高考数学多选题专练——立体几何（提升）（原卷及解析版）

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A．该四棱台的高为B．
C．该四棱台的表面积为26D．该四棱台外接球的表面积为
答案：AD
详解：由棱台性质，画出切割前的四棱锥，
由于，，可知△ 与相似比为；
则，，则，则，该四棱台的高为，对；
因为，则与夹角为，不垂直，错；
该四棱台的表面积为，错；
由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在上，
在平面上中，由于，，则，即点到点与点的距离相等，则，该四棱台外接球的表面积为，对， 故选：AD．
2、如图，在直三棱柱中，，，､分别为，的中点，过点､､作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱柱外接球的表面积为
B．
C．若交于，则
D．将三棱柱分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为
答案：CD
详解：如图所示：将该三棱柱视为正方体的一部分，则三棱柱外接球的半径，，其表面积为，故A错误；
延长与交于点，连接交于，连接，则平面即为截面．
因为，是中点，所以是的中点，由与相似，得，得，而是的中点，所以与不平行且必相交，所以与截面不平行，故B项错误；
因为，又，所以在中，，故C项正确；延长交于点，则将三棱柱分成体积较大部分的体积为
，
所以剩余部分的体积为，所以体积之比为，故D项正确．
故选:CD．
3、在正方体中，，为的中点，是正方形内部一点（不含边界），则下列说法正确的是（ ）
A. 平面平面
B. 平面内存在一条直线与直线成角
C. 若到边距离为，且，则点的轨迹为抛物线的一部分
D. 以的边所在直线为旋转轴将旋转一周，则在旋转过程中，到平面的距离的取值范围是
答案：ACD
详解：A.如图， 连结，则，
因为平面，平面，所以，
且，平面，
所以平面，平面，
所以，同理，且，且平面，
所以平面，且平面，
所以平面平面，故A正确；

B.将正方体中，分离出四棱锥，取的中点，连结，
因为平面，，，
即，
则与平面所成角的最小值是，，
所以，
因为线面角是线与平面内的线所成的最小角，所以平面内不存在一条直线与直线成角，故B错误；

C.如图，取的中点，连结，平面，作于点，则
因为，则，即点到点的距离和点到的距离相等，即可点形成的轨迹是抛物线，故C正确；

D.连结交于点，取的中点，连结，
则点的运动轨迹是平面内以为圆心，为半径的圆，
易知，由，知，，且平面，
所以平面,平面，
所以平面平面，
，
如图，与圆的交点分别为，
当点位于点时，点到平面的距离分别取得最大值和最小值，
且距离的最大值为,
距离的最小值为,
所以点到平面的距离的取值范围是，故D正确.

