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粤教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动第二节 简谐运动的描述导学案及答案
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这是一份粤教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动第二节 简谐运动的描述导学案及答案，共17页。
简谐运动的函数描述
1.振动曲线：振子振动时位移与时间关系的曲线．
2.函数表达式：x＝A cs (ωt＋φ).
3.角频率与周期或频率的关系：ω＝ eq \f(2π,T) ＝2πf.
简谐运动的图像描述
1.相位：ωt＋φ，是一个相对概念，与所选取的时间零点有关．
2.初相位：φ，简称初相．
3.相位差：是个绝对概念，表示两个频率相同的简谐运动的振动先后关系，即Δφ＝φ1－φ2.
核心素养
小试身手
1.如右图所示的是某质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是( C )
A．振幅为0.2 cm
B．f＝0.2 Hz
C．周期为0.2 s
D．0.2 s时刻的速度方向为正
解析：由图像可知A＝0.2 m，A错误；T＝0.2 s，f＝ eq \f(1,T) ＝5 Hz，B错误，C正确；t＝0.2 s时速度方向为负，D错误．
2.(多选)有两个简谐运动，其表达式分别是x1＝3sin (100πt＋ eq \f(π,3) ) cm，x2＝6sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,4))) cm，下列说法正确的是( BC )
A．它们的振幅相同
B．它们的周期相同
C．它们的相位差恒定
D．它们的振动步调一致
解析：由简谐运动的公式可看出，它们的振幅分别为3 cm、6 cm，A错误；它们的频率均为ω＝100π rad/s，则它们的周期T＝ eq \f(2π,ω) 也相同，B正确；它们的相位差Δφ＝ eq \f(π,3) － eq \f(π,4) ＝ eq \f(π,12) 为定值，即相位差恒定，它们的振动步调不一致，C正确，D错误．
简谐运动表达式的理解
知识归纳
eq \a\vs4\al(,,,1.,)
2.从表达式x＝A sin (ωt＋φ)体会简谐运动的周期性．当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝ eq \f(2nπ,ω) ＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动．
3.从表达式x＝A sin (ωt＋φ)体会特殊点的值．当(ωt＋φ)等于2nπ＋ eq \f(π,2) 时，sin (ωt＋φ)＝1，即x＝A；当(ωt＋φ)等于2nπ＋ eq \f(3π,2) 时，sin (ωt＋φ)＝－1，即x＝－A；当(ωt＋φ)等于nπ时，sin (ωt＋φ)＝0，即x＝0.
【典例1】 有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过 eq \f(1,4) 周期振子有负向最大位移．
(1)求振子的振幅和周期．
(2)画出该振子的位移—时间图像．
(3)写出振子的振动方程．
[核心点拨] (1)由B、C间的距离为20 cm，可求振幅．
(2)由振子在2 s内完成了10次全振动，可求周期．
答案：(1)10 cm 0.2 s (2)见解析图
(3)x＝10sin (10πt＋π) cm
解析：(1)弹簧振子在B、C之间做简谐运动，故振幅A＝10 cm；振子在2 s内完成了10次全振动，故振子的周期T＝ eq \f(t,n) ＝0.2 s．
(2)
振子从平衡位置开始计时，故t＝0时刻，位移是零，经过 eq \f(1,4) 周期振子的位移为负向最大，故其位移—时间图像如右图所示．
(3)由函数图像可知振子的振动方程为
x＝10sin (10πt＋π) cm.
