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2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练45椭圆
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这是一份2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练45椭圆,共6页。
一、选择题
1.椭圆 eq \f(x2,16)+ eq \f(y2,6)=1上一点M到其中一个焦点的距离为3,则点M到另一个焦点的距离为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
答案:D
解析:∵a=4,由椭圆的定义知,M到另一个焦点的距离为2a-3=2×4-3=5.
2.已知△ABC的顶点B,C在椭圆 eq \f(x2,3)+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在BC边上,则△ABC的周长为( )
A.2 eq \r(3) B.4 eq \r(3)
C.6 D.12
答案:B
解析:由椭圆的方程得a= eq \r(3).设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义得|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,所以△ABC的周长为|BA|+|BC|+|CA|=|BA|+|BF|+|CF|+|CA|=(|BA|+|BF|)+(|CF|+|CA|)=2a+2a=4a=4 eq \r(3).
3.[2024·九省联考]椭圆 eq \f(x2,a2)+y2=1(a>1)的离心率为 eq \f(1,2),则a=( )
A. eq \f(2\r(3),3) B. eq \r(2)
C. eq \r(3) D.2
答案:A
解析:由题意得e= eq \f(c,a)= eq \f(\r(a2-1),a)= eq \f(1,2),解得a= eq \f(2\r(3),3).故选A.
4.已知F1,F2是椭圆C: eq \f(x2,9)+ eq \f(y2,4)=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A.13 B.12
C.9 D.6
答案:C
解析:由题,a2=9,b2=4,则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))+ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2))=2a=6,
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))· eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2))≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))+\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2)),2)))2=9(当且仅当 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))= eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2))=3时,等号成立).故选C.
5.已知椭圆C: eq \f(x2,a2)+ eq \f(y2,4)=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( )
A. eq \f(1,3) B. eq \f(1,2)
C. eq \f(\r(2),2) D. eq \f(2\r(2),3)
答案:C
解析:由题可知椭圆的焦点落在x轴上,c=2,
∴a2=4+c2=8,∴a=2 eq \r(2),∴e= eq \f(c,a)= eq \f(2,2\r(2))= eq \f(\r(2),2).
6.[2023·新课标Ⅰ卷]设椭圆C1: eq \f(x2,a2)+y2=1(a>1),C2: eq \f(x2,4)+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2= eq \r(3)e1,则a=( )
A. eq \f(2\r(3),3) B. eq \r(2)
C. eq \r(3) D. eq \r(6)
答案:A
解析:方法一 由已知得e1= eq \f(\r(a2-1),a),e2= eq \f(\r(4-1),2)= eq \f(\r(3),2),因为e2= eq \r(3)e1,所以 eq \f(\r(3),2)= eq \r(3)× eq \f(\r(a2-1),a),得a= eq \f(2\r(3),3).故选A.
方法二 若a= eq \f(2\r(3),3),则e1= eq \f(\r(a2-1),a)= eq \f(\r((\f(2\r(3),3))2-1),\f(2\r(3),3))= eq \f(1,2),又e2= eq \f(\r(3),2),所以e2= eq \r(3)e1,所以a= eq \f(2\r(3),3)符合题意.故选A.
7.[2023·全国甲卷(理)]设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C: eq \f(x2,9)+ eq \f(y2,6)=1的两个焦点,点P在C上,cs ∠F1PF2= eq \f(3,5),则|OP|=( )
A. eq \f(13,5) B. eq \f(\r(30),2)
C. eq \f(14,5) D. eq \f(\r(35),2)
答案:B
解析:
方法一 依题意a=3,b= eq \r(6),c= eq \r(a2-b2)= eq \r(3).如图,不妨令F1(- eq \r(3),0),F2( eq \r(3),0).设|PF1|=m,|PF2|=n,在△F1PF2中,cs ∠F1PF2= eq \f(m2+n2-12,2mn)= eq \f(3,5) ①,
由椭圆的定义可得m+n=2a=6 ②.
由①②,解得mn= eq \f(15,2).
设|OP|=x.
在△F1OP和△F2OP中,∠F1OP+∠F2OP=π,
由余弦定理得 eq \f(x2+3-m2,2\r(3)x)=- eq \f(x2+3-n2,2\r(3)x),
得x2= eq \f(m2+n2-6,2)= eq \f((m+n)2-2mn-6,2)= eq \f(15,2),所以|OP|= eq \f(\r(30),2).
方法二 依题意a=3,b= eq \r(6),c= eq \r(a2-b2)= eq \r(3).
如图(图同方法一),设点P的坐标为(x0,y0),α=∠F1PF2,
则cs ∠F1PF2=cs α= eq \f(3,5),
故sin ∠F1PF2=sin α= eq \f(2sin \f(α,2)cs \f(α,2),sin2\f(α,2)+cs2\f(α,2))= eq \f(2tan\f(α,2),1+tan2\f(α,2))= eq \f(4,5),则tan eq \f(α,2)= eq \f(1,2)或tan eq \f(α,2)=2(舍去).
故△F1PF2的面积S△F1PF2=b2tan eq \f(α,2)=6× eq \f(1,2)=3.
又S△F1PF2= eq \f(1,2)×2c|y0|= eq \r(3)|y0|,
故y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) =3,又 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9)+ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,6)=1,
所以x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) = eq \f(9,2),|OP|2=x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) +y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) = eq \f(15,2),|OP|= eq \f(\r(30),2).
