四川省名校联盟2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省名校联盟2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了9B， 已知是不共线的向量，且，则， 设是复数，则下列说法正确是等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）
注意事项：
1.答题前先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列几何体中，不是旋转体的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示，在平行四边形中，，则它的直观图面积是（ ）
A B. 2C. D.
4. 某花农连续8天采摘的栀子花重量依次为（单位：斤），则这组数据的第75百分位数为（ ）
A. 8.9B. 8.8C. 8.7D. 8.6
5. 四边形中中，，则下列结论中错误的是（ ）
A. 一定成立B. 一定成立
C. 一定成立D. 一定成立
6. 某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现的点数为奇数”，“出现的点数不大于3”，事件“出现点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（ ）
A. 与互为对立事件B.
C. D.
7. 已知是不共线的向量，且，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
8. 在一组样本数据中，出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A.
B.
C.
D.
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 小刘一周总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（ ）
A. 娱乐开支金额为100元
B. 日常开支比食品中的肉类开支多100元
C. 娱乐开支比通信开支多5元
D. 肉类开支占储蓄开支的
10. 设是复数，则下列说法正确是（ ）
A. 若，则
B. 设互为共轭复数，则.
C. 若，则
D. 复数在复平面内对应的点位于第四象限
11. 已知平面，直线，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
12. 据统计，从1932年至1990年，历次所测乐山大佛高度均不一样.某校计划开展数学建模活动，打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备了三种工具：测角仪､米尺､量角器.下面是四个小组设计的测量方案，其中可能测量出大佛高度的方案有（ ）
A. 把两只佛脚底部看作两点，分别测量佛顶的仰角和的距离
B. 在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为，再面对大佛前行米，测得佛顶的仰角为
C. 高为的同学站在佛脚平台上，在该同学头顶和脚底分别测量佛顶的仰角
D. 在佛脚平台上寻找两点分别测量佛顶的仰角，再测量两点间距离和两点相对于大佛底部的张角
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某校围棋社团､舞蹈社团､美术社团和篮球社团的学生人数分别为，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出18人参加一项活动，则美术社团中选出的学生人数为__________.
14. 甲､乙两人进行投篮比赛，甲投篮命中概率为0.5，乙投篮命中的概率为0.6，且两人投篮是否命中相互没有影响，则两人各投篮一次，至多一人命中的概率是__________.
15. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，为单位正交基底，则最小值是__________.
16. 已知直四棱柱的棱长均相等，且，以为球心，为半径的球面与侧面的交线为半圆，且长为，则该四棱柱的体积为__________.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或推演步骤.
17. 已知平面向量.
（1）若，求实数的值；
（2）若与的夹角为，求实数的值.
18. 为了丰富校园文化生活，培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素质，某中学举办了学校社团活动，开设的项目有4个运动类社团（篮球社､足球社､乒乓球社､羽毛球社）和2个艺术类社团（音乐社､美术社），一名学生从中随机抽取2个项目来参加活动.
（1）求抽取的2个项目都是运动类社团的概率；
（2）若从运动类社团和艺术类社团中各抽取1个，求这2个社团不包括篮球社但包括音乐社的概率.
19. 已知四棱锥中，，且中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
20. 某电力公司需要了解用户的用电情况（单位：度）.现随机抽取了该片区100户进行调查，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图（用户的用电量均不超过600度）.
（1）求；
（2）若每一组住户的用电量取该组区间中点值代替，估算该片区住户平均用电量；
（3）每户用电量不超过度的电费是0.5元/度，超出度的部分按1元/度收取，若该公司为了保证至少的住户电费都不超过0.5元/度，则至少应为多少（为整数）？
21. 如图，在四边形中，是边长为2的正三角形，.现将沿边折起，使得平面平面，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
22. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知分别是三个内角的对边，点为的费马点，且.
（1）求；
（2）若，求的值；
（3）若，求实数的最小值.