用简谐运动表达式解答振动问题的方法
应用简谐运动的表达式x＝A sin (ωt＋φ)解答简谐运动问题时，首先要明确表达式中各物理量的意义，找到各物理量对应的数值，根据ω＝ eq \f(2π,T) ＝2πf确定三个描述振动快慢的物理量间的关系，有时还需要通过画出其振动图像来解决有关问题．
类题训练
1.(2024·江苏盐城高二校联考期中)如下图所示的是某弹簧振子做简谐运动的图像，则( A )
A．该振子的振动方程是x＝4sin (0.25πt)cm
B．前6 s内该振子通过的路程是8 cm
C．t＝6 s时质点的加速度为0
D．t＝6 s时质点的动量最大
解析：由题图可知，振幅A＝4 cm，周期T＝8 s，则该振子的振动方程是x＝4sin (0.25πt)cm，故A正确；前6 s内该振子通过的路程s＝ eq \f(t,T) ×4A＝12 cm，故B错误；由题图可知，t＝6 s时，质点处在负向最大位移处，则速度为0，动量为0，加速度最大，故C、D错误．
2.如下图所示的弹簧振子水平放置，忽略各种阻力时，它将在COB之间来回往复做简谐振动，其中O点为平衡位置，简谐振动的振幅为A，弹簧的劲度系数为k，原长为L，弹簧振子的周期为T，小球质量为m，且规定向右为位移的正方向．请由此判断下列说法正确的是( C )
A．从C到O，位移为负并且增大，从O到B，位移为正并且增大
B．从C到O，速度为负并且增大，从O到B，速度为正并且减小
C．t＝0时刻，若小球在O点且正向右运动，则小球的位移时间关系为x＝A sin eq \f(2πt,T)
D．t＝0时刻，若小球刚好在B点，则小球的位移时间关系为x＝A sin eq \f(2πt,T)
解析：简谐运动的位移是相对于平衡位置的位移．从C到O，位移向左，为负，并且减小；从O到B，位移为正并且增大，A错误．从C到O，靠近平衡位置，速度为正并且增大；从O到B，远离平衡位置，速度为正，并且减小，B错误．t＝0时刻，若小球在O点且正向右运动，则小球的位移与时间关系为正弦函数关系，所以有x＝A sin ωt，由角速度和周期关系 eq \f(2π,T) ＝ω，可得x＝A sin eq \f(2πt,T) ，C正确．t＝0时刻，若小球刚好在B点，则小球的位移与时间关系为余弦函数关系，结合C选项分析可得，x＝A cs eq \f(2πt,T) ，D错误．故选C．
3.如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( D )
A．t＝0时，振子经过O点向左运动
B．t＝0.5 s时，振子在O点右侧2.5 cm处
C．t＝1.5 s和t＝3.5 s时，振子的速度相同
D．t＝10 s时，振子的动能最大
解析：t＝0时，图像切线的斜率为正，说明振子的速度为正，故振子经过O点向右运动，A错误；在0～1 s内，振子做变速运动，不是匀速运动，所以t＝0.5 s时，振子不在O点右侧2.5 cm处，B错误；由图像切线的斜率可知，在t＝1.5 s时，斜率为负，说明振子的速度为负，在t＝3.5 s时，斜率为正，说明振子的速度为正，故t＝1.5 s和t＝3.5 s时，振子的速度不相同，C错误；由题图乙可知，振子的周期为4 s，当t＝10 s时，振子刚好在平衡位置，故振子的动能最大，D正确．故选D．
简谐运动的周期性和对称性
知识归纳
1.时间的对称．
(1)物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD．
(2)物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，下图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.
2.速度的对称．
(1)物体连续两次经过同一点(如D点)时，速度大小相等，方向相反．
(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
3.位移的对称．
(1)物体经过同一点(如C点)时，位移相同．
(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反．
【典例2】 一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸，当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如下图所示的图像．记录笔与记录纸之间的摩擦和空气阻力都可忽略不计．y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的已知位置坐标，则( C )
A．振子平衡位置的纵坐标是y＝ eq \f(y1－y2,2)
B．该弹簧振子的振动周期为 eq \f(x0,v)
C．振子在坐标(x0，y2)位置时加速度最大
D．匀速拉动纸带的速率增大为原来的2倍，振子振动的周期变为原来的 eq \f(1,2)
[核心点拨] 振子相对平衡位置对称运动；距离平衡位置相等处，加速度等大、反向．
解析：根据简谐振动对称性可知，振子平衡位置纵坐标为y＝ eq \f(y1＋y2,2) ，故A错误；由图像可知，振子在一个周期内沿x方向的位移为2x0，水平速度为v，则振子的周期t＝ eq \f(2x0,v) ，故B错误；由题图可知，振子在坐标(x0，y2)位置时处于最大位移处，则回复力最大，由牛顿第二定律知加速度最大，故C正确；弹簧振子的周期只与弹簧振子本身有关系，匀速拉动纸带的速率增大为原来的2倍，则一个周期内纸带沿x轴负方向的位移增大为原来的2倍，弹簧振子的周期不变，故D错误．
判断一个振动为简谐运动的方法
根据简谐运动的特征进行判断，具体方法总结如下：
(1)通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断．
(2)对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足F＝－kx进行判断．
