广东省湛江市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份广东省湛江市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了 过和两点直线的斜率是， 若圆被直线平分，则， 定义“等方差数列”等内容，欢迎下载使用。

说明：本卷满分150分.考试用时120分钟.
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 过和两点直线的斜率是（ ）
A. 1B. C. D.
2. 用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（ ）
A. 11B. 13C. 63D. 78
3. 若圆被直线平分，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
4. 函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（ ）
A. 在处的切线的斜率大于0B. 是函数的极值
C. 在区间上不单调D. 是函数的最小值
5. 某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生调查，结果形成以下列联表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间（ ）
参考数据及公式如下：
A. 不能根据小概率的的独立性检验认为两者有关
B. 根据小概率的的独立性检验认为两者有关
C. 根据小概率的的独立性检验认为两者有关
D. 根据小概率的的独立性检验认为两者无关
6. 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（ ）
A. 20B. 25C. 225D. 450
7. 如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
8. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前24项和为（ ）
A. B. 3C. D. 6
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图，在棱长为2正方体中，点P是线段上的点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在点E，使得平面
B. 当点E为线段的中点时，点到平面的距离为2
C. 点E到直线的距离的最小值为
D. 当点E为棱的中点，存在点，使得平面与平面所成角为
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.
12. 展开式中项的系数为________.
13. 已知，若为奇函数，则______.
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为______．
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记等差数列的前项和为，已知，且．
（1）求和；
（2）设，求数列前项和．
16. 四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点．
（1）求证: 平面平面；
（2）当为中点时， 求二面角的正弦值．
17. 已知F1，F2分别为椭圆W：的左、右焦点，M为椭圆W上的一点．
（1）若点M的坐标为（1，m）（m>0），求△F1MF2的面积；
（2）若点M的坐标为（x0，y0），且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的范围．
18. 学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.
（1）求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
（2）记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望；
（3）若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望.
19 已知函数.
（1）若曲线在处的切线为x轴，求a的值；
（2）在（1）条件下，判断函数的单调性；
（3），若是的极大值点，求a的取值范围.喜欢课外阅读
不喜欢课外阅读
合计
男生
5
20
25
女生
15
10
25
合计
20
30
50
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10828
湛江市2023—2024学年度第二学期期末调研考试
高二数学
说明：本卷满分150分.考试用时120分钟.
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 过和两点的直线的斜率是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由斜率公式可得.
【详解】根据斜率公式求得所给直线的斜率.
故选：A
2. 用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（ ）
A. 11B. 13C. 63D. 78
【答案】D
【解析】
【分析】根据线性回归方程为一定过点，先求出，代入回归方程即可得出，进而可得的值.
【详解】依题意，
因为，所以，
因线性回归方程为一定过点，
所以，
所以.
故选：D.
3. 若圆被直线平分，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由题设，将圆心坐标代入直线方程即可求解.
【详解】由题意得圆心在直线上，
则，解得.
故选：D.
4. 函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（ ）
A. 在处的切线的斜率大于0B. 是函数的极值
C. 在区间上不单调D. 是函数的最小值
【答案】A
【解析】
【分析】根据的图像分析的单调性和最值，即可判断BCD；对于A：根据导数的几何意义分析判断.
【详解】由图象可知：当时，；当时，（当且仅当时，等号成立）；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则为的最小值（也为极小值），无最大值，故BCD错误；
对于A：可知，即在处的切线的斜率大于0，故A正确；
故选：A.
5. 某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生调查，结果形成以下列联表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间（ ）
参考数据及公式如下：
A. 不能根据小概率的的独立性检验认为两者有关
B. 根据小概率的的独立性检验认为两者有关
C. 根据小概率的的独立性检验认为两者有关
D. 根据小概率的独立性检验认为两者无关
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的数表，求出的观测值，再与临界值比对即得.
【详解】由数表知，，而，
所以根据小概率值的独立性检验认为两者有关．
故选：B
6. 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（ ）
A. 20B. 25C. 225D. 450
【答案】C
【解析】
【分析】根据分步计数原理，结合组合数公式，即可求解.
【详解】甲和乙的选择方法分别有种方法，
所以甲和乙不同的选择方法有种.
故选：C
7. 如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先得到，再平方求解.
【详解】解：由题意得，
故，
，
则.
故选：C.
8. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前24项和为（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】先由等方差数列的定义得到是公差为2的等差数列并求出，进而求出，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】依题意，，即是公差为2的等差数列，而，
于是，即，
则，
所以数列的前24项和为：.
故选：D
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得，代入公式即可一一判断.
【详解】依题，，解得故A错误，B正确；
则，，故C错误，D正确.
故选：BD.
10. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】直接使用古典概型方法可以计算得出，，，，即可判断A选项，再结合条件概率公式和全概率公式即可确定B，C，D选项的正确性.
【详解】对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以，故A正确；
对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，故B错误；
对于C，若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，所以，故C正确；
对于D，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以，结合以上分析，
所以，故D正确.
故选：ACD
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是线段上的点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在点E，使得平面
B. 当点E为线段的中点时，点到平面的距离为2
C. 点E到直线的距离的最小值为
D. 当点E为棱的中点，存在点，使得平面与平面所成角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解A，求解平面法向量，即可根据点面距离，以及点线距离，求解BC，利用两平面的法向量的夹角即可求解D.
