第1章 勾股定理 北师大版数学八年级上册单元复习题(含解析)

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北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元复习题一、单选题1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）A．4，5，6 B．2，3，4 C．3，4，5 D．1，，32．下列四组线段 、 、 ，不能组成直角三角形的是（　　） A． B．C． D．3．以下四组木棒中，哪一组的三条能够刚好做成直角三角形的木架（　　）A．7厘米，12厘米，15厘米 B．7厘米，12厘米，13厘米C．8厘米，15厘米，16厘米 D．3厘米，4厘米，5厘米4．下列说法不能得到直角三角形的（　　） A．三个角度之比为 1：2：3 的三角形 B．三个边长之比为 3：4：5 的三角形C．三个边长之比为 8：16：17 的三角形 D．三个角度之比为 1：1：2 的三角形5．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　）A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，12，13 D．6，8，106．如右图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE则DB的长为(　　)A．4 cm B．5 cm C．cm D．cm7．已知一个直角三角形的两边长分别3和4，则第三边长是（　　） A．5 B． C．25 D．5或 8．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A． B．C． ， ， D．二、填空题9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则BE=　 　．10．如图， ， ， .则正方形 的面积为　 　. 11．如图，用三张大小各不相同的正方形纸片以顶点相连的方式可以设计成“毕达哥拉斯”图案．现有四张大小各不相同的正方形纸片，其面积分别是1，2，3，4．若选取其中三张，按如图方式组成“毕达哥拉斯”图案，则所围成的Rt△ABC的斜边长可为 　 　． 12．如图，在矩形 中， ， ，若 在 上， ，则四边形 的面积是　 　． 三、解答题13．如图，△ABC中，∠C=45°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，CQ=4，PQ=3，求BC的长.14．在右图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．请在图中画一个面积为10的正方形，并写出其边长．（要求：正方形的顶点都在格点上）15．如图，在中，，以B为圆心，为半径画弧，交线段于点，以A为圆心，为半径画弧，交线段于点． （1）若，求的度数；（2）若，求的长．四、综合题16．如图，在△ABC中，AB＝AC．（1）若P为BC上的中点，求证：；（2）若P为线段BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．17．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A、B、C三地的坐标，数据如图（单位：）．笔直铁路经过A、B两地．（1）求A、B间的距离为多少．（2）计划修一条从C到铁路的最短公路L，并在L上建一个维修站D，使D到A、C的距离相等，求C、D间的距离为多少．18．如图，矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．（1）P、Q两点从出发开始，经过几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？（2）P、Q两点从出发开始，经过几秒时，点P和点Q的距离为10cm？19．已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=3，CB=4，设P，Q分别为AB边，CB边上的动点，它们同时分别从A，C出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，设P，Q运动的时间为t秒．（1）求△CPQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并求出S的最大值．（2）t为何值时，△CPQ为直角三角形．（3）①探索：△CPQ是否可能为正三角形，说明理由．②P，Q两点同时出发，若点P的运动速度不变，试改变点Q的运动速度，使△CPQ为正三角形，求出点Q的运动速度和此时的t值．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；D、12+（）2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意.故答案为：C.【分析】若一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此判断.2．【答案】D【解析】【解答】解：A. ， B. ，C. ， .【分析】根据勾股定理逆定理，即若三角形中两边到的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，对每项进行计算判断即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：A、72+122≠152，故不是直角三角形，故此选项错误；B、72+122≠132，故不是直角三角形，故此选项错误；C、82+152≠162，故不是直角三角形，故此选项错误；D、32+42=52，故是直角三角形，故此选项正确.故答案为：D.【分析】若一个三角形的三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，据此判断.4．【答案】C【解析】【解答】A.三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形；B.三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x、4x、5x，满足： ，是直角三角形；C.三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x、16x、17x， ，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形D.三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；故答案为：C【分析】三角形内角和180°，根据比例判断A、D选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B、C选项中边长是否符合直角三角形的关系.5．【答案】B【解析】【解答】解：A：∵32+42=52，∴是直角三角形，故A不符合题意；B：∵42+52≠62，∴不是直角三角形，故B符合题意；C：∵52+122=132，∴是直角三角形，故C不符合题意；D：∵62+82=102，∴是直角三角形，故C不符合题意。故答案为：B.【分析】根据勾股定理的逆定理逐项分析即可得出答案。6．【答案】B【解析】【分析】如图，首先运用翻折变换的性质证明BE=AE=AB；其次运用勾股定理求出AB的长度，即可解决问题．【解答】如图，由翻折变换的性质得：BE=AE=AB；∵△ABC为直角三角形，且AC=6，BC=8，∴AB2=62+82，∴AB=10，BE=5，故选B．7．【答案】D【解析】【解答】∵ ， ∴第三边长是5或 ．故答案为：D．【分析】根据勾股定理可以求得第三边长．