深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025届高三年级第一次月考数学试卷及参考答案

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【详解】解：将B中元素分别代入，只有1符合，
则.
故选：D.
2．B
【详解】，
所以.
故选：B．
3．C
【详解】由题设，，
所以，可得或4.
故选：C
4．D
【详解】，
，
.
故选：D.
5．D
【详解】如图，设圆柱的高为，由题意可得，所以，从而圆柱的侧面积，
故选：D.
6．D
【详解】对于A，当时，，所以不是上的增函数，所以A错误，
对于B，当时，，当时，，
所以的值域为，所以B错误，
对于C，当时，由，得，解得，
当时，由，得，解得，
综上，由，得，或，
所以“”是“”的充分不必要条件，所以C错误，
对于D，的图象如图所示，
由图可知当时，直线与图象只有一个交点，
即关于的方程恰有一个实根，所以D正确，
故选：D
7．C
【详解】由题意可知，的最小正周期，
因为，可知为的一条对称轴，
所以在之后的零点依次为，，，，…，
若在区间上恰有3个零点，所以.
故选：C.
8．A
【详解】因为函数对于任意实数和，都有，所以令，有，即，所以或；
令，为任意实数，有，即；
因为，所以，
当时，；当时，；
所以的值不可能是，
故选：A.
9．ACD
【详解】对于A，随机变量满足正态分布，且，
故，故A正确；
对于B，当时，
此时，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，，故单调递增，
故，即，
解得，故D正确.
故选：ACD
10．ACD
【详解】，
因为函数有极小值点，
所以，解得，
所以，，
当或时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又
所以函数仅有个在区间上的零点，故A正确，故B错误；
对于C，由，
得，
所以函数的图象关于对称，故C正确；
对于D，设切点为，则，
故切线方程为，
又过点，所以，
整理得，即，
解得或，
所以过可以作两条直线与的图象相切，故D正确.
故选：ACD.
11．ABD
【详解】对于A，将换成方程不变，所以图形关于轴对称，故A正确；
对于B，当时，代入可得，解得，即曲线经过点，
当时，方程变换为，由，解得，所以只能取整数，
当时，，解得或，即曲线经过，
根据对称性可得曲线还经过，故曲线一共经过6个整点，故B正确；
对于C，当时，由可得，（当时取等号），，，即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故C错误；
对于D，如图所示，在轴上图形的面积大于矩形的面积：，轴下方的面积大于等腰三角形的面积：，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于，故D正确；
故选：ABD
12．/0.5
【详解】依题意，的周长为，
所以面积的最大值为，
又，整理得,即,
解得，故椭圆的离心率为，
故答案为：
13．3
【详解】由题意知，，，，
则在点处的切线方程为，
即，设该切线与切于点，
其中，则，解得，
将代入切线方程，得，
则，解得；
故答案为：3
14．
【详解】解：由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，
①步：即步两阶，有种；
②步：即步两阶与步一阶，有种；
③步：即步两阶与步一阶，有种；
④步：即步两阶与步一阶，有种；
⑤步：即步两阶与步一阶，有种；
⑥步：即步一阶，有种；
综上可得一共有种情况，满足7步登完楼梯的有种；
故7步登完楼梯的概率为
故答案为：
15．(1)(2)
【详解】（1）由题意得，
设，，则，，
由题意得.
在中，由余弦定理得
，
解得或（舍去），
∴
（2）由（1）知，，.
∴.
16．(1)
(2)1
【详解】（1）椭圆的焦点为，故，
由双曲线的渐近线为，故，故，
故双曲线方程为：.
（2）设，的中点为，
因为在直线，故，
而，，故，
故，
由题设可知的中点不为原点，故，所以，
故直线的斜率为.
此时，
由可得，整理得到：，
当即或，
即当或时，直线存在且斜率为1.
17．(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）取中点，连接，
为中点
又平面，平面 平面
四边形为正方形，为中点
又平面，平面 平面
，平面 平面平面
又平面 平面
（2）为正三角形，为中点
平面平面，，平面平面，平面
平面，又平面
又，平面 平面
平面
设，则，，
，即：，解得：
18．(1)
(2)202株
(3)，2.6元
【详解】（1）记事件“该基地的植株经过三次喷洒后，随机检测一株植株能获得基因改良”，
所以，
（2）因为植株经过一次喷洒后基因改良的概率为0.8，经过一次喷洒后基因改良的株数k服从二项分布，
，
当时，
当时，设
若时，则
若时，则
，所以，
解得，又，所以
所以甲区域种植总数N的最大可能值为202株．
（3）设每组n株的总费用为X元，则X的取值为，
所以
所以
则每组中每株检测的平均费用为
所以
因为
所以（当且仅当时等号成立）
所以当以10个每组时，检测成本最低，每株2.6元．
19．(1)4
【详解】（1）由题意可得，，令，可得.
（2）①由，，
，
所以函数的图象关于点对称.
②，函数在上单调递增，所以，
不妨设在上的值域为，则，
因为时，，
所以，即函数的图象过对称中心，
（i）当时，即，函数在上单调递增，
由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增，
由，，所以，所以，
由，可得，解得；
（ii）当时，即，函数在上单调递减，在上单调递增，
由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
结合对称性可得， 或，
因为，所以，，
易知，又，所以，
所以当时，成立；
（iii）当时，即时，函数在上单调递减，
由对称性可知，在上单调递减，所以函数在上单调递减，
又，，则，由得，
，解得.
综上可知，实数的取值范围为.X
P