(3)根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a＝－ eq \f(k,m) x进行判断．
类题训练
4.一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3 s第一次到达某点M，再经0.2 s第二次到达M点，则其振动频率为( D )
A．0.4 Hz B．0.8 Hz
C．2.5 Hz D．1.25 Hz
解析：由题意知，从M位置沿着原路返回到起始最大位移处的时间也为0.3 s，故完成一个全振动的时间T＝0.3 s＋0.2 s＋0.3 s＝0.8 s，故频率f＝ eq \f(1,T) ＝1.25 Hz，D正确．
5.如右图所示，一质点做简谐运动，O点为平衡位置，
该质点先、后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm，则质点的振动周期和振幅分别为( B )
A．3 s、6 cm B．4 s、6 cm
C．4 s、9 cm D．2 s、8 cm
解析：做简谐运动的质点，先、后以同样的速度通过M、N两点，则可判定M、N两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M点到O点的时间与由O点到N点的时间相等，那么由平衡位置O点到N点的时间t1＝0.5 s，因通过N点后再经过t＝1.0 s，质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，则有从N点到最大位置的时间t2＝0.5 s，因此，质点振动的周期T＝4×(t1＋t2)＝4 s，这2 s内质点通过的总路程的一半即为振幅，所以振幅A＝ eq \f(12 cm,2) ＝6 cm.
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课时评价作业
A级 基础巩固
1.质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如下图所示，由图像可知( C )
A．振幅为4 cm，频率为0.25 Hz
B．t＝1 s时速度为零，但质点所受合外力最大
C．t＝2 s时质点具有正方向最大加速度
D．该质点的振动方程为x＝2cs πt cm
解析：由题图可知，质点的振幅A＝2 cm，周期T＝4 s，频率f＝0.25 Hz，故A错误；t＝1 s时质点位于平衡位置，此时质点的速度最大，所受合外力为零，故B错误；t＝2 s时质点位于负向最大位移处，此时质点具有正方向最大加速度，故C正确；该质点振动的角频率ω＝ eq \f(2π,T) ＝ eq \f(π,2) rad/s，振动方程为x＝2cs eq \f(πt,2) cm，故D错误．
2.(多选)某质点做简谐运动，其位移与时间的关系式为x＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)t＋\f(π,2))) cm，则( ABD )
A．质点的振幅为3 cm
B．质点振动的周期为3 s
C．质点振动的周期为 eq \f(2π,3) s
D．t＝0.75 s时刻，质点回到平衡位置
解析：由x＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)t＋\f(π,2))) cm可知，A＝3 cm，ω＝ eq \f(2π,3) ，T＝ eq \f(2π,ω) ＝3 s，A、B正确，C错误；将t＝0.75 s代入表达式中可得x＝0，故t＝0.75 s时，质点回到平衡位置，D正确．
3.有一弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是( A )
A．x＝8×10－3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt＋\f(π,2))) m
B．x＝8×10－3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt－\f(π,2))) m
C．x＝8×10－1sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πt＋\f(3π,2))) m
D．x＝8×10－1sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)t＋\f(π,2))) m
解析：由题意知，A＝0.8 cm＝8×10－3 m，T＝0.5 s，ω＝ eq \f(2π,T) ＝4π.t＝0时，弹簧振子具有负方向的最大加速度，即t＝0时，x＝A＝8×10－3 m，故A正确．
4.光滑的水平面上放有质量分别为m和 eq \f(1,2) m的两木块，下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如右图所示．已知两木块之间的最大静摩擦力为f，为使这两个木块组成的系统能像一个整体一样地振动，系统的最大振幅为( C )
A． eq \f(f,k) B． eq \f(2f,k)
C． eq \f(3f,k) D． eq \f(4f,k)
解析：f＝0.5ma，kA＝1.5ma，由以上两式解得A＝ eq \f(3f,k) ，故C正确．
5.(2024·江苏苏州月考)一水平弹簧振子做简谐运动，其位移与时间的关系如下图所示．求：
(1)写出该简谐运动的表达式；
(2)振子在前3.6 s内通过的路程．
答案：(1)x＝2sin ( eq \f(5,2) πt)cm (2)36 cm
解析：(1)由图像可知振幅A＝2 cm，周期T＝0.8 s，则
ω＝ eq \f(2π,T) ＝ eq \f(2π,0.8) rad/s＝ eq \f(5π,2) rad/s，
由简谐运动表达式x＝A sin ωt，可得x＝2sin ( eq \f(5,2) πt)cm.