四川省名校2023-2024学年高一下学期7月期末联考
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）
注意事项：
1.答题前先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列几何体中，不是旋转体的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由旋转体的概念即可判断.
【详解】由旋转体的概念可知，选项ACD为旋转体，选项B不算旋转体.
故选：B.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数模的运算公式，即可求解.
【详解】由复数，可得.
故选：A.
3. 如图所示，在平行四边形中，，则它的直观图面积是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设原图的面积为，直观图的面积为，先计算原图的面积，再根据求解.
【详解】设原图的面积为，直观图的面积为，则，.
故选：C
4. 某花农连续8天采摘的栀子花重量依次为（单位：斤），则这组数据的第75百分位数为（ ）
A. 8.9B. 8.8C. 8.7D. 8.6
【答案】B
【解析】
【分析】根据百分位数的计算公式即可求解.
【详解】将数据从小到大排列为：，
,故第75百分位数为，
故选：B
5. 四边形中中，，则下列结论中错误的是（ ）
A. 一定成立B. 一定成立
C. 一定成立D. 一定成立
【答案】D
【解析】
【分析】由可知四边形为平行四边形，逐项分析即可.
【详解】由可知四边形为平行四边形，显然AC正确，
根据平行四边形法则，B也是正确的，而，故D错误.
故选：D
6. 某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现的点数为奇数”，“出现的点数不大于3”，事件“出现点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（ ）
A. 与互为对立事件B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】列举所有基本事件，根据对立事件的定义可判定A，由古典概型概率公式，即可结合选项逐一求解BCD.
【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数构成的样本空间为，
则，
对于A，事件可同时发生，故不是对立事件，A错误，
对于B，,,故B错误，
对于C，,C正确，
对于D，，D错误，
故选：C
7. 已知是不共线的向量，且，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合向量的共线的坐标表示，列出方程组，即可求解.
【详解】因为向量是不共线的向量，且，
对于A中，设，即，
可得，此时方程组无解，所以三点不共线，所以A不正确；
对于B中，设，且，可得，
可得，解得 ，所以三点共线，所以B正确；
对于C中，设，且，可得，
可得，此时方程组无解 ，所以三点不共线，所以C不正确；
对于D中，设，可得，
可得，此时方程组无解 ，所以三点不共线，所以D不正确.
故选：B.
8. 在一组样本数据中，出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别计算四个选项中数据平均数和方差，根据方差大小判断标准差大小.
【详解】对于A，，
；
对于B，，
；
对于C，，
；
对于D，，
；
因此，A选项的方差最大，即A选项的标准差最大.
故选：A
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（ ）
A. 娱乐开支金额为100元
B. 日常开支比食品中的肉类开支多100元
C. 娱乐开支比通信开支多5元
D. 肉类开支占储蓄开支的
【答案】ABD
【解析】
【分析】先由图2计算出食品开支，然后由图1计算出总开支，最后再对选项逐一分析.
【详解】由图2可知食品的开支为元，由图1可知食品开支为，所以总开支为元，
娱乐开支为元，故A正确；
日常开支元，肉类为元，日常开支比肉类开支多元，故B正确；
通信开支为元，娱乐开支比通信开支多元，故C错误；
储蓄开支为元，肉类开支占储蓄开支的，故D正确.
故选：ABD
10. 设是复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 设互为共轭复数，则.
C. 若，则
D. 复数在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，结合复数的概念，复数的几何意义，以及复数的运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，例如：，而，所以A不正确；
对于B中，若互为共轭复数，设，则，
可得，所以B正确；
对于C中，设，可得，
可得，所以，
则，所以，所以C正确；
对于D中，例如，可得，
此时复数在复平面对应的点位于第二象限，所以D错误.
故选：BC.
11. 已知平面，直线，则下列命题正确是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据空间直线与平面的位置关系，逐项分析判断即可.
