新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县第四中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县第四中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）．
A．B．
C．D．
2．将一元二次方程配方后所得的方程是（ ）．
A．B．C．D．
3．一元二次方程的根的情况是（ ）．
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
4．抛物线的顶点坐标是（ ）．
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则点的坐标是（ ）．
A．B．C．D．
6．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）．
A．B．C．D．
7．为满足人们对防疫物资的需求，某口罩加工厂增加设备，努力提高口罩生产量．2021年3月份该工厂的口罩产量为400万个，5月份产量为600万个，若口罩产量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）．
A．B．
C．D．
8．若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）．
A．B．C．D．
9．二次函数的图象如图，对称轴是直线，有以下结论：
①；②；③；④；⑤．
其中正确的结论有个（ ）．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值为__________．
11．关于x的函数是二次函数，则__________．
12．若m是方程的一个根，则代数式的值为__________．
13．已知x为实数，且满足，则的值为__________．
14．如图，绕点O逆时针旋转到的位置，已知，则等于__________度．
15．如图，抛物线与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为，将向右平移得到，与x轴交于点B、D，的顶点为F，连接EF．则图中阴影部分图形的面积为__________．
三、计算题：本大题共1小题，共8分．
16．先化简，再求值：，其中x是一元二次方程的解．
四、解答题：本题共7小题，共67分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题8分)
解方程：（1）；（2）．
18．（本小题8分）
已知：关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两个实数根为，，且，求m的值．
19．（本小题10分）
已知二次函数和一次函数的图象交于，两点．
（1）求c的值；
（2）求一次函数解析式；
（3）直接写出二次函数的值大于一次函数的值时x的取值范围．
20．（本小题10分）
如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）在图中作出关于x轴的对称图形；
（2）在图中作出关于原点O成中心对称的图形，并写出点的坐标；
（3）在y轴上找一点P，使的周长最小，请直接写出点P的坐标．
21．（本小题11分）
如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）__________米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．
22．（本小题8分）
某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件x元，月销量为y件，月销售利润为w元．
（1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；
（2）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
23．（本小题12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为，该图象与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方，抛物线上的一个动点，当面积取得最大值时，求点P的坐标和面积的最大值．
答案和解析
1．【答案】B
【解析】解：A．此方程中有含两个未知数x、y，不属于一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．属于一元二次方程，故此选项符合题意；
C．方程可化为，属于一元一次方程，故此选项不符合题意；
D．此方程不是整式方程，不属于一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．【答案】C
【解析】解：∵，∴，
∴，∴．
故选：C．
配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3．【答案】A
【解析】解：一元二次方程变形为，
，∴方程有两个相等的实数根．
故选：A．
根据一元二次方程根的判别式来判断根的情况即可．
本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．
4．【答案】D
【解析】解：∵，∴顶点坐标为．
故选：D．
由抛物线解析式可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为．
5．【答案】A
【解析】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，
则点的坐标是．故选：A．
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，都与原横，纵坐标互为相反数．
6．【答案】D
【解析】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
7．【答案】C
【解析】解：根据题意，得，
故选：C．
根据“2021年3月份该工厂的口罩产量为400万个，5月份产量为600万个”列一元二次方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
8．【答案】C
【解析】解：抛物线对称轴为直线，
∵，∴时，y随x的增大而减小，
时，y随x的增大而增大，
∵，，，
∴．故选：C．
先求出二次函数对称轴，然后根据二次函数的增减性，从点到对称轴的距离的越大相应的函数值越大．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的增减性以及到对称轴的距离的大小求解更简便．
9．【答案】D
【解析】解：由图象可得，，，，∴，故①正确，符合题意；
图象与x轴两个交点，故，∴，故②正确，符合题意；
∵对称轴为直线，∴，∴，
∴，故③正确，符合题意；
当时，，故④正确，符合题意；
当时，，故⑤错误，不符合题意．
故选：D．
根据二次函数的性质和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的式子是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意．
