r(2) m D． eq \f(25\r(2),2) m
答案：A
解析：由正弦定理得 eq \f(AC,sin B)＝ eq \f(AB,sin C)，
∴AB＝ eq \f(AC·sin C,sin B)＝ eq \f(50×\f(\r(2),2),sin （180°－45°－105°）)＝50 eq \r(2).
9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ eq \f(9,4)ac，则sin A＋sin C＝( )
A． eq \f(3,2) B． eq \r(2)
C． eq \f(\r(7),2) D． eq \f(\r(3),2)
答案：C
解析：∵b2＝ eq \f(9,4)ac，∴由正弦定理可得sin2B＝ eq \f(9,4)sinA sin C．
∵B＝60°，∴sin B＝ eq \f(\r(3),2)，∴ eq \f(3,4)＝ eq \f(9,4)sin A sin C，∴sin A sin C＝ eq \f(1,3).由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cs B＝a2＋c2－ac，将b2＝ eq \f(9,4)ac代入整理得，a2＋c2＝ eq \f(13,4)ac，∴由正弦定理得sin2A＋sin2C＝ eq \f(13,4)sinA sin C，则(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝ eq \f(13,4)sin A sin C＋2sin A sin C＝ eq \f(21,4)sin A sin C＝ eq \f(21,4)× eq \f(1,3)＝ eq \f(7,4)，∴sin A＋sin C＝ eq \f(\r(7),2)或－ eq \f(\r(7),2)(舍).故选C.
二、填空题
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则B＝________．
答案： eq \f(2,3)π
解析：由(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac得a2＋c2－b2＋ac＝0.
由余弦定理得cs B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝－ eq \f(1,2)，又B为△ABC的内角，∴B＝ eq \f(2,3)π.
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝a cs B，①则A＝________；②若sin C＝ eq \f(1,3)，则cs (π＋B)＝________．
答案：①90° ②－ eq \f(1,3)
解析：①∵c＝a·cs B，∴c＝a· eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，得a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°；②∵cs B＝cs (π－A－C)＝sin C＝ eq \f(1,3).∴cs (π＋B)＝－cs B＝－sin C＝－ eq \f(1,3).
12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝ eq \r(6)，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________．
答案：2
解析：方法一 由余弦定理得cs 60°＝ eq \f(AC2＋4－6,2×2AC)，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋ eq \r(3).又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以 eq \f(1,2)×2AC sin 60°＝ eq \f(1,2)×2AD sin 30°＋ eq \f(1,2)AC×AD sin 30°，所以AD＝ eq \f(2\r(3)AC,AC＋2)＝ eq \f(2\r(3)×（1＋\r(3)）,3＋\r(3))＝2.
方法二 由角平分线定理得 eq \f(BD,AB)＝ eq \f(CD,AC)，又BD＋CD＝ eq \r(6)，所以BD＝ eq \f(2\r(6),AC＋2)，CD＝ eq \f(\r(6)AC,AC＋2).由角平分线长公式得AD2＝AB×AC－BD×CD＝2AC－ eq \f(12AC,（AC＋2）2)，又由方法一知AC＝1＋ eq \r(3)，所以AD2＝2＋2 eq \r(3)－ eq \f(12×（1＋\r(3)）,（3＋\r(3)）2)＝2＋2 eq \r(3)－(2 eq \r(3)－2)＝4，所以AD＝2.
[能力提升]
13．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝8，b