(2)在前3.6 s内，经过的周期数n＝ eq \f(t,T) ＝ eq \f(3.6 s,0.8 s) ＝4.5，
则在前3.6 s内，振子通过的路程
s＝4×4A＋2A＝18A＝18×2 cm＝36 cm.
B级 能力提升
6.(多选)甲、乙两个相同的弹簧振子的振动图像如下图所示，它们偏离平衡位置的最大距离不同．已知弹簧劲度系数都是k，弹性势能公式为E弹＝ eq \f(1,2) kx2，下列说法正确的是( AB )
A．甲的振动能量是乙的4倍
B．甲的振动频率是乙的2倍
C．乙的振动周期是甲的 eq \f(1,2) 倍
D．两弹簧振子所受回复力最大值之比为1∶2
解析：甲、乙两振子振动的振幅之比为2∶1，根据Ep＝ eq \f(1,2) kA2可知，甲、乙振动的能量之比为4∶1，A正确；由振动图像可知，乙的周期是甲的周期的2倍，则甲的振动频率是乙的2倍，B正确，C错误；根据回复力F＝－kx可知，甲、乙两弹簧振子所受回复力最大值之比为2∶1，D错误．故选AB．
7.(多选)如下图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置．BO＝OC＝6 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是( AD )
A．振动周期是2 s，振幅是6 cm
B．振子从B经O运动到C完成一次全振动
C．经过两次全振动，振子通过的路程是30 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是36 cm
解析：振子从B经O到C，再从C经O回到B为一次全振动，根据对称性可知，C回到B的时间也为1 s，所以振动周期是2 s，而振幅为6 cm，故A正确，B错误；由于振幅是6 cm，则经过两次全振动，振子通过的路程s＝8×6 cm＝48 cm，故C错误；由于振幅是6 cm，则从B开始经过3 s，为1.5个周期，振子通过的路程s＝6×6 cm＝36 cm，故D正确．故选AD．
8.一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x1＝5sin (8πt＋ eq \f(1,4) π) cm的规律振动．
(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相；
(2)另一简谐运动表达式为x2＝5sin (8πt＋1.5π) cm，求它们的相位差．
答案：(1)0.25 s 4 Hz 5 cm eq \f(π,4) (2)－1.25π
解析：(1)根据振动方程知该振动的角频率ω＝8π rad/s，振幅为5 cm，初相是 eq \f(π,4) ，则周期T＝ eq \f(2π,ω) ＝0.25 s，频率f＝ eq \f(1,T) ＝4 Hz.
(2)x1与x2的相位差Δφ＝(8πt＋ eq \f(π,4) )－(8πt＋1.5π)＝－1.25π.
C级 拓展创新
9.(2024·广东广州市第二中学校考期末)如下图所示，竖直轻弹簧固定在水平地面上，质量为m的木块放置在弹簧上并处于静止状态．现用力将木块向下缓慢压一段距离，松手后木块将上下振动．已知木块恰好没有离开弹簧，连续两次通过平衡位置的时间间隔为t0，重力加速度为g，弹簧劲度系数为k，不计空气阻力，下列说法正确的是( C )
A．木块做简谐运动，其振幅为 eq \f(2mg,k)
B．木块做简谐运动的周期为t0
C．木块在最低点的加速度大小为g
D．若木块下压距离比原来小，则其运动周期也减小
解析：木块处于平衡位置时，设弹簧的压缩量为x0，根据受力平衡可得kx0＝mg，解得x0＝ eq \f(mg,k) ，假设木块的压缩量为x0＋x时，此时木块受到的合力方向指向平衡位置，大小为k(x0＋x)－mg＝kx，可知木块做简谐运动，已知木块恰好没有离开弹簧，说明木块处于最高点时弹簧刚好处于原长，可知木块做简谐运动的振幅为 eq \f(mg,k) ，A错误；已知木块连续两次通过平衡位置的时间间隔为t0，可知木块做简谐运动的周期为2t0，B错误；木块在最高点时，弹簧刚好处于原长，此时木块的加速度大小a＝ eq \f(mg,m) ＝g，根据对称性可知木块在最低点的加速度大小为g，C正确；根据弹簧振子周期公式T＝2π eq \r(\f(m,k)) ，可知木块下压距离比原来小，其运动周期不变，D错误．
10.(2024·广东佛山校考)如下图所示，倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)放在粗糙的水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k，自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块．压缩弹簧使其长度为 eq \f(3,4) L时将物块由静止开始释放，物块开始做简谐运动，且弹簧始终在弹性限度内，斜面体始终处于静止状态，重力加速度为g.