本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．【答案】
【解析】解：把代入方程得：，
，可得或，解得：或，
当时，，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则a的值为．
故答案为：．
把代入方程计算，检验即可求出a的值．
此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
11．【答案】
【解析】解：由题意得：，且，解得：．
故答案为：．
利用二次函数定义进行解答即可．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．
12．【答案】2018
【解析】解：把代入方程得：
，，
所以．
故答案是：2018．
把代入方程求出，代入求出即可．
本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值的应用，能求出是解此题的关键．
13．【答案】2
【分析】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练将方程因式分解是解题关键．
根据已知将方程因式分解为，进而求出即可．
【解答】解：，，
∴或2，
∵无解，∴．
故答案为：2
14．【答案】35
【解析】解：∵绕点O逆时针旋转到到的位置，
∴，
∵，则．
故填35．
根据旋转的意义，找到旋转角；再根据角相互间的和差关系即可求出的度数．
本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．注意．
15．【答案】4
【分析】本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定是本题的关键．
由，即可求解．
【解答】解：令，则：，令，则，
则：，，，
．
故答案为4．
16．【答案】解：原式
∵，∴，∴原式．
【解析】先根据分式的混合运算法则化简原式，再根据x是一元二次方程的解得到，代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
17．【答案】解：（1），，∴，．
（2），，
∴或，∴，．
【解析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．【答案】解：（1）根据题意得，解得．
（2）根据题意得，，
∵，∴，
∴，整理得，
解得，，
∵，∴．
【解析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到，，再利用得到，接着解关于m的方程，然后利用m的范围确定满足条件的m的值．
本题考查了根与系数的关系：一元二次方程的两根分别为，，
则，．也考查了根的判别式．
19．【答案】解：（1）∵在二次函数的图象上，
∴，∴．
（2）∵二次函数经过点，
∴，解得或，
∴，∴，∴，
把A、B点的坐标代入得，解得，
∴一次函数解析式为．
（3）观察图象，二次函数的值大于一次函数的值时x的取值范围为或．
【解析】（1）把B点的坐标代入函数，即可求得c的值；
（2）由二次函数解析式求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（3）观察图象，根据A、B点的坐标即可求得．
本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数与不等式等，数形结合是解题的关键．
20．【答案】解：（1）即为所求；
（2）即为所求；；
（3）
【分析】本题考查作图-中心对称，作图-轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
（1）分别作出A、B、C关于x轴的对称点、、即可；
（2）分别作出A、B、C关于原点O的对称点、、即可；
（3）作点C关于y轴的对称点，连接A、交y轴于点P，点P即为所求．
【解答】解：（1）见答案；
（2）见答案；
（3）的周长最小，即最小．
作点C关于y轴的对称点，连接A、交y轴于点P，点P即为所求．
设、所在直线解析式为，
则，解得，
∵直线的解析式为，∴．
21．【答案】
【解析】解：（1）设栅栏BC长为x米，
∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，
∴（米）．
故答案为：．
（2）依题意，得：，
整理，得：，解得：，．
当时，，不合题意，舍去，
当时，，符合题意．
答：栅栏BC的长为10米．
（3）不可能，理由如下：
依题意，得：，整理得：，
∵，∴方程没有实数根，
∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．
（1）设栅栏BC长为x米，根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长；
（2）根据矩形围栏ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（3）根据矩形围栏ABCD面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．
本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：
（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；
（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；
（3）牢记“当时，方程无实数根”．
22．【答案】解：（1）由题意得：，
．
（2）∵，
又∵，当时，w取最大值9000，
故销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元．
【解析】（1）根据题意一个月能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件，可得，再利用一个月的销售量×每件销售利润＝一个月的销售利润列出一个月的销售利润为w，写出w与x的函数关系式；
（2）根据二次函数最值的求法求解即可．
此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出二次函数关系式是解题关键．
23．【答案】解：（1）设抛物线的表达式为：，
则函数的顶点坐标为：，则，
∵点A的横坐标为，则点，将点A的坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：．
（3）过点P作y轴的平行线交BC于点H，
由（1）知：；令，则或5，，则，
故点B、C的坐标分别为：、，
设直线BC的表达式为：，则，
解得：，故直线BC的表达式为：．
设点P的坐标为：，则点，
面积
，
∵，故S有最大值，最大值为：，此时，
故点．
【解析】（1）利用抛物线的顶点式表达式，即可求解；
（2）利用二次函数表达式求出B、C的坐标，得到直线BC的表达式；再利用面积，进而求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，其中，正确确定面积的表达式，是本题解题的关键．