第18讲 同角三角函数的基本关系、诱导公式（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、知识点梳理
1.任意角的三角函数的概念
（1）单位圆：
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
①把点P的 叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα；
②把点P的 叫做α的余弦函数，记作csα，即x=csα；
③把点P的 叫做α的正切函数，记作tanα，即yx=tanα(x≠0).
则正弦函数fx=sinx, x∈R；余弦函数fx=csx, x∈R；正切函数fx=tanx, x≠kπ，
（2）非单位圆：
设角α终边上任意一点P（原点除外）的坐标为(x,y)，它与原点的距离为r并且r= ，
则sin α== ，cs α== ，tan α= (x≠0).
2. 三角函数值在各象限内的符号
(设α的终边上一点Px,y，sinα符号看y，csα符号看x，tanα符号看yx)
3.同角三角函数的基本关系
（1）平方关系： ． （2）商的关系： ．
拓展：①sinα+csα2= ； sinα−cs α2= .
②sin2α== ⑧cs2α==．
4.诱导公式 （奇变偶不变，符号看象限）
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
其中k∈Z： sin（2kπ+α）= cs（2kπ+α）= tan（2kπ+α）=
公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π+α）= cs（π+α）= tan（π+α）=
公式三： 任意角α与–α的三角函数值之间的关系（利用原函数奇偶性）：
sin（–α）= cs（–α）= tan（–α）=
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π–α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π–α）= cs（π–α）= tan（π–α）=
公式五：任意角α与–α的三角函数值之间的关系
sin（–α）= cs（–α）=
公式六： 任意角α与+α三角函数值之间的关系：
sin（+α）= cs（+α）=
推算公式：+α与α的三角函数值之间的关系：
sin（+α）= sin（–α）=
cs（+α）= cs（–α）=
注：“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化
若是奇数倍，则正、余弦互变；若是偶数倍，则函数名称不变．
“符号看象限”是把α当成锐角时，原三角函数式中的角（如+α）所在象限原三角函数值的符号
二、题型分类精讲
题型一 “知一求二”问题
策略方法 对sin α，cs α，tan α的知一求二问题
(1)利用sin2α＋cs2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化．
2由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用”平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.
【典例1】已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的关系即可求解.
【详解】由于 ，所以因此，
故选：A
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先由，，求出，再得出，根据得出答案．
【详解】因为，，
所以，
所以，
所以，
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若角的终边不在坐标轴上，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合易知条件和同角三角函数的平方关系即可求出csα，从而求出sinα，根据即可求得结果．
【详解】或，
∵的终边不在坐标轴上，∴，
∴，∴．
故选：A．
3．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出，即得解.
【详解】∵，
∴
∴
∵，
∴.
故选：D
二、填空题
4．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）已知是第四象限角，且，则______．
【答案】
【分析】利用同角三角函数的关系求解.
【详解】因为是第四象限角，且，
所以，
故答案为: .
5．（2023春·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知角为的内角，，则_________．
【答案】
【分析】根据同角三角函数，即可求解.
【详解】由条件可知，.
故答案为：
三、解答题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的值.
【答案】
【分析】根据同角三角函数关系求解即可.
【详解】解：因为，
所以，同号，且，
所以，，
因为
所以，解得，
因为，
所以
题型二 已知tan α求sin α，cs α齐次式的值
策略方法
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，对于分母为1的二次式，可用sin2α＋cs2α做分母求解．
【典例1】已知，则（ ）
A．2B．5C．6D．8
【答案】B
【分析】利用“齐次式”和条件可直接求出结果.
【详解】因为，所以，
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广东·高三专题练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用弦化切可求得的值，再利用两角和的正切公式可求得的值.
【详解】因为，解得，
所以，.
故选：A.
2．（2023·海南海口·校联考一模）已知，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，分子分母同除以余弦平方得到正切的式子，再将正切值代入即可.
【详解】因为，
所以，
故选：A.
3．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知方程，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可得，用齐次式方法处理后得，将值代入即可得出答案.
【详解】方程，化简得，
则，
分子分母同时除以可得：，
将代入可得，
故选：B.
4．（2023·江苏·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．－3B．C．3D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简条件，再利用二倍角公式将目标式化为齐次式，代入正切值可得.
【详解】因为，
所以
.
故选：B.
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】由题解得，再由求解即可.
【详解】由，解得，
所以.
故选：A.
二、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________
【答案】
【分析】根据齐次式，由弦化切即可求值.
【详解】.
故答案为：
7．（2023·高三课时练习）若，则的值为______.
【答案】
【分析】先由求出，再利用同角三角函数的基本关系及的值求的值即可.
【详解】∵，∴，∴，
∴，即，
∴
.
故答案为：.
三、解答题
8．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知，求和的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）或；（2）
【分析】根据同角三角函数的商式关系以及平方关系，建立方程，可得答案；
【详解】（1）由同角三角函数的商式关系，则，即，
由同角三角函数的平方关系，则，即，解得，
由，可得，
即可得或.
（2）由，则，即，
.
题型三 sin α±cs α与sin αcs α关系的应用
策略方法 对于sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cs α＝t(t∈[－eq \r(2)，eq \r(2)])，则sin αcs α＝eq \f(t2－1,2)，sin α－cs α＝±eq \r(2－t2)(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．
【典例1】已知在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号.
【详解】因为，则，
可得，
又，则，
即，可得，
又因为，
所以.
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的平方关系和二倍角公式求解即可.
