2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练45椭圆

这是一份2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练45椭圆，共6页。
一、选择题
1．椭圆 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,6)＝1上一点M到其中一个焦点的距离为3，则点M到另一个焦点的距离为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：D
解析：∵a＝4，由椭圆的定义知，M到另一个焦点的距离为2a－3＝2×4－3＝5.
2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆 eq \f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长为( )
A．2 eq \r(3) B．4 eq \r(3)
C．6 D．12
答案：B
解析：由椭圆的方程得a＝ eq \r(3).设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4 eq \r(3).
3．[2024·九省联考]椭圆 eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的离心率为 eq \f(1,2)，则a＝( )
A． eq \f(2\r(3),3) B． eq \r(2)
C． eq \r(3) D．2
答案：A
解析：由题意得e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(a2－1),a)＝ eq \f(1,2)，解得a＝ eq \f(2\r(3),3).故选A.
4．已知F1，F2是椭圆C： eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12
C．9 D．6
答案：C
解析：由题，a2＝9，b2＝4，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2))＝2a＝6，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))· eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2))≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2)),2)))2＝9(当且仅当 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2))＝3时，等号成立).故选C.
5．已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,4)＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2)
C． eq \f(\r(2),2) D． eq \f(2\r(2),3)
答案：C
解析：由题可知椭圆的焦点落在x轴上，c＝2，
∴a2＝4＋c2＝8，∴a＝2 eq \r(2)，∴e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(2,2\r(2))＝ eq \f(\r(2),2).
6．[2023·新课标Ⅰ卷]设椭圆C1： eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，C2： eq \f(x2,4)＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝ eq \r(3)e1，则a＝( )
A． eq \f(2\r(3),3) B． eq \r(2)
C． eq \r(3) D． eq \r(6)
答案：A
解析：方法一 由已知得e1＝ eq \f(\r(a2－1),a)，e2＝ eq \f(\r(4－1),2)＝ eq \f(\r(3),2)，因为e2＝ eq \r(3)e1，所以 eq \f(\r(3),2)＝ eq \r(3)× eq \f(\r(a2－1),a)，得a＝ eq \f(2\r(3),3).故选A.
方法二 若a＝ eq \f(2\r(3),3)，则e1＝ eq \f(\r(a2－1),a)＝ eq \f(\r(（\f(2\r(3),3)）2－1),\f(2\r(3),3))＝ eq \f(1,2)，又e2＝ eq \f(\r(3),2)，所以e2＝ eq \r(3)e1，所以a＝ eq \f(2\r(3),3)符合题意．故选A.
7．[2023·全国甲卷(理)]设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C： eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,6)＝1的两个焦点，点P在C上，cs ∠F1PF2＝ eq \f(3,5)，则|OP|＝( )
A． eq \f(13,5) B． eq \f(\r(30),2)
C． eq \f(14,5) D． eq \f(\r(35),2)
答案：B
解析：
方法一 依题意a＝3，b＝ eq \r(6)，c＝ eq \r(a2－b2)＝ eq \r(3).如图，不妨令F1(－ eq \r(3)，0)，F2( eq \r(3)，0).设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cs ∠F1PF2＝ eq \f(m2＋n2－12,2mn)＝ eq \f(3,5) ①，
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6 ②.
由①②，解得mn＝ eq \f(15,2).
设|OP|＝x.
在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，
由余弦定理得 eq \f(x2＋3－m2,2\r(3)x)＝－ eq \f(x2＋3－n2,2\r(3)x)，
得x2＝ eq \f(m2＋n2－6,2)＝ eq \f(（m＋n）2－2mn－6,2)＝ eq \f(15,2)，所以|OP|＝ eq \f(\r(30),2).
方法二 依题意a＝3，b＝ eq \r(6)，c＝ eq \r(a2－b2)＝ eq \r(3).
如图(图同方法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，α＝∠F1PF2，
则cs ∠F1PF2＝cs α＝ eq \f(3,5)，
故sin ∠F1PF2＝sin α＝ eq \f(2sin \f(α,2)cs \f(α,2),sin2\f(α,2)＋cs2\f(α,2))＝ eq \f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))＝ eq \f(4,5)，则tan eq \f(α,2)＝ eq \f(1,2)或tan eq \f(α,2)＝2(舍去).
故△F1PF2的面积S△F1PF2＝b2tan eq \f(α,2)＝6× eq \f(1,2)＝3.
又S△F1PF2＝ eq \f(1,2)×2c|y0|＝ eq \r(3)|y0|，
故y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝3，又 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9)＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,6)＝1，
所以x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(9,2)，|OP|2＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(15,2)，|OP|＝ eq \f(\r(30),2).
方法三 依题意a＝3，b＝ eq \r(6)，c＝ eq \r(a2－b2)＝ eq \r(3).
