广东省湛江市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（Word版附答案）

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一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1 以 2i-5 的虚部为实部,以 5i+2i2 的实部为虚部的新复数是 ( )
A. -5+i B. 2+i C. 2-2i D. 5+5i
2. 如图, 下边长方体中由右边的平面图形围成的是 ( )
A. B.
C. D.
3. 下列各组数的方差从小到大排序是 ( )
(1) 6,6,6,6,6,6,6,6,6; (2) 5,5,5,6,6,6,7,7,7 ;
(3) 4,4,5,5,6,7,7,8,8 ; (4) 3,3,3,3,6,9,9,9,9 .
A. (1) (2) (3) (4) B. (4) (3) (2) (1) C. (3) (1) (2) (4) D. (2) (1) (3) (4)
4. 圆台一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,其侧面积为 84π ,则较小底面的半径为 ( )
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
5. 已知点 O、N、P 在 △ABC 所在平面内,且 OA=OB=OC,NA+NB+NC=0 ,
PA•PB=PB•PC=PC•PA 则点 O、N、P 依次是 △ABC 的
A. 外心、重心、垂心 B. 重心、外心、内心
C. 重心、外心、垂心 D. 外心、重心、内心
6. 在等腰 △ABC 中, ∠BAC=120∘,AD 平分 ∠BAC 与 BC 相交于点 D ,向量 BD 在向量 BA 上的投影向量为 ( )
A. 32BA B. 34BA C. 32BA D. 34BA
7. 掷两枚质地均匀的骰子,设 A= “第一枚出现奇数点”, B= “第二枚出现偶数点”,则 A 与 B 的关系为 ( ).
A. 互斥 B. 包含 C. 互为对立 D. 相互独立
8. 已知直线 a,b 与平面 α,β,γ ,能使 α⊥β 的充分条件是 ( )
A. α⊥γ,β⊥γ B. a//α,a⊥β C. a//α,a//β D. α∩β=a,b⊥a,b⊂β
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得部分分.
9. △ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 ccsB+bcsC=a2 ,则下列说法正确的是
A. a=2 B. 若 B+C=2A ,则 △ABC 面积的最大值为 34
C. △ABC 不可能为锐角三角形 D. 若 O 为 △ABC 的外心,则 BC⋅BO=12
10. 已知 a,b∈R ,方程 x2+ax-b=0 有一个虚根为 1+i,i 为虚数单位,另一个虚根为 z ,则
A. 该方程存在实数根 B. a=-2 C. z=1-i D. z2024=21012
11. 已知一个不透明袋子中装有大小、质地完全一样的 1 个白球、 1 个红球、 2 个黑球, 现从中依次不放回地随机抽取 2 个小球,事件 A= “取到红球和黑球”,事件 B= “第一次取到黑球”,事件 C= “第二次取到黑球”,则下列结论正确的是
A. PB+PC=1 B. PA+B=56 C. PBC=16 D. PAC=PAPC
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知复数 z1=a+bi,z2=4+aia,b∈R ,若 z113 已知 e1,e2 是两个不共线的向量, a=e1-2e2,b=2e1+ke2 . 若 a 与 b 是共线向量,则实数 k= .
14. 如图,透明塑料制成的长方体 ABCD-A1 B1C1D1 内灌进一些水,固定容器底面一边 BC 于水平地面上,再将容器倾斜, 随着倾斜度不同, 有下面五个命题:
(1) (2) (3)
①有水的部分始终为四棱柱形;
②没有水的部分始终呈棱柱形;
③水面 EFGH 所在四边形的面积为定值;
④棱 A1D1 始终与水面所在平面平行;
⑤当容器倾斜如图 (3) 所示时, BE⋅BF 是定值. 其中所有正确命题的序号是 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
如图, PA⊥ 平面 ABCD ,底面 ABCD 为矩形, AE⊥PB 于点 E,AF⊥PC 于点 F .
（1）求证: AE⊥ 平面 PBC ;
（2）设平面 AEF 交 PD 于点 G ,求证: AG⊥PD .
16. (15 分)
已知 △ABC 的三个角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,
(1) 已知 a=33,b=4,c=5 ,求 BC 边上中线长。
(2) 请用 a,b,c 表示 BC 边的中线长,并写出推导过程。
17. (15 分)
为检测同学体能, 学校从高一年级随机抽取了 100 名同学参加体能测试,
并将成绩分数分成五组: 第一组 [45,55) ,第二组 [55,65) ,第三组 [65,75) ,
第四组 [75,85) ,第五组 85,95 ,绘制成如图所示的频率分布直方图. 已知
第一、二组的频率之和为 0.3 , 第一组和第五组的频率相同.
(1) 估计这 100 名同学体能成绩分数的平均分和第 66 百分位数;
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取 20 人进行成绩分析, 第二组同学成绩的平均数和方差分别为 62和 40, 第四组同学成绩的平均数和方差分别为 80 和 70 , 据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差.
18. (17 分)
Matlab 是一种数学软件, 用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域, 推动了人类基础教育和基础科学的发展, 某中学举行了 Matlab 科普讲座后进行了问答比赛,已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛,甲、乙答对每一道题的概率分别为 12 与 p , 乙连续 2 次答错的概率为 116 .
(1)求乙答对题的概率;
(2) 若甲、乙两人各回答 2 次, 求两人共答对 3 次的概率.
19. (17 分)
如图,矩形 ABCD 中, AB=1,BC=2,∠ABC=90∘ . 过顶点 C 作对角线 BD 的垂线,交对角线 BD 于点 O ,交边 AD 于点 Q ,现将 △ABD 沿 BD 翻折,形成四面体 PBCD ,如右图.
(1) 求四面体 PBCD 外接球的体积;
(2) 求证: 平面 PBD⊥ 平面 OCQ ;
(3)若点 G 为棱 BC 的中点,请判断在将 △ABD 沿 BD 翻折过程中,直线 PG 能否平行于面 OCQ . 若能请求出此时的二面角 P-BD-C 的大小; 若不能,请说明理由.