河南省郑州市二七区2023-2024学年八年级下学期数学期中复习题（二）（含解析）

这是一份河南省郑州市二七区2023-2024学年八年级下学期数学期中复习题（二）（含解析），共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列不等式变形正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，且，则
C. 若，则D. 若，则
3. 已知：如图，．
求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角．
下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾．
②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．
③假设有两个（或三个）直角，不妨设．
④∵，
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A. ④③①②B. ③④②①C. ①②③④D. ③④①②
4. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 18
5. 在数轴上表示不等式 的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 亚运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为元，并以每件元的价格出售，亚运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润不低于，根据题意可列出来的不等式为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，中，，其中点D为的中点，若，，则阴影部分的面积是（ ）

A 56B. 28C. 14D. 无法确定
8. 如图，将绕点C顺时针方向旋转得，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，、分别垂直平分和，垂足为，．且分别交于点，．若，则的度数为( )
A. B. C. D.
10. 如图，在等边三角形中，是边上的中线，且，是上的一个动点，是边的中点，的最小值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. “等边对等角”逆命题是________________________________．
12. 如图，正比例函数（k是常数，）的图象与一次函数的图象相交于点P，点P的纵坐标为4，则不等式的解集是_____．

13. 如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是______．

14. 如图，直角三角形中，，，将直角三角形沿方向平移2个单位长度得到直角三角形，与交于点，且，则图中阴影部分面积为______．
15. 如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②为等腰直角三角形；③平分；④．正确的是______．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16. 若不等式的解集为，求代数式的值．
17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）的面积为______________；
（2）将向右平移4个单位长度得到，请画出；
（3）画出关于点O中心对称图形；
（4）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______________．
18. 如图，在和中，，，与交于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）求证：垂直平分．
19. 近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村座落在两相交公路内（如图所示）． 医疗站必须满足下列条件：（1）使其到两公路距离相等，（2）到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确定P点的位置．（不写作法，要保留作图痕迹）
20. 若a、b、c是的三边，且a、b满足关系式，c是不等式组的最大整数解，判断的形状．
21. 如图，于E，于F，若、，
（1）求证：平分；
（2）已知，，求的长．
22. “人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度，某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元．
（1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？
（2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．
23. （）操作发现：如图，在五边形中，，试猜想之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：
将绕点逆时针旋转至，由，得，即点、三点共线，易证________，故之间的数量关系是________；
（）类比探究：如图②，在四边形中，，点分别在边的延长线上，，连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明；
（）拓展延伸：如图，在中，，点均在边上，且，若，请在图中作出辅助线，并直接写出的长：________．
详细答案与解析
考试范围：八下第一、二、三章；考试时间：100分钟；满分120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的识别．熟练掌握中心对称图形的定义：一个图形绕一点旋转180度后，与自身重合，是解题的关键．根据中心对称图形的定义，进行判断即可．
【详解】解：由中心对称图形的定义可得A正确，B、C、D错误
故选：A．
2. 下列不等式的变形正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，且，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，进行分析即可．
【详解】解：A、若，则，故原变形错误，故此选项不符合题意；
B、若，且，则，故原变形错误，故此选项不符合题意；
C、若，当时，则，故原变形错误，故此选项不符合题意；
D、若，由题分析得，不等式两边同时除以正数，则，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：D．
3. 已知：如图，．
求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角．
下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾．
②因此，三角形有两个（或三个）直角假设不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．
③假设有两个（或三个）直角，不妨设．
④∵，
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A. ④③①②B. ③④②①C. ①②③④D. ③④①②
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了反证法步骤，首先需假设原命题的反面成立即第一步为③；进而得到，进而得到，这与“三角形内角和等于”相矛盾，则假设不成立，据此可得答案．
【详解】解：根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②，
故选D．
4. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】根据角平分线的尺规作图可得平分．作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：过点E作，如图所示：
由题意可知：平分，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
5. 在数轴上表示不等式 的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集．先解不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解．
【详解】解：，
解得：，
数轴上表示不等式的解集

故选：B．
6. 亚运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为元，并以每件元的价格出售，亚运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润不低于，根据题意可列出来的不等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用．设售价可以按标价打折，根据“每件衣服的利润不低于”即可列出不等式．
【详解】解：按标价打折出售，根据题意，得
．
故选：B．
7. 如图，中，，其中点D为的中点，若，，则阴影部分的面积是（ ）

A. 56B. 28C. 14D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三线合一定理，全等三角形的性质与判定，先由三线合一定理得到，再证明，推出，则．
【详解】解：∵，其中点D为中点，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8. 如图，将绕点C顺时针方向旋转得，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先利用旋转的性质得到，则根据，利用直角三角形两锐角互余可计算出，从而得到的度数．
【详解】解：∵绕点C顺时针方向旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
9. 如图，在中，、分别垂直平分和，垂足为，．且分别交于点，．若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边对等角，由线段垂直平分线的性质得，则，再由三角形内角和定理得，于是得到结论．
【详解】解：∵分别垂直平分和，
∴，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选C
10. 如图，在等边三角形中，是边上的中线，且，是上的一个动点，是边的中点，的最小值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质，连接，由等边三角形的性质可得垂直平分，得出，进而得出，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为，由是边的中点，得出，进而得出，即可得解．
【详解】解：如图，连接，，
是等边三角形，是中线，
垂直平分，
，
，
当点、、三点共线时，的值最小，最小值为，
是边的中点，
，
，
的最小值为，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. “等边对等角”的逆命题是________________________________．
【答案】等角对等边
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理，交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．
【详解】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边；
故答案为：等角对等边．
12. 如图，正比例函数（k是常数，）的图象与一次函数的图象相交于点P，点P的纵坐标为4，则不等式的解集是_____．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查利用两条直线的交点求不等式的解集，先求出点的横坐标，找到直线在直线上方时的取值范围即可．
【详解】解：∵正比例函数（k是常数，）的图象与一次函数的图象相交于点P，点P的纵坐标为4，
∴，
∴，
∴，
由图象可知：不等式的解集是；
故答案为：．
13. 如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是______．