8．【答案】A【解析】【解答】解：A.∵ ，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=180°× =45°，∠B=180° =60°，∠C=180° =75°，∴△ABC不是直角三角形，符合题意，B.∵ ，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形，不符合题意，C.∵ ， ， ，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意，D.∵ ，∴b2-c2=a2，即a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意，故答案为：A．【分析】根据三角形内角和定理可对A、B进行判断；利用勾股定理逆定理对C、D进行判断，即可答案．9．【答案】2【解析】【解答】根据已知可得 可得BE=OB-OE=5-3=2故答案为2.【分析】首先根据勾股定理求得OE，再利用BE=OB-OE计算即可.10．【答案】169【解析】【解答】因为三角形ABC中，在直角三角形ACF中，，而正方形 的面积=。 【分析】根据勾股定理可以得到AC的长，从而得到FC的长，即可得到正方形 的面积。11．【答案】2或 【解析】【解答】 解： ∵四张大小各不相同的正方形纸片，其面积分别是1，2，3，4，∴四张正方形纸片的边长分别为1，，，2，∵∠C=90°，∴AC2+BC2=AB2， 当选取的三张纸片的面积分别是1，2，3时， 所围成的Rt△ABC的斜边长为， 当选取的三张纸片的面积分别是1，3，4时， 所围成的Rt△ABC的斜边长为2，∴ 所围成的Rt△ABC的斜边长可为2或. 故答案为：2或. 【分析】根据正方形的面积分别求出正方形的边长，利用勾股定理得出AC2+BC2=AB2，分别确定三角形的三边长，即可得出斜边.12．【答案】9【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=3，AD=BC=4，∠A=∠B=∠D=90°，∵ ,∴ED= ,∴AE=2，∴四边形 的面积= ,故答案为：9.【分析】利用矩形的性质得到CD=AB=3，AD=BC=4，∠D=90°，根据勾股定理求出ED=2，即可根据直角梯形的面积公式计算得出答案.13．【答案】解：∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP=BP，AQ=CQ，又∵∠C=45°，∴∠AQC=90°，∵PQ=3，由勾股定理得AP=5，∴BC=BP+PQ+CQ=12.【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 AP=BP，AQ=CQ， 根据等边对等角及三角形的外角定理得出∠AQP=90°，然后根据勾股定理算出AP的长，进而根据线段的和差由 BC=BP+PQ+CQ 算出答案.14．【答案】解：∵面积为10的正方形的边长为，=，∴面积为5的正方形，如图所示．【解析】【分析】由正方形的面积得出边长，由勾股定理即可得出结果．15．【答案】（1）解：， ．，．；（2）解：， ，，由勾股定理得：，即，解得：cm．【解析】【分析】（1）先求得，再利用“在同一个三角形中，等边对等角”和平角的意义求得，再利用直角三角形两锐角互余求得．（2）先找出AB与AD的关系，再利用勾股定理，转化为AD的方程求解.16．【答案】（1）证明：连接AP，∵AB＝AC，P是BC中点，∴AP⊥BC，BP＝CP，在Rt△ABP中，；（2）解：成立． 如图，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，在Rt△ABD中，，同理，，∴又∵BP＝BD＋DP，CP＝CD－DP＝BD－DP，∴BP•CP＝（BD＋DP）（BD－DP）＝，∴；（3）解：． 如图，P是BC延长线任一点，连接AP，并作AD⊥BC，交BC于D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，在Rt△ABD中，，在Rt△ADP中，，∴ 又∵BP＝BD＋DP，CP＝DP－CD＝DP－BD，∴BP•CP＝（BD＋DP）（DP－BD）＝，∴．【解析】【分析】（1）连接AP，根据等腰三角形的性质可得AP⊥BC，BP＝CP，再利用勾股定理和等量代换可得；（2）连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，再利用勾股定理和等量代换可得；（3）P是BC延长线任一点，连接AP，并作AD⊥BC，交BC于D，再利用勾股定理和等量代换可得。17．【答案】（1）解：由A、B两点的纵坐标相同可知：轴，∴； 答：A、B间的距离为；（2）解：过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由（1）可知：CE=1-（-17）=18，AE=12，设CD=x，∴AD=CD=x，由勾股定理可知：x2=（18-x）2+122，∴解得：x=13，∴CD=13，答：C、D间的距离为．【解析】【分析】（1）利用两点之间的距离公式求出即可；（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，设CD=x，则AD=CD=x，利用勾股定理可得x2=（18-x）2+122，求出x的值，即可得到CD的长。18．【答案】（1）解：设经过x秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm2，依题意得： ×6×（16﹣3x+2x）=33，解得：x=5（秒），答：经过5秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm2．（2）解：设经过x秒时，点P和点Q的距离为10cm，依题意得：62+（16﹣3x﹣2x）2=102，解得x1=1.6，x2=4.8，答：经过1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离为10cm．【解析】【分析】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，根据梯形的面积公式列出方程，再求解即可；（2）设经过x秒时，点P和点Q的距离为10cm，根据勾股定理列出方程，再进行求解即可得出答案．19．【答案】（1）解：作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，∵∠ACB=90°，CA=3，CB=4，∴AB= =5，∵AP=t，∴AD= t，PD= t，∴PE=DC=3﹣ t，∴S= ×t×（3﹣ t）=﹣ t2+ t，∵S=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣ ）2+ ，∴S的最大值为 ；（2）解：只有当PC2+PQ2=CQ2时，△CPQ为直角三角形，∴（ t）2+（3﹣ t）2+（3﹣ t）2+（t﹣ t）2=t2，解得，t1=3，t2=15（舍去），∴当t=3时，△CPQ为直角三角形；（3）①△CPQ不可能为正三角形，理由如下：若△CPQ是正三角形，则PC=PQ，EC=EQ，即t﹣ t= t，解得，t=0，∴△CPQ不可能为正三角形；②设点Q的运动速度为a，当CE=EQ时，即 t=at﹣ t，解得，a= ，∵∠PCQ=60°，∴PE= PD，解得，t= ．【解析】【分析】（1）作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，根据勾股定理求出AB，用t表示出AD、PD，根据三角形的面积公式计算即可；（2）根据勾股定理列出算式，求出t的值；（3）①根据等边三角形的三线合一列式计算即可；②设点Q的运动速度为a，根据等边三角形的性质列式求出a，根据等边三角形的性质、正切的概念计算即可．