方法三 依题意a=3,b= eq \r(6),c= eq \r(a2-b2)= eq \r(3).
如图(图同方法一),设点P的坐标为(x0,y0),利用焦点三角形面积公式知S△F1PF2= eq \f(b2sin α,1+cs α).
因为cs ∠F1PF2= eq \f(3,5),所以sin ∠F1PF2= eq \f(4,5),故S△F1PF2= eq \f(6×\f(4,5),1+\f(3,5))=3.又S△F1PF2= eq \f(1,2)×2c|y0|= eq \r(3)|y0|,故y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) =3,
又 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9)+ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,6)=1,所以x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) = eq \f(9,2),|OP|2=x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) +y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) = eq \f(15,2),|OP|= eq \f(\r(30),2).
方法四 依题意a=3,b= eq \r(6),c= eq \r(a2-b2)= eq \r(3).
如图(图同方法一),不妨令F1(- eq \r(3),0),F2( eq \r(3),0).
设|PF1|=m,|PF2|=n,在△F1PF2中,cs ∠F1PF2= eq \f(m2+n2-12,2mn)= eq \f(3,5) ①,
由椭圆的定义可得m+n=2a=6 ②.
由①②,解得mn= eq \f(15,2).
因为 eq \(PO,\s\up6(→))= eq \f(1,2)(PF1+PF2),
所以| eq \(PO,\s\up6(→))|2= eq \f(1,4)(m2+n2+2mn cs ∠F1PF2)= eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1((m+n)2-\f(4,5)mn))= eq \f(15,2),所以|PO|= eq \f(\r(30),2).
8.设椭圆 eq \f(x2,4)+ eq \f(y2,3)=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若△PF1F2为直角三角形,则△PF1F2的面积为( )
A.3 B.3或 eq \f(3,2)
C. eq \f(3,2) D.6或3
答案:C
解析:由已知a=2,b= eq \r(3),c=1,
若P为短轴的顶点(0, eq \r(3))时,∠F1PF2=60,△PF1F2为等边三角形,
∴∠P不可能为直角,
若∠F1=90°,则|PF1|= eq \f(b2,a)= eq \f(3,2),
S△PF1F2= eq \f(1,2)· eq \f(b2,a)·2c= eq \f(3,2).
9.[2022·全国甲卷(理),10]椭圆C: eq \f(x2,a2)+ eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为 eq \f(1,4),则C的离心率为( )
A. eq \f(\r(3),2) B. eq \f(\r(2),2)
C. eq \f(1,2) D. eq \f(1,3)
答案:A
解析:设P(x1,y1),则点Q的坐标为(-x1,y1).由题意,得点A(-a,0).又直线AP,AQ的斜率之积为 eq \f(1,4),所以 eq \f(y1,x1+a)· eq \f(y1,-x1+a)= eq \f(1,4),即 eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2-x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )= eq \f(1,4)①.又点P在椭圆C上,所以 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2)+ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,b2)=1②.由①②,得 eq \f(b2,a2)= eq \f(1,4),所以a2=4b2,所以a2=4(a2-c2),所以椭圆C的离心率e= eq \f(c,a)= eq \f(\r(3),2).故选A.
二、填空题
10.若方程 eq \f(x2,5-k)+ eq \f(y2,k-3)=1表示椭圆,则k的取值范围是________.
答案:(3,4)∪(4,5)
解析:由题意可知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5-k>0,,k-3>0,,5-k≠k-3,))
解得30)的离心率为 eq \f(1,3),A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·=-1,则C的方程为( )
A. eq \f(x2,18)+ eq \f(y2,16)=1 B. eq \f(x2,9)+ eq \f(y2,8)=1
C. eq \f(x2,3)+ eq \f(y2,2)=1 D. eq \f(x2,2)+y2=1
答案:B
解析:由椭圆C的离心率为 eq \f(1,3),可得e= eq \f(c,a)= eq \r(\f(a2-b2,a2))= eq \f(1,3).化简,得8a2=9b2.易知A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以·=(-a,-b)·(a,-b)=-a2+b2=-1.联立得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(8a2=9b2,,-a2+b2=-1,))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2=9,,b2=8.))所以C的方程为 eq \f(x2,9)+ eq \f(y2,8)=1.故选B.
14.[2023·新课标Ⅱ卷]已知椭圆C: eq \f(x2,3)+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB 面积是△F2AB 面积的2倍,则m=( )
A. eq \f(2,3) B. eq \f(\r(2),3)
C.- eq \f(\r(2),3) D.- eq \f(2,3)
答案:C
解析:由题意,F1(- eq \r(2),0),F2( eq \r(2),0),△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍,即 eq \f(|-\r(2)+m|,\r(2))=2× eq \f(|\r(2)+m|,\r(2)),解得m=- eq \f(\r(2),3)或m=-3 eq \r(2)(舍去),故选C.
15.F1,F2是椭圆 eq \f(x2,a2)+ eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使∠F1PF2=90°,则椭圆的离心率的取值范围是________.
答案:[ eq \f(\r(2),2),1)
解析:设P0为椭圆 eq \f(x2,a2)+ eq \f(y2,b2)=1的上顶点,由题意得∠F1P0F2≥90°,
∴∠OP0F2≥45°,∴ eq \f(c,a)≥sin 45°,∴e≥ eq \f(\r(2),2),
又0
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