【答案】12
【解析】
【分析】过点O作于点E，于点F，连接，然后根据角平分线的性质定理及三角形的面积计算公式可求解．
【详解】解：过点O作于点E，于点F，连接，如图所示：

∵平分，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
14. 如图，直角三角形中，，，将直角三角形沿方向平移2个单位长度得到直角三角形，与交于点，且，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．同时考查了梯形的面积公式．解题的关键是熟知平移的基本性质．
根据平移的性质可得，则阴影部分的面积梯形的面积，再根据梯形的面积公式即可得到答案．
【详解】解：∵沿的方向平移距离得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
即图中阴影部分的面积为8．
故答案为：8．
15. 如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②为等腰直角三角形；③平分；④．正确的是______．
【答案】①③④
【解析】
【分析】①根据旋转的性质，可得，结合，即可判断，
③根据旋转的性质，可证，得到，即可判断，
④由，，在中，应用勾股定理，即可判断，
②根据与的关系，判断与的关系，即可判断，
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握旋转的性质．
【详解】解：由旋转的性质可得：， ，，
，
，故①正确，
，
，即：平分，故③正确，
，
，
在中，，即：，故④正确，
与不一定相等，
与不一定相等，故②不正确，
综上所述，①③④正确，
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16. 若不等式的解集为，求代数式的值．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先用、表示出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，然后根据即可得到关于和的方程，求得和的值，代入即可求解，根据不等式组的解求出得到关于和的方程是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∵不等式的解集为，
∴，，
解得：，，
∴．
17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）的面积为______________；
（2）将向右平移4个单位长度得到，请画出；
（3）画出关于点O的中心对称图形；
（4）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______________．
【答案】（1）4 （2）见解析
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）利用长方形的面积减去3个直角三角形的面积即可求解；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（3）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（4）对应点连线的交点即为旋转中心．
【小问1详解】
解：，
∴的面积为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
；
【小问3详解】
解：如图，即为所求；
【小问4详解】
解：根据图形可知：
旋转中心的坐标为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是求三角形的面积，画平移图形，画关于原点对称的图形，坐标与图形，掌握旋转的性质进行画图是解本题的关键．
18. 如图，在和中，，，与交于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）求证：垂直平分．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
（1）根据证明即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得，则，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论．
【小问1详解】
在和中，
，
．
【小问2详解】
由（1）得，
，
，
是等腰三角形，
又，
，
垂直平分．
19. 近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村座落在两相交公路内（如图所示）． 医疗站必须满足下列条件：（1）使其到两公路距离相等，（2）到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确定P点的位置．（不写作法，要保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图，熟练掌握尺规作图是解题关键．先作两公路夹角的角平分线，再过张村和李村线段的垂直平分线，与角平分线的交点即为点P．
【详解】解：如图，点P即为所求，
．
20. 若a、b、c是的三边，且a、b满足关系式，c是不等式组的最大整数解，判断的形状．
【答案】是等腰直角三角形
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，求不等组的最大整数解，非负数的性质，先根据非负数的性质求出；再解不等式组求出，最后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可得到是等腰直角三角形．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的最大整数解为5，即，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴是等腰直角三角形．
21. 如图，于E，于F，若、，
（1）求证：平分；
（2）已知，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）12
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定，掌握全等三角形的性质和判定，角平分线的判定是解题的关键；
（1）根据，证明，由全等三角形的性质得，再由角平分线的判定证明即可．
（2）根据，证明，全等三角形的性质得，再根据线段的和差关系求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴平分；
【小问2详解】
解：∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
22. “人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度，某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元．
（1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？
（2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．
【答案】（1）腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束；
（2）当购进腊梅30束，百合50束时，销售利润最大，销售的最大利润为840元．
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一次函数，一元一次不等式组的应用，熟练掌握利润与进购量之间的数量关系是解决问题的关键．
（1）设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购进腊梅m束，则购进百合束，根据题意列出不等式组求出，然后表示出总利润，然后利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，
根据题意得：，
解得：．
答：腊梅进价是12元/束，百合的进价是18元/束；
【小问2详解】
设购进腊梅m束，则购进百合束，
根据题意得：，
解得：，
设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元，
则，
即，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，（元），
此时（束）．
答：当购进腊梅30束，百合50束时，销售的最大利润为840元．
23. （）操作发现：如图，在五边形中，，试猜想之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：
将绕点逆时针旋转至，由，得，即点、三点共线，易证________，故之间数量关系是________；
（）类比探究：如图②，在四边形中，，点分别在边的延长线上，，连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明；
（）拓展延伸：如图，在中，，点均在边上，且，若，请在图中作出辅助线，并直接写出的长：________．
【答案】（），；（），证明见解析；（）．
【解析】
【分析】（）如图①，将绕点逆时针旋转至，由，得 ，即点三点共线，易证，可得结论；
（）如图②，将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，证明，根据全等三角形的性质解答即可；
（）将绕点逆时针旋转至，使与重合，连接，根据全等三角形的性质、勾股定理计算即可求解；
本题考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用旋转变换作图，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【详解】（）如图①，
∵将绕点逆时针旋转至，
∴，，，
∵，
∴，
∴点三点共线，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
（）．
证明：将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，如图，
则，
∴，，，，
∴，
∵， ，
∴，
∴，即三点共线，
又∵ ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（）如图，将绕点逆时针旋转至，使与重合，连接，则，
同理()得， ，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
故答案为：．