[数学][期末]广东省潮洲市2023-2024学年高二下学期期末检测试题(解析版)

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2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上断的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回.
一、选择题（本题共11道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至11小题为多项选择题）（一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）
1. 函数在处的切线斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，则，，
所以函数在处的切线斜率为，
故选：B.
2. 某校高二级学生参加某次考试，其数学成绩，试卷满分150分，统计结果显示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为， ，
所以，
所以，
所以．
故选：B
3. 已知随机变量的分布列为：
则（ ）．
A. 0.4B. 1.2C. 1.6D. 2.8
【答案】D
【解析】依题意可得，
所以．
故选：D.
4. 的展开式中的系数为（ ）．
A. 60B. 120C. 15D. 30
【答案】A
【解析】二项式展开式的通项为：（且），
故该展开式中的系数为．故选：A
5. 已知函数，若在上单调递减．则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，
因为在上单调递减，所以在上恒成立，
即，得在上恒成立，
令，易得在单调递增，
所以，即，所以．
故选：B.
6. 椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与长轴垂直的直线交椭圆于，两点．若为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，因为为等边三角形，则，，
因为，所以椭圆的离心率为．
故选：A.
7. 近年来，潮州以其品种繁多的美味小吃、独特的文化魅力和民俗风情吸引八方游客.据统计，潮州古城区2019年至2023年（用表示年份）接待的游客人数（十万人）的数据如下表：
由此得到关于的回归直线方程为，则可以预测潮州古城区2024年接待的游客人数约为（ ）十万人
A. 36.5B. 37C. 35.2D. 35.6
【答案】D
【解析】由题意得，，代入，得，解得，
所以关于的回归直线方程为，当时，．
故选：D
8. 把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个.其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为（ ）
A. 0.59B. 0.41C. 0.48D. 0.64
【答案】A
【解析】设A＝“从第一个盒子中取得标有字母A的球”，
B＝“从第一个盒子中取得标有字母B的球”，
R＝“第二次取出的球是红球”，
则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，
P(R|B)＝，
P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝×＋×＝0.59.
（二）多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 是的极小值，是的极大值
B. 是的极大值，是的极小值
C. 在上单调递增
D. 在上单调递减
【答案】BD
【解析】由图知，，，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
所以的极大值为，极小值为，．
故选：BD
10. 某所高中的辩论队要从5名高一学生和4名高二学生中选出4人去参加一场辩论比赛．下列说法正确的是（ ）
A. 被选中的4人中恰有1名高一学生的概率为
B. 被选中的4人中恰有1名高二学生的概率为
C. 如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有105种选法
D. 如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有140种选法
【答案】AC
【解析】被选中的4人中恰有1名高一学生的概率为，A正确；
被选中的4人中恰有1名高二学生的概率为，B错误；
如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，
包含两种情况，第一种情况，甲和乙都不入选，有种；
第二种情况，甲乙恰有1人入选，有种选法，
则如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，
共有种选法，C正确，D错误．
故选：AC
11. 如图、在长方体中，，，，，分别是，，的中点．则下列说法正确的是（ ）
A. 平面
B.
C. 三棱锥的体积为
D. 若点在平面内，且平面，则线段长度的最小值为
【答案】ABC
【解析】对于A，连结，．，分别是，的中点．
则，平面，平面，
所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
又平面，∴平面平面，
又∵平面，∴平面，∴A正确；
对于B，由题意知四边形为正方形，则，
又平面，平面，
故，平面，
∴平面．
又∵平面，∴，故B选项正确；
对于C，，∴C选项是正确的；
对于D，因为平面，而平面平面，且点在平面内，
则点的轨迹是平面与平面的交线，即直线，
所以的最小值在时取到．
此时在中，，，，上的高为，
∵，∴，故D错误．
故选：ABC
二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 有2名老师和3名学生站成一排照相，若这2名老师都不站在两端，则不同的站法共有________种．（用数字作答）
【答案】
【解析】2名老师都不站在两端，故有种站法；剩下3个位置，站3名学生，有种站法，
故不同的站法共有种．
故答案为：.
13. 已知函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】，∴，
∵曲线存在与直线垂直的切线，
∴有解，∴，
故实数的取值范围是．
故答案为：
14. “杨辉三角”最早出现在中国数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，是中国古代数学文化的瑰宝之一.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为、⋯，第行的第3个数字为，则________，数列的前项和________．
【答案】① ②
【解析】由题意知，．
故答案为：，.
三、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 在公差为3的等差数列中，，数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和．
解：（1）∵等差数列满足，公差为3，
所以， 所以 ，
则 ，
∴数列的通项公式为；
（2）由（1）知，，
∴
所以⋯
，
所以
16. 已知函数在处取得极值．
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最小值．
解：（1）由题意得的定义域，且
因为函数在处取值得极值，所以
解得
此时，，
令得或，令得，
故函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意，所以．
（2）由（1）得，，
令，得，所以函数单调递增，令，得，所以函数在单调递减，所以函数在处取极小值，
所以当时，的最小值为
17. 致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在内，为成绩优秀．
（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；
（2）某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分．若学生甲成绩在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数的分布列并求其数学期望．
参考公式：，．
附表：
解：（1）
假设: 此次竞赛成绩与性别无关.
,
所以没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；
（2）p,
P(X=0)=
P(X=5)=,
P(X=10)=,
X的分布列为：
期望值E(X)=5×+10×=2.5（分）
18. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是正三角形，，点、分别在、上，且，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
解：（1）在线段上取一点，使，连结、，
在中，因为，，所以，
所以且，
因为，，且，
所以，且，
所以且，
故四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面， 所以平面．
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系，
因为底面是正三角形，，所以点，点，
点，点，点，
因为，所以点，
则，，，
设平面的一个法向量为．
由，令，
得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
则，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为⋅
19. 已知抛物线的焦点到点的距离为，，为抛物线上两个动点，且线段的中点在直线上．
（1）求抛物线的方程；
（2）求面积的取值范围．
解：（1）焦点，，由焦点到点的距离为，
得，解得，所以抛物线方程为．
（2）如图所示，显然，直线的斜率不为0，
设直线的方程为：，，，
联立方程组，消去得,
所以，，且（*）,
所以线段的中点的纵坐标为,
因为点在直线上，所以，所以,
因为，，所以，
即,
将，代入上式，所以,
代入（*）得，化简得，所以,
点到的距离,
,
所以,
将代入上式，得,
因为
所以.
1
2
3
4
5
0.1
0.3
0.1
0.1
1
2
3
4
5
12
15
19
24
30
成绩
人数
5
10
15
25
20
20
5
优秀
非优秀
合计
男
10
女
35
合计
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
优秀
非优秀
合计
男
10
40
50
女
15
35
50
合计
25
75
100
X
0
5
10
P