【详解】选项A：若，，，则或与异面，A说法错误；
选项B：若，，，，则由平面与平面垂直的性质可得，B说法正确；
选项C：若，，则可能平行，相交或垂直，C说法错误；
选项D：若，，则在内可找到的平行线使得，所以由可得，D说法正确；
故选：BD
12. 据统计，从1932年至1990年，历次所测乐山大佛高度均不一样.某校计划开展数学建模活动，打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备了三种工具：测角仪､米尺､量角器.下面是四个小组设计的测量方案，其中可能测量出大佛高度的方案有（ ）
A. 把两只佛脚底部看作两点，分别测量佛顶的仰角和的距离
B. 在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为，再面对大佛前行米，测得佛顶的仰角为
C. 高为的同学站在佛脚平台上，在该同学头顶和脚底分别测量佛顶的仰角
D. 在佛脚平台上寻找两点分别测量佛顶的仰角，再测量两点间距离和两点相对于大佛底部的张角
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据各选项的描述，结合正余弦定理的边角关系判断所测数据是否可以确定旗杆高度即可.
【详解】对于A：如果两点与佛像底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确．
对于B：
在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为，再面对大佛前行米，测得佛顶的仰角为,佛像高度为,
在中，,
在中，，
所以，即，佛像高度，故B正确；
对于C：如下图，
在中由正弦定理求，则佛像的高，故C正确；
对于D：如下图，
在佛脚平台上寻找两点分别测量佛顶的仰角，再测量两点间距离和两点相对于大佛底部的张角，
在直角三角形中用来表示,在中由余弦定理就可以计算出佛像高度，故D正确；
故选：BCD.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某校围棋社团､舞蹈社团､美术社团和篮球社团学生人数分别为，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出18人参加一项活动，则美术社团中选出的学生人数为__________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据抽样比即可求解.
【详解】美术社团中选出的学生人数为,
故答案为：4
14. 甲､乙两人进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为0.5，乙投篮命中的概率为0.6，且两人投篮是否命中相互没有影响，则两人各投篮一次，至多一人命中的概率是__________.
【答案】0.7
【解析】
【分析】根据独立事件概率公式以及对立事件的概率性质即可求解.
【详解】两人各投篮一次,两人均投中的概率为，
因此至多一人命中的概率是，
故答案为：0.7
15. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，为单位正交基底，则最小值是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用单位正交基底表示出，再利用数量积运算求模长即可求出的最小值.
【详解】由图可知，
则，
化简得，，即.
故答案为：.
16. 已知直四棱柱的棱长均相等，且，以为球心，为半径的球面与侧面的交线为半圆，且长为，则该四棱柱的体积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出辅助线，得到⊥平面，故以为圆心，为半径作圆，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为半圆，故，从而列出方程，解得，由于，故符合题意，求出各边长，得到该四棱柱的体积.
【详解】由题意得，连接，
因为直四棱柱的棱长均相等，所以为等边三角形，
取的中点，连接，则⊥，
又⊥平面，平面，所以⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
设直四棱柱的棱长为，则，
由勾股定理得，
以为圆心，为半径作圆，
以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为半圆，故，

故，解得，
此时，即，
解得，由于，故符合题意，
此时，该四棱柱的棱长为2，
故体积为；
故答案为：
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或推演步骤.
17. 已知平面向量.
（1）若，求实数的值；
（2）若与的夹角为，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的坐标运算，由数量积为0即可求解，
（2）根据夹角公式即可求解.
【小问1详解】
由可得，
由得，解得
【小问2详解】
，故，
解得
18. 为了丰富校园文化生活，培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素质，某中学举办了学校社团活动，开设的项目有4个运动类社团（篮球社､足球社､乒乓球社､羽毛球社）和2个艺术类社团（音乐社､美术社），一名学生从中随机抽取2个项目来参加活动.
（1）求抽取的2个项目都是运动类社团的概率；
（2）若从运动类社团和艺术类社团中各抽取1个，求这2个社团不包括篮球社但包括音乐社的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）（2）列举所有的基本事件，从中挑选符合条件的事件，即可由古典概型概率公式求解.