4、如图，多面体由正四棱锥和正四面体组合而成，其中，则下列关于该几何体叙述正确的是（ ）
A. 该几何体的体积为B. 该几何体为七面体
C. 二面角的余弦值为D. 该几何体为三棱柱
答案：ACD
详解：
如图：在正四面体中中，为的中点，连接，连接作于，
则为的中心，为正四面体中的高，
因， ，，，
，
在正四面体中中，为的中点，所以，，
故为二面角的一个平面角，
如图：在正四棱锥中，由题意，
连接，交于点，连接，则为正四棱锥的高，
，，
，
该几何体的体积为，故A正确，
取的中点，连接，，
由题意正四棱锥的棱长都为1，所以，，
故即为二面角的一个平面角，
其中，，
在中，，故C正确，
因，可知二面角与二面角所成角互补，
故平面与为同一平面，同理，平面和平面也为同一平面，
故该几何体有5个面，B错误，
因四点共面，且和都为等边三角形，易知，且，故侧面为平行四边形，
又平面,平面，所以平面，
同理平面，且侧面为平行四边形，
又，平面，平面，
所以平面平面，又侧面为正方形，
故多面体即为三棱柱，故D正确，
故选：ACD
5、如图，在正四棱柱中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为
C. 三棱锥外接球的表面积为
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
答案：AB
详解：作辅助线如图．
对于A，因为由长方体的性质得，，由于，所以平面平面，平面，从而直线平面，故A正确；
对于B，由A知，平面平面，点在平面，所以；故B正确；
对于C，三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积为，故C错；
对于D，因为当时，最短，此时直线与平面所成角的正弦值的最大，先用等面积法求，
直线与平面所成角的正弦的最大值为，故D错； 故选：AB
6、如图，在边长为4的正方形中，点、分别在边、上（不含端点）且，将，分别沿，折起，使、两点重合于点，则下列结论正确的有（ ）．
A.
B. 当时，三棱锥的外接球体积为
C. 当时，三棱锥的体积为
D. 当时，点到平面的距离为
答案：ACD
详解：A选项：正方形
由折叠的性质可知：
又
面
又面，
；故A正确.
B选项：当时，
在中，，则
由A选项可知，
三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，
把三棱锥放置在长方体中，可得长方体的对角线长为，
三棱锥的外接球半径为，体积为，
故B错误
C选项：当时，
在中，，
，则
，故C正确；
D选项：设点到平面的距离为，则
在中，，
，则
，即故D正确； 故选：ACD
7、已知半径为球与棱长为1的正四面体的三个侧面同时相切，切点在三个侧面三角形的内部（包括边界），记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为，则（ ）
A. 有最大值，但无最小值B. 最大时，球心在正四面体外
C. 最大时，同时取到最大值D. 有最小值，但无最大值
答案：ABD
详解：对于AB，设球心为，正四面体为，的中心为，
则在上，，，
球与平面，平面，平面相切，与平面相切于点，
，，
因为，在中，，则
所以在中，，
因为，所以，有最大值，但无最小值，故A正确；
当，此时，
最大时，球心在正四面体外，故B正确；
对于CD，设，，，
所以，令，
令，解得：或（舍去），
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递减，
所以当时，，所以有最小值，但无最大值，故D正确，C错误.
故选：ABD.
8、在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（ ）
A. 当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值
B. 若平面，则AQ的最小值为
C. 若的外心为M，则为定值2
D. 若，则点Q的轨迹长度为
答案：ABD
详解：对于A，因为，又因为面， 面，所以面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，故A正确；
对于B，取的中点分别为，连接，
则易证明：，面，面，所以面，
又因为，，面，面，所以面，
，所以平面面，面，所以平面
当时，AQ有最小值，则易求出，所以重合，所以则AQ的最小值为，故B正确；
对于C，若的外心为M，，过作于点，
则.故C错误；
对于D，过作于点，易知平面，
在上取点，使得，则，
所以若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，
又因为所以，则圆弧等于，故D正确.
故选：ABD.
9、已知体积为2的四棱锥，底面是菱形，，，则下列说法正确的是（ ）

A. 若平面，则为
B. 过点P作平面，若，则
C. 与底面所成角的最小值为
D. 若点P仅在平面的一侧，且，则P点轨迹长度为
答案：BCD
详解：设到底面的距离为，
，
则当平面时，，则，即为或，A错误；
如图1，若平面，平面，则，又，
平面，
则平面，平面,故，又，
平面,
所以平面，平面,，B正确；
设与底面所成角为，又，
则，因为，则，
由于，所以
则与底面所成角的最小值为，C正确；

如图2，当，根据，得，即P点到底面的距离为，过A点作底面的垂线为l，过点P作交l于点O，则，点P的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，轨迹长度为，D正确.
故选：BCD

10、在正四棱台中，，，点在四边形内，且正四棱台的各个顶点均在球的表面上，，则（ ）
A. 该正四棱台的高为3
B. 该正四棱台的侧面面积是
C. 球心到正四棱台底面的距离为
D. 动点的轨迹长度是
答案：BCD
详解：对于A，取正方形的中心，正方形的中心，连接，，，
则平面，过点作于点，则平面，
，，，，，，
故，，，
，由勾股定理得，故A错误；
对于B，过点作于点，则，
故，正四棱台的侧面面积是，故B正确；
对于C，正四棱台的外接球球心在直线上，连接，，则，如图所示．
设，则，
由勾股定理得，，，解得，故C正确；
对于D，由勾股定理得，故点的轨迹为以为圆心，
以为半径的圆在正方形内部部分，如图，
其中，故，又，
由勾股定理得，
由于，，故，
故动点的轨迹长度是，故D正确．
故选：BCD
11、如图，八面体的每一个面都是边长为的正三角形，且顶点在同一个平面内，若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则（ ）
当为的中点时，异面直线与所成角为
当时，点的轨迹长度为
当时，点到的距离可能为
存在一个体积为的圆柱体可整体放入内
答案：
详解：
因为为正方形，连接与，相交于点，连接，则，，两两垂直，
故以为正交基地，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，，为的中点，则.
当为的中点时， ，，，
设异面直线与所成角为，，，故，A正确；
设为的中点，为的中点，则∥，平面，平面，
则∥平面， 又∥平面，又，设，
故平面∥平面，平面平面，
平面平面，则∥，则为的中点，
点在四边形内（包含边界）运动，则，
点的轨迹是过点与平行的线段，长度为4，B不正确；