【详解】对A选项，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建系如图：
则根据题意可得,0,,,0,,,0,,,2,,，
设,2,，
所以，，，
假设存在点，使得平面，
则，，
解得，
所以存在点，使得平面，此时点与点重合，故A正确；
对于B，点E为线段的中点时，,,,
设平面的法向量为，则，取，则，
,故点到平面的距离为，故B正确，
对C选项,,2,，,
点到直线的距离为，
故当时，即点为中点时，此时点到直线的距离的最小值为，故C错误；
对D选项，点E为线段的中点时，,,,
设平面的法向量为，则，取，则，
设,,,
设平面的法向量为，则，取，则，
若存在点，使得平面与平面所成角为，
则，化简得，解得或，由于，所以，故D正确，
故选：ABD．
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.
12. 展开式中项的系数为________.
【答案】30
【解析】
【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可求出指定项的系数.
【详解】展开式的通项表达式为，
当时，，
.
故答案为:30.
13. 已知，若为奇函数，则______.
【答案】0
【解析】
【分析】求导后利用奇函数的性质得到，代入计算再结合指数函数的性质可得结果.
【详解】，
因为为奇函数，
所以，即，
化简可得，
因为，
所以.
故答案为：0.
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】引入参数，结合双曲线定义、正弦定理表示出，，，，，在中由余弦定理可得，在中，运用余弦定理可得出，结合离心率公式即可得解.
【详解】
在中，设，由正弦定理得，则，
所以由双曲线的定义可知，，
故，
在中，，解得，
所以在中，，，，
又，解得，
所以离心率．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：关键在于适当引入参数，结合已知得出参数与的关系，进而结合离心率公式即可得解.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记等差数列的前项和为，已知，且．
（1）求和；
（2）设，求数列前项和．
【答案】（1）；；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和；
（2）利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
设的公差为，因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
【小问2详解】
，
所以
．
16. 四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点．
（1）求证: 平面平面；
（2）当为中点时， 求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质得到，又由线面垂直的性质得到，即可得到平面，从而得证；
（2）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
底面是正方形，，
平面，平面，
，又，，平面，
平面，又平面，
平面平面．
【小问2详解】
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取，
设平面的法向量为，则，取，
设二面角为，由图可知二面角为锐二面角，
所以，
所以，即二面角的正弦值为.
17. 已知F1，F2分别为椭圆W：的左、右焦点，M为椭圆W上的一点．
（1）若点M的坐标为（1，m）（m>0），求△F1MF2的面积；
（2）若点M的坐标为（x0，y0），且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入法求得值，然后求出焦点坐标后可得三角形面积；
（2）由余弦定理可得．
【小问1详解】
因为点M（1，m）在椭圆上，
所以，
因为m>0，所以，
因为a＝2，b＝1，所以，所以，，
所以
【小问2详解】
因为点M在椭圆上，所以－2≤x0≤2，
由余弦定理得
cs∠F1MF2＝＝，
因为∠F1MF2是钝角，所以，
又因为，所以，解得，
故横坐标x0的范围为.
18. 学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.
（1）求在有女生参加活动条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
（2）记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望；
（3）若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）13个工时
【解析】
【分析】（1）根据条件概率公式，结合组合的定义、古典概型公式进行求解即可；
（2）根据超几何分布的概率公式，结合数学期望公式进行求解即可；
（3）根据数学期望公式和性质进行求解即可.
【小问1详解】
设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件.
则，
所以
【小问2详解】
依题意知服从超几何分布，且，
，
所以的分布列为：
；
【小问3详解】
设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为，
则的所有可能取值为，的所有可能取值为，
，，
，，
有名女生参加活动，则男生有名参加活动.，
所以.
即两人工时之和的期望为13个工时.
19. 已知函数.
（1）若曲线在处的切线为x轴，求a的值；
（2）在（1）的条件下，判断函数的单调性；
（3），若是的极大值点，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）上单调递减，上单调递增
（3）
【解析】
【分析】（1）求导，然后根据列式计算即可；
（2）求导，然后通过二次求导确定导函数的正负，进而确定函数的单调性；
（3）求导，然后因式分解，确定导函数的零点，讨论零点大小，进而确定极值点.
【小问1详解】
由已知，则，
由于曲线在处的切线为x轴，
所以，
所以；
【小问2详解】
当时，，令，
则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，恒成立，，，
所以当时，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
【小问3详解】
由已知，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，恒成立，且，
当时，，即在上有且只有一个零点，设为，
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，在上单调递增，
此时在处取极小值，不符合题意，舍去；
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，上单调递增，
此时在处取极大值，符合是的极大值点，
当时，即，解得，
此时恒成立，无极值点，
综上所述：a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：函数的极值跟导函数的零点有关，当零点不确定的时候，就需要对零点的存在性以及零点的大小进行分类讨论，从而达到确定极值点的目的.
喜欢课外阅读
不喜欢课外阅读
合计
男生
5
20
25
女生
15
10
25
合计
20
30
50
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1
2