江苏省常州市2024年中考数学一模试题(附答案)

这是一份江苏省常州市2024年中考数学一模试题(附答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．的倒数是（ ）
A．4B．C．D．
2．截止2024年1月31日，理想汽车累计交付量达到约664500辆，其中664500可用科学记数法表示为（ ）
A．B．
C．D．
3．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
4．如图是由5个相同的小正方体组合而成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
5．一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根D．没有实数根
6．当时，代数式的值为6，那么当时，这个代数式的值是（ ）
A．1B．C．6D．
7．如图，A、B、C、D、E、F为的六等分点，甲同学从中任取三点画一个三角形，乙同学用剩下的点画一个三角形，则甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为（ ）
A．B．1C．D．
8．小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后又开始匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．4的算术平方根是 ．
10．要使有意义，则x的取值范围是 .
11．分解因式： ．
12．点关于直线对称的点的坐标是 .
13．已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 .
14．已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积 .
15．中，，，则的值是 .
16．如图，是的直径，是的切线，交于点D，连结，若，则的大小为 .
17．如图，正方形的边长为10，，，，则线段的长为 .
18．如图，正方形的边长为6，O为正方形对角线的中点，点E在边上，且，点F是边上的动点，连接，点G为的中点，连接、，当时，线段的长为 .
三、解答题（共84分，其中19至26题每题8分，27、28题每题10分）
19．计算
（1）
（2）
20．解方程和不等式
（1）解方程：
（2）解不等式组：
21．为增进学生对数学知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了30名学生两次活动的成绩进行整理、描述和分析，如图1，将这30名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标.
图1 图2
（1）学生甲第一次成绩是70分，则该生第二次成绩是 分.
（2）两次成绩均达到或高于90分的学生有 个
（3）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，如图2是这30位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成8组：，，，，，，，）
在的成绩分别是77，77，78，78，78，79，79，则这30位学生两次活动平均成绩的中位数是 .
（4）假设全校有1200名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数.
22． 2024年春晚，魔术师表演了一个与纸牌相关的魔术，让人大开眼界，这个魔术中隐含了一个数学问题——约瑟夫问题，春晚结束后，小华和小丽玩起了抽扑克牌游戏，他们从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为3，6，7，9.将这四张牌背面朝上，洗匀.
（1）小丽从中随机抽出一张牌，则抽到这张牌是奇数的概率是 ；
（2）小丽从中随机抽取一张，记下牌面上的数字后放回，背面朝上，洗匀，接着小华再从中随机抽取一张，记下牌面上的数字，请求出他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率.
23． 如图，菱形中，对角线、相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E.
（1）求证：四边形是矩形.
（2）若，，求四边形的周长.
24． 《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两?”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、羊各值多少两银子?
（2）若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法?列出所有可能的购买方案。
25． 如图，，，反比例函数的图像过点，反比例函数经过点A.
（1）求a和k的值
（2）过点B作轴，与双曲线交于点C，求的面积.
26．定义：若实数a、b、、满足、（k为常数，，则在平面直角坐标系中，称点为的“k值友好点”.例如，点是点的“k值友好点”.
（1）在，，，四点中，点 是点的“k值友好点”.
（2）设点是点的“k值友好点”
①当时，求k的值.
②若点A坐标为，当时，请直接写出点Q的坐标以及k的值.
27． 如图，抛物线，抛物线交x轴于点A、B（点A在点B的右侧），交y轴于点C，抛物线与抛物线关于原点成中心对称.
（1）求抛物线的函数表达式和直线对应的函数表达式.
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连接、，与相交于点P.
①作轴，垂足为E，当时，求点P的横坐标.
②请求出的最大值.
28． 如图1，小明借助几何软件进行数学探究：中，，，D是边的中点，E是线段上的动点（不与点A、点D重合），边关于对称的线段为，连接.
（1）当为等腰直角三角形时，的大小为 .
（2）图2，延长，交射线于点G.
①请问的大小是否变化?如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由.
②若，则的面积最大为_▲_，此时_▲_.
答案
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】2
10．【答案】
11．【答案】 。
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】π
15．【答案】
16．【答案】32
17．【答案】75
18．【答案】​​​​​​​​​​​​​​
19．【答案】（1）解：；
（2）解：.
20．【答案】（1）解：∵，
∴，
解得，
检验：当x=2时，x-3≠0，
是原方程的解；
（2）解：∵，
∴解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为.
21．【答案】（1）75
（2）7
（3）79
（4）解：（人），
答：估计两次活动平均成绩不低于90分的学生有360人.
22．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
共有16种等可能的情况，其中他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的有9种，
∴他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率为.
23．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形.
（2）解：四边形是菱形，AB=10，AC=12，
，，
∵∠COD=90°，
，
四边形是矩形，
四边形的周长是2(OC+OD)=2×(6+8)=28.
24．【答案】（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，
依题意得：，
解得：，
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；
（2）解：设购买m头牛，则购买只羊，
依题意得，
解得：，
为整数，
有3种方案：①购买7头牛，13只羊；②购买8头牛，12只羊；③购买9头牛，11只羊.
25．【答案】（1）解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D，过A作AE⊥x轴于点E，
∴∠BDO=∠AEO=90°，
∴∠BOD+∠DBO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOE=90°，
∴∠DBO=∠AOE，
∴，
，
反比例函数的图像过点，
，
∴，
∴，
，，
∵，
，
，，
点A的坐标为，
∴.
（2）解： 设AE与OC相交于点F，
∵BC∥x轴，B(-2，1)，
，将代入中，得，
点C的坐标为，
所在的直线为，
∵A(2，4)，
∴点F的横坐标为2，将x=2代入，得，
∴，
，
.
26．【答案】（1）；
（2）解：①，
，
，
，
点是点的“k值友好点”，
，，
，
根据两点距离公式得：，
，
整理得：，
，即k的值为1；
②时，；
时，.
27．【答案】（1）解：由题可知，抛物线的顶点为
抛物线与抛物线关于原点成中心对称
抛物线的表达式为，即
令，则
，，，
令，则，
所在直线为
（2）解：①设点P为，，
轴，，，
，
点P在第一象限，点P的横坐标为.
②过点B、点D作y轴的平行线，分别交直线于点M、点N.
，
将代入得，
，，
要最大，就是要最大
设，则
最大为，即最大为.
28．【答案】（1）15
（2）解：①∠G的大小不变，∠G=30°，
设∠ABE=x，
∵∠ABC=120°，
∴∠EBC=120°-x，
∵边BC关于BE对称的线段为BF，
∴∠EBF=∠EBC=120°-x，BF=BC
∴∠ABF=∠EBF-∠ABE=120°-x-x=120°-2x，
∵AB=BC，
∴AB=BF，
∴，
又∵∠BAF是外角，
∴∠G=∠BAF-∠ABE=30°+x-x=30°；
②，
3
6
7
9
3
（3，3）
（3，6）
（3，7）
（3，9）
6
（6，3）
（6，6）
（6，7）
（6，9）
7
（7，3）
（7，6）
（7，7）
（7，9）
9
（9，3）
（9，6）
（9，7）
（9，9）