当时，设，，，
，得，即，
即点的轨迹以中点为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧（如下图），
到的距离为，弧上的点到的距离最小值为，
因为，所以存在点到的距离为，C正确；

由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥内接最大圆柱的体积，
设圆柱底面半径为，高为，为的中点，为的中点, ，，

根据相似，得，即，，
则圆柱体积，
设，求导得，
令得，或，因为，所以舍去，即，
当时，，当时，，
即时有极大值也是最大值，有最大值，
，故
所以存在一个体积为的圆柱体可整体放入内，D正确.
故选：ACD.
12、棱长为2的正方体中，下列选项中正确的有（ ）
A. 过的平面截此正方体所得的截面为四边形
B. 过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为
C. 四棱锥与四棱锥的公共部分为八面体
D. 四棱锥与四棱锥的公共部分体积为
答案：ABD
详解：连接与线段上任意一点，过作交于，
所以过的平面截此正方体所得的截面为四边形，A对；

由上分析及正方体结构特征易知：四边形为平行四边形，
若为各线段上的中点时，四边形为菱形，
此时截面最小面积为；
根据正方体对称性，从中点向或运动时，四边形面积都是由小变大，
当与重合时，截面最大面积为；
综上，过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为，B对；
令交于，交于，交于，
显然是各交线的中点，若是中点，连接，
所以四棱锥与四棱锥的公共部分为六面体，C错；
其体积，D对.
故选：ABD
13、已知正方体 的各个顶点都在表面积为的球面上， 点为该球面上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
有无数个点，使得
有无数个点，使得
若点，则四棱锥的体积的最大值为
若点，则的最大值为
答案：
14、已知菱形的边长为2，．将沿着对角线折起至，连结．设二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若四面体为正四面体，则
B. 四面体的体积最大值为1
C. 四面体的表面积最大值为
D. 当时，四面体的外接球的半径为
答案：BCD
详解：如图，取中点，连接，则，，为二面角的平面角，即．
若是正四面体，则，不是正三角形，，A错；
四面体的体积最大时，平面，此时到平面的距离最大为，而，所以，B正确；
，
易得，，
未折叠时，折叠到重合时，，中间存在一个位置，使得，则，，此时取得最大值2，
所以四面体的表面积最大值为，C正确；
当时，如图，设分别是和的外心，在平面内作，作，，则是三棱锥外接球的球心，
由上面证明过程知平面与平面、平面垂直，即四点共面，
，则，，，
为球半径，D正确．
故选：BCD．
15、四棱锥的底面为正方形，与底面垂直，，，动点在线段上，则（ ）
A. 不存在点，使得B. 的最小值为
C. 四棱锥的外接球表面积为D. 点到直线的距离的最小值为
答案：BD
详解：对于A：连接，且，如图所示，当在中点时，
因为点为的中点，所以，因为平面，
所以平面，又因为平面，所以，
因为为正方形，所以.
又因为，且，平面，所以平面，
因为平面，所以，所以A错误；
对于B：将和所在的平面沿着展开在一个平面上，如图所示，
则的最小值为，直角斜边上高为，即，
直角斜边上高也为，所以的最小值为，所以B正确；
对于C：易知四棱锥的外接球直径为，
半径，表面积，所以C错误；
对于D：点到直线距离的最小值即为异面直线与的距离，
因为，且平面，平面，所以平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，过点作，
因为平面，所以,又,且,
故平面，平面，所以，因为，
且，平面，所以平面，所以点到平面的距离，
即为的长，如图所示，
在中，，，可得，
所以由等面积得，即直线到平面的距离等于，所以D正确，
故选：BCD.
16、在四棱锥中，是矩形，为棱上一点，则下列结论正确是（ ）
A. 点到平面的距离为
B. 若，则过点的平面截此四棱锥所得截面的面积为
C. 四棱锥外接球的表面积为
D. 直线与平面所成角的正切值的最大值为
答案：ACD
详解：如图，
对于A，因为，又面，
所以面，
所以点到平面的距离为，
又因为，
所以点到平面的距离为，故A正确；
对于B，因为，所以点为棱的中点，
取中点，连接，可得平面即平面截此四棱锥所得截面，
且由于是的中点，点为棱的中点，
所以在中，是的中位线，则，，
又因为四边形是矩形，则，所以，
因面，
面，面，
所以四边形是以为下底、为上底，为高的直角梯形，
因为，在等腰三角形中，，且平分，
则，
则平面截此四棱锥所得截面的面积为，故B错误；
对于C，又因为，所以，
所以，即，其中为外接圆半径，
因为面，
所以四棱锥外接球的半径为，
所以四棱锥外接球的表面积为，故C正确；
