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    2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练56高考大题专练六概率与统计的综合运用

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    2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练56高考大题专练六概率与统计的综合运用

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    这是一份2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练56高考大题专练六概率与统计的综合运用,共7页。
    (1)求第2次投篮的人是乙的概率;
    (2)求第i次投篮的人是甲的概率;
    (3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E( eq \i\su(i=1,n,X)i)= eq \i\su(i=1,n,q)i.
    记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
    解析:(1)记“第2次投篮的人是乙”为事件A,“第1次投篮的人是甲”为事件B,则A=BA+ eq \x\t(B) A,
    所以P(A)=P(BA+ eq \x\t(B) A)=P(BA)+P( eq \x\t(B) A)=P(B)P(A|B)+P( eq \x\t(B) )P(A| eq \x\t(B) )=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.
    (2)设第i次投篮的人是甲的概率为pi,由题意可知,p1= eq \f(1,2) ,pi+1=pi×0.6+(1-pi)×(1-0.8),即pi+1=0.4pi+0.2= eq \f(2,5) pi+ eq \f(1,5) ,
    所以pi+1- eq \f(1,3) = eq \f(2,5) (pi- eq \f(1,3) ),
    又p1- eq \f(1,3) = eq \f(1,2) - eq \f(1,3) = eq \f(1,6) ,所以数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(pi-\f(1,3))) 是以 eq \f(1,6) 为首项, eq \f(2,5) 为公比的等比数列,
    所以pi- eq \f(1,3) = eq \f(1,6) ×( eq \f(2,5) )i-1,
    所以pi= eq \f(1,3) + eq \f(1,6) ×( eq \f(2,5) )i-1.
    (3)设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi,则Xi的可能取值为0或1,当Xi=0时,表示第i次投篮的人是乙,当Xi=1时,表示第i次投篮的人是甲,所以P(Xi=1)=pi,P(Xi=0)=1-pi,所以E(Xi)=pi.
    Y=X1+X2+X3+…+Xn,
    则E(Y)=E(X1+X2+X3+…+Xn)=p1+p2+p3+…+pn,
    由(2)知,pi= eq \f(1,3) + eq \f(1,6) ×( eq \f(2,5) )i-1,
    所以p1+p2+p3+…+pn= eq \f(n,3) + eq \f(1,6) ×[1+ eq \f(2,5) +( eq \f(2,5) )2+…+( eq \f(2,5) )n-1]= eq \f(n,3) + eq \f(1,6) × eq \f(1-(\f(2,5))n,1-\f(2,5)) = eq \f(n,3) + eq \f(5,18) × eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1-(\f(2,5))n)) .
    2.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:
    累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.
    经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 eq \f(1,2) .
    (1)求甲连胜四场的概率;
    (2)求需要进行第五场比赛的概率;
    (3)求丙最终获胜的概率.
    解析:(1)甲连胜四场的概率为 eq \f(1,16) .
    (2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.
    比赛四场结束,共有三种情况:
    甲连胜四场的概率为 eq \f(1,16) ;
    乙连胜四场的概率为 eq \f(1,16) ;
    丙上场后连胜三场的概率为 eq \f(1,8) .
    所以需要进行第五场比赛的概率为1- eq \f(1,16) - eq \f(1,16) - eq \f(1,8) = eq \f(3,4) .
    (3)丙最终获胜,有两种情况:
    比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 eq \f(1,8) ;
    比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为 eq \f(1,16) , eq \f(1,8) , eq \f(1,8) .
    因此丙最终获胜的概率为 eq \f(1,8) + eq \f(1,16) + eq \f(1,8) + eq \f(1,8) = eq \f(7,16) .
    3.[2024·新课标Ⅱ卷]某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.
    (1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率;
    (2)假设00,所以q-p>0,所以P3-P4>0,即P3>P4,
    故应该由甲参加第一阶段比赛.
    (ⅱ)若甲参加第一阶段比赛,则设该队比赛成绩为X分,X的所有可能取值为0,5,10,15,进入第二阶段的概率为1-(1-p)3,未进入第二阶段的概率为(1-p)3,
    则P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3](1-q)3,
    P(X=5)=[1-(1-p)3]C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) q(1-q)2,
    P(X=10)= [1-(1-p)3]C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) q2(1-q),
    P(X=15)=[1-(1-p)3]q3,
    则E(X)=5×[1-(1-p)3]C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) q(1-q)2+10×[1-(1-p)3]C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) q2(1-q)+15×[1-(1-p)3]q3=15pq(p2-3p+3).
    若乙参加第一阶段比赛,则设该队的比赛成绩为Y分,
    同理可得E(Y)=15pq(q2-3q+3),
    则E(X)-E( Y)=15pq(p2-3p-q2+3q)
    =15pq(p-q)(p+q-3),
    因为1≥q>p>0,所以pq>0,p-qE(Y).
    故应该由甲参加第一阶段的比赛.
    4.[2024·九省联考]盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个,随机一次取出3个小球.
    (1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率;
    (2)记取出的3个小球上的最小数字为X,求X的分布列及数学期望E(X).
    解析:(1)记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M,
    先确定3个不同数字的小球,有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) 种方法,
    然后每种小球各取1个,有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) 种取法,
    所以P(M)= eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) ) = eq \f(4,7) .
    (2)由题意可知,X的可能取值为1,2,3,
    当X=1时,分为两种情况:只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球,
    所以P(X=1)= eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) +C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) ) = eq \f(9,14) ;
    当X=2时,分为两种情况:只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球,
    所以P(X=2)= eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) +C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) ) = eq \f(2,7) ;
    当X=3时,分为两种情况:只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球,
    所以P(X=3)= eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) +C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) ) = eq \f(1,14) ,
    所以X的分布列为:
    所以E(X)=1× eq \f(9,14) +2× eq \f(2,7) +3× eq \f(1,14) = eq \f(10,7) .
    5.[2022·全国甲卷(理),19]甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
    (1)求甲学校获得冠军的概率;
    (2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
    解析:(1)设三个项目比赛中甲学校获胜分别为事件A,B,C,易知事件A,B,C相互独立.甲学校获得冠军,对应事件A,B,C同时发生,或事件A,B,C中有两个发生,故甲学校获得冠军的概率为
    P=P(ABC+ eq \(A,\s\up6(-)) BC+A eq \(B,\s\up6(-)) C+AB eq \(C,\s\up6(-)) )
    =P(ABC)+P( eq \(A,\s\up6(-)) BC)+P(A eq \(B,\s\up6(-)) C)+P(AB eq \(C,\s\up6(-)) )
    =0.5×0.4×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×(1-0.4)×0.8+0.5×0.4×(1-0.8)
    =0.16+0.16+0.24+0.04
    =0.6.
    (2)由题意得,X的所有可能取值为0,10,20,30.
    易知乙学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.6,0.2,则
    P(X=0)=(1-0.5)×(1-0.6)×(1-0.2)=0.16,
    P(X=10)=0.5×(1-0.6)×(1-0.2)+(1-0.5)×0.6×(1-0.2)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.2=0.44,
    P(X=20)=0.5×0.6×(1-0.2)+0.5×(1-0.6)×0.2+(1-0.5)×0.6×0.2=0.34,
    P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06,
    所以X的分布列为
    则E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.
    6.[2023·新课标Ⅱ卷]某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
    利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
    (1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
    (2)设函数f(c)=p(c)+q(c),当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.
    解析:(1)由题图知(100-95)×0.002=1%>0.5%,所以95

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