【详解】，，
解得.
故选：D.
2．（2023·山西阳泉·统考二模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数基本关系式，以及三角函数在各个象限内的正负，可得，从而求出的值.
【详解】因为，所以，即，所以.
因为，所以，所以.
因为，
所以.
故选：B.
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号的判断.
【详解】由题意可得：，整理得，
且，可得，
即，可得，
因为，可得，
所以.
故选：D.
二、多选题
4．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知 ，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据同角基本关系，结合完全平方公式可判断各项.
【详解】对于A：因为所以
即，所以A正确;
对于B、C：因为，且，
所以，即，所以所以B错误，C正确;
对于D：联立，解得所以，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，则______．
【答案】
【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，并分析三角函数值的正负即可求解.
【详解】解：已知①，则，
，
，，则，，
②，
联立①②，得，
，
故答案为：.
6．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知，则 ___________．
【答案】
【分析】根据的关系，即可平方得，结合同角关系以及二倍角公式即可求解.
【详解】由平方得，结合得，
所以，由于，所以,
所以 ，
故答案为：
四、解答题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知，是关于x的一元二次方程的两根．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由韦达定理结合平方关系得出的值；
（2）先判断出，则，再代值计算即可.
(1)
因为，是关于x的一元二次方程的两根，
所以，，且，
所以，
所以，得，满足，
所以，即
(2)因为，
又因为，所以，所以
所以
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 ( )，求 的值.
【答案】
【分析】将两边平方可得，判断x的范围，并求出，进而可求得 ， ，即可求得答案.
【详解】∵ ()，
∴ ，即 ，
把两边平方得 ，
即 ，
∴，
即，
联立
解得 ， ，
∴ .
题型四 诱导公式化简与求值
策略方法 1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．
2．明确三角函数式化简的原则和方向
(1)切化弦，统一名．
(2)用诱导公式，统一角．
(3)用因式分解将式子变形，化为最简．
也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”．
【典例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)-1
【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求得的值；
（2）方法：1：由（1）知，结合诱导公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，代入，即可求解；
方法2：利用三角函数的定义求得，结合诱导公式，代入即可求解.
【详解】（1）解：因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过点，
由三角函数的定义，可得.
（2）解：方法1：由（1）知，
则.
方法2：由角终边过点，可得，则，，
所以.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】切化弦，结合得出，然后根据诱导公式及二倍角公式求解.
【详解】因为，
所以，
即，
所以，
即，
所以，
故选：C．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式、两角差的正弦公式、二倍角的余弦公式化简即可求解.
【详解】由，
所以.故选：D.
二、填空题
3．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知为锐角，若，则________．
【答案】
【分析】运用诱导公式和同角的基本关系求解即可.
【详解】，所以，
因为为锐角，所以，，
故答案为：
三、解答题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知.
(1)化简.
(2)已知，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)由诱导公式进行化简，即可求得；
(2)由，代入即可求值.
(1)
；
(2)
∵，
∴.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知α是第三象限角，且.
（1）若cs，求f（α）的值；
（2）若α=-1860°，求f（α）的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）化简f（α）==-csα，由条件求得csα，从而求得f（α）.
（2）由诱导公式得，f（α）=-cs（-1860°）=-cs（-60°）.
【详解】解析：f（α）==-csα.
（1）∵，∴sinα=.
∵α是第三象限的角，
∴csα=.
∴f（α）=-csα=.
（2）f（α）=-cs（-1860°）=-cs（-60°）=.
题型五 诱导公式的应用
策略方法 求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求
【典例1】若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角函数的诱导公式，即可求得答案.
【详解】
故选：B
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知，则（ ）
A．B．C．-D．
【答案】A
【分析】因为，由诱导公式可得选项.
【详解】.
故选：A.
2．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将看作一个整体，找到与其的关系，用诱导公式和倍角公式求解即可.
【详解】设，则，且由已知，有，
∴，
其中，，
∴.故选：A.
3．（2023·河北·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数诱导公式结合二倍角余弦公式，化简求值，即得答案.
【详解】由题意得
,
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数诱导公式以及二倍角的余弦公式化简、求值，即可得答案.
【详解】由于，
故，
故选：B．
5．（2023·四川雅安·统考三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据角的变换及诱导公式将转化，再利用二倍角的余弦公式即可求得答案.
【详解】因为，
故，
故选：A
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换可得出关于的二次方程，求出的取值范围，求出的值，可求得角的值，代值计算可得出的值.
【详解】因为，
所以，，
因为，则，所以，，
故，所以，，则，
故.
故选：C.
二、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________．
【答案】
【分析】由诱导公式有，即可得结果.
【详解】由，
又.
故答案为：
8．（2023·山西阳泉·统考三模）已知，且，则_______．
【答案】/
【分析】整体法诱导公式结合同角三角函数关系求出答案.
【详解】因为，所以，故，
所以.
。
故答案为：
9．（2023·全国·高三专题练习）已知0＜β＜，＜α＜，cs（﹣α）＝，sin（+β）＝，则sin（α+β）＝______
【答案】
【分析】由诱导公式、拼凑角，再结合两角差的余弦得，得解．
【详解】解：因为，
所以，所以，
又，所以，
所以
故答案为：
①“知一求二”问题
②已知tan α求sin α，cs α齐次式的值
③sin α±cs α与sin αcs α关系的应用
④诱导公式化简与求值
⑤诱导公式的应用
各象限点坐标的符号
α
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
sinα




csα




tanα




基本思路
①分析结构特点，选择恰当公式；
②利用公式化成单角三角函数；
③整理得最简形式
化简要求
①化简过程是恒等变换；
②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值