对于D，因为面，所以直线与平面所成角为，
所以当点与点重合时，最大，积，故D正确.
故选：ACD.
17、如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A. 若点满足，则动点的轨迹长度为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为
D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为
答案：BCD
详解：对于A，易知平面平面，故动点的轨迹为矩形，
动点的轨迹长度为矩形的周长，即为，所以错误；
对于B，因为，而等边的面积为定值，
要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大，
易知点是正方体到平面距离最大的点，
所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体，
其高为，所以，B正确；
对于C：连接AC，，以B为圆心，为半径画弧，如图1所示，
当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，
又，
弧长度，故点的轨迹长度为，故正确；
对于D，取的中点分别为，
连接，如图2所示，
因为平面平面，故平面，
，平面平面，故平面；
又平面，故平面平面；
又，
故平面与平面是同一个平面.
则点的轨迹为线段：
在三角形中，
则，
故三角形是以为直角的直角三角形；
故，故长度的最大值为，故正确.
故选：BCD.
18、如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ）
A. 当时，平面
B. 任意，三棱锥的体积是定值
C. 存在，使得与平面所成的角为
D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为
答案：ACD
详解：如图所示建系，，
所以，
从而，
所以，
又面，
所以面，
时，与重合，平面为平面，
因为面，平面，A对.
不与平面平行，到面的距离不为定值，
三棱锥的体积不为定值，B错.
设面的法向量为，
则，令，解得，
即可取，
而，
所以与平面所成角的正弦值为，
又，
所以，
所以，
又面，
所以面，
当在时，与平面所成角的正弦值为，此时与平面所成角小于，
当在时，与平面所成角为，
所以存在使与平面所成角为，C正确.
，
设平面的法向量为，
不妨设，则.
，则，平面的法向量，显然球心，
到面的距离，外接球半径，
截面圆半径的平方为，所以，D对.
故选：ACD.
19、如图，在棱长为1的正方体中，E是线段上的动点（不包括端点），过A，，E三点的平面将正方体截为两个部分，则下列说法正确的是（ ）
A. 正方体的外接球的表面积是正方体内切球的表面积的3倍
B. 不存在一点E，使得点和点C到平面的距离相等
C. 正方体被平面所截得的截面的面积随着的增大而增大
D. 当正方体被平面所截得的上部分的几何体的体积为时，E是的中点
答案：ABC
详解：对于A，正方体外接球的半径为，内切球的半径为，可得正方体的外接球的表面积是正方体内切球的表面积的倍，故A正确；
对于B，由点和点B到平面的距离相等，若点和点C到平面的距离相等，
必有平面，又由，可得平面，与平面矛盾，
故B正确；
对于C，如图，
在上取一点F，使得，连接，设，
由，可得平面为过A，，E三点的截面，
在梯形中，，，，，
梯形的高为，
梯形的面积为，
令，有.
可得函数单调递增，可得正方体被平面所截得的截面面积随着的增大而增大，
故C正确；
对于D选项，，，
被平面所截得的上部分的几何体的体积为，整理为，
解得，故D错误.
故选：ABC
20、正方体的棱长为1，分别为的中点．则（ ）
A．直线与直线垂直B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为D．点和点到平面的距离相等
详解：利用向量法判断异面直线所成角；利用面面平行证明线面平行；作出正方体的截面为等腰梯形，求其面积即可；利用等体积法处理点到平面的距离.
对选项A：（方法一）以点为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，则、、、、、.从而，，从而，所以与直线不垂直，选项A错误；
（方法二）取的中点，连接，则为直线在平面内的射影，与不垂直，从而与也不垂直，选项A错误；
取的中点为，连接、，则，，易证，从而，选项B正确；
对于选项C，连接，，易知四边形为平面截正方体所得的截面四边形（如图所示），且，，所以，而，从而选项C正确；
对于选项D：（方法一）由于，而，而，，所以，即，点到平面的距离为点到平面的距离的二倍.从而D错误.
（方法二）假设点与点到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于点，易知不是的中点，故假设不成立，从而选项D错误.