如图(图同方法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，利用焦点三角形面积公式知S△F1PF2＝ eq \f(b2sin α,1＋cs α).
因为cs ∠F1PF2＝ eq \f(3,5)，所以sin ∠F1PF2＝ eq \f(4,5)，故S△F1PF2＝ eq \f(6×\f(4,5),1＋\f(3,5))＝3.又S△F1PF2＝ eq \f(1,2)×2c|y0|＝ eq \r(3)|y0|，故y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝3，
又 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9)＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,6)＝1，所以x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(9,2)，|OP|2＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(15,2)，|OP|＝ eq \f(\r(30),2).
方法四 依题意a＝3，b＝ eq \r(6)，c＝ eq \r(a2－b2)＝ eq \r(3).
如图(图同方法一)，不妨令F1(－ eq \r(3)，0)，F2( eq \r(3)，0).
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cs ∠F1PF2＝ eq \f(m2＋n2－12,2mn)＝ eq \f(3,5) ①，
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6 ②.
由①②，解得mn＝ eq \f(15,2).
因为 eq \(PO,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)(PF1＋PF2)，
所以| eq \(PO,\s\up6(→))|2＝ eq \f(1,4)(m2＋n2＋2mn cs ∠F1PF2)＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（m＋n）2－\f(4,5)mn))＝ eq \f(15,2)，所以|PO|＝ eq \f(\r(30),2).
8．设椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2为直角三角形，则△PF1F2的面积为( )
A．3 B．3或 eq \f(3,2)
C． eq \f(3,2) D．6或3
答案：C
解析：由已知a＝2，b＝ eq \r(3)，c＝1，
若P为短轴的顶点(0， eq \r(3))时，∠F1PF2＝60，△PF1F2为等边三角形，
∴∠P不可能为直角，
若∠F1＝90°，则|PF1|＝ eq \f(b2,a)＝ eq \f(3,2)，
S△PF1F2＝ eq \f(1,2)· eq \f(b2,a)·2c＝ eq \f(3,2).
9．[2022·全国甲卷(理)，10]椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为 eq \f(1,4)，则C的离心率为( )
A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(2),2)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,3)
答案：A
解析：设P(x1，y1)，则点Q的坐标为(－x1，y1).由题意，得点A(－a，0).又直线AP，AQ的斜率之积为 eq \f(1,4)，所以 eq \f(y1,x1＋a)· eq \f(y1,－x1＋a)＝ eq \f(1,4)，即 eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2－x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )＝ eq \f(1,4)①.又点P在椭圆C上，所以 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2)＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,b2)＝1②.由①②，得 eq \f(b2,a2)＝ eq \f(1,4)，所以a2＝4b2，所以a2＝4(a2－c2)，所以椭圆C的离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(3),2).故选A.
二、填空题
10．若方程 eq \f(x2,5－k)＋ eq \f(y2,k－3)＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
答案：(3，4)∪(4，5)
解析：由题意可知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5－k>0，,k－3>0，,5－k≠k－3，))
解得30)的离心率为 eq \f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为( )
A． eq \f(x2,18)＋ eq \f(y2,16)＝1 B． eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,8)＝1
C． eq \f(x2,3)＋ eq \f(y2,2)＝1 D． eq \f(x2,2)＋y2＝1
答案：B
解析：由椭圆C的离心率为 eq \f(1,3)，可得e＝ eq \f(c,a)＝ eq \r(\f(a2－b2,a2))＝ eq \f(1,3).化简，得8a2＝9b2.易知A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以·＝(－a，－b)·(a，－b)＝－a2＋b2＝－1.联立得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(8a2＝9b2，,－a2＋b2＝－1，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝9，,b2＝8.))所以C的方程为 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,8)＝1.故选B.
14．[2023·新课标Ⅱ卷]已知椭圆C： eq \f(x2,3)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB 面积是△F2AB 面积的2倍，则m＝( )
A． eq \f(2,3) B． eq \f(\r(2),3)
C．－ eq \f(\r(2),3) D．－ eq \f(2,3)
答案：C
解析：由题意，F1(－ eq \r(2)，0)，F2( eq \r(2)，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即 eq \f(|－\r(2)＋m|,\r(2))＝2× eq \f(|\r(2)＋m|,\r(2))，解得m＝－ eq \f(\r(2),3)或m＝－3 eq \r(2)(舍去)，故选C.
15．F1，F2是椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
答案：[ eq \f(\r(2),2)，1)
解析：设P0为椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1的上顶点，由题意得∠F1P0F2≥90°，
∴∠OP0F2≥45°，∴ eq \f(c,a)≥sin 45°，∴e≥ eq \f(\r(2),2)，
又0