【小问1详解】
从6个社团任意抽取2个，所有的基本事件有
（篮球，足球），（篮球，兵兵），（篮球，羽毛），（篮球，音乐），（篮球，美术），
（足球，兵兵），（足球，羽毛），（足球，音乐），（足球，美术），
（兵兵，羽毛），（兵兵，美术），（兵兵，音乐），
（羽毛，音乐），（羽毛，美术），（音乐，美术）共计15种情况，
抽取的2个项目都是运动类社团有（篮球，足球），（篮球，兵兵），（篮球，羽毛），
（足球，兵兵），（足球，羽毛），（兵兵，羽毛）共有6种情况，
故抽取的2个项目都是运动类社团的概率为.
【小问2详解】
从运动类社团和艺术类社团中各抽取1个，（篮球，音乐），（篮球，美术），
（足球，音乐），（足球，美术），（兵兵，美术），（兵兵，音乐），
（羽毛，音乐），（羽毛，美术）共计8种情况，
这2个社团不包括篮球社但包括音乐社有（足球，音乐）（兵兵，音乐），（羽毛，音乐），共计3种情况，
故所求概率为.
19. 已知四棱锥中，，且是中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形可得线线平行，即可由线面平行的判定求证.
（2）根据线线垂直可得平面，即可由体积公式求解，
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，，
因为为的中点．所以，且，
因为，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面；
.
【小问2详解】
由于,
故，
又平面
故平面，
.
20. 某电力公司需要了解用户的用电情况（单位：度）.现随机抽取了该片区100户进行调查，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图（用户的用电量均不超过600度）.
（1）求；
（2）若每一组住户的用电量取该组区间中点值代替，估算该片区住户平均用电量；
（3）每户用电量不超过度的电费是0.5元/度，超出度的部分按1元/度收取，若该公司为了保证至少的住户电费都不超过0.5元/度，则至少应为多少（为整数）？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中各组概率之和为可得值；
（2）根据频率分布直方图中平均值计算公式计算即可；
（3）确定在第四组之间，根据第百分位数计算即可.
【小问1详解】
由频率分布直方图中各组概率之和为1得，
，
解得.
【小问2详解】
根据频率分布直方图中平均值计算公式得
平均值为.
【小问3详解】
由题意，第一组的频率为，
第二组频率为，
第三组频率为，
所以在第四组之间，为第百分位数，
即，
解得.
故至少应为.
21. 如图，在四边形中，是边长为2的正三角形，.现将沿边折起，使得平面平面，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）将问题转化为证明，；
（2）先用体积转化法求出点到平面的距离为，再根据求解.
【小问1详解】
因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，因为为中点，为正三角形，所以，
又因为平面，，所以平面.
【小问2详解】
设点到平面的距离为，与平面所成的角为，
由（1）可知，由题意可知，，，
则，，
由得，
所以，即与平面所成的角的正弦值为.
22. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知分别是三个内角的对边，点为的费马点，且.
（1）求；
（2）若，求的值；
（3）若，求实数的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，再根据正弦定理求解即可；
（2）利用等面积法列方程，结合数量积的运算公式即可求解；
（3）设，，，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案.
【小问1详解】
由已知可得，
即，
所以，整理得，
所以由正弦定理可得，
所以.
【小问2详解】
由（1）可得，所以三个内角都小于，
则由费马点的定义可知，
设，，，
由得，
整理得，
所以.
【小问3详解】
由费马点的定义可知，
设，，, ，
则由得，
由余弦定理可得，
，
，
所以由得，
即，
又因为，所以，
当且仅当结合解得时等号成立，
又，所以，解得或（舍去），
所以的最小值为.
【点睛】关键点睛：本题第（2）问的关键是利用等面积法得到，再根据向量数量积的定义求解；第（3）问的关键是设，，，推出，结合费马点的定义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式求解.