(1)判断弹簧原长的位置是否为平衡位置？如果是，说明理由．如果不是，请说明并推导出平衡位置时弹簧的形变量Δx.
(2)求出该振子的振幅和加速度的最大值．
答案：(1)不是 eq \f(mg sin α,k) (2) eq \f(1,4) L＋ eq \f(mg sin α,k) g sin α＋ eq \f(kL,4m)
解析：(1)弹簧原长的位置不是平衡位置，物块处于平衡位置时合力为零，物块做简谐运动的条件是F＝－kx.
设物块在斜面上平衡时，弹簧伸长量为Δx，有
mgsin α－kΔx＝0，
解得Δx＝ eq \f(mg sin α,k) .
(2)平衡位置时弹簧的长度L′＝L＋Δx＝L＋ eq \f(mg sin α,k) ，
物块的振幅A＝L′－ eq \f(3,4) L＝ eq \f(1,4) L＋ eq \f(mg sin α,k) ，
初始位置时，加速度最大，mg sin α＋k(L－ eq \f(3,4) L)＝ma，
解得a＝g sin α＋ eq \f(kL,4m) .学 习 目 标
物 理 与 STSE
1.知道简谐运动的数学表达式．
2.了解初相和相位差的概念，理解相位的物理意义．
3.根据图像和表达式会求各物理量的变化．
eq \a\vs4\al(手摸喇叭的发音,纸盆会感到它会,振动，声音越大，,振动越剧烈) eq \a\vs4\al(在波浪中上下,振动的小船可,视为简谐振动)
物理观念
简谐运动的表达式、相位和相位差
科学思维
利用数学手段描述物理问题，培养学生数理结合能力
科学探究
引导学生通过匀速圆周运动推导出简谐运动的表达式，培养学生合作探究的能力
科学态度
与责任
利用数据说明事实，培养学生实事求是的态度，进一步联系实际，激发学生学习物理的兴趣
简谐运动的函数描述
1.振动曲线：振子振动时位移与时间关系的曲线．
2.函数表达式：x＝A cs (ωt＋φ).
3.角频率与周期或频率的关系：ω＝ eq \f(2π,T) ＝2πf.
简谐运动的图像描述
1.相位：ωt＋φ，是一个相对概念，与所选取的时间零点有关．
2.初相位：φ，简称初相．
3.相位差：是个绝对概念，表示两个频率相同的简谐运动的振动先后关系，即Δφ＝φ1－φ2.
核心素养
小试身手
1.如右图所示的是某质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是( C )
A．振幅为0.2 cm
B．f＝0.2 Hz
C．周期为0.2 s
D．0.2 s时刻的速度方向为正
解析：由图像可知A＝0.2 m，A错误；T＝0.2 s，f＝ eq \f(1,T) ＝5 Hz，B错误，C正确；t＝0.2 s时速度方向为负，D错误．
2.(多选)有两个简谐运动，其表达式分别是x1＝3sin (100πt＋ eq \f(π,3) ) cm，x2＝6sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,4))) cm，下列说法正确的是( BC )
A．它们的振幅相同
B．它们的周期相同
C．它们的相位差恒定
D．它们的振动步调一致
解析：由简谐运动的公式可看出，它们的振幅分别为3 cm、6 cm，A错误；它们的频率均为ω＝100π rad/s，则它们的周期T＝ eq \f(2π,ω) 也相同，B正确；它们的相位差Δφ＝ eq \f(π,3) － eq \f(π,4) ＝ eq \f(π,12) 为定值，即相位差恒定，它们的振动步调不一致，C正确，D错误．
简谐运动表达式的理解
知识归纳
eq \a\vs4\al(,,,1.,)
2.从表达式x＝A sin (ωt＋φ)体会简谐运动的周期性．当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝ eq \f(2nπ,ω) ＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动．
3.从表达式x＝A sin (ωt＋φ)体会特殊点的值．当(ωt＋φ)等于2nπ＋ eq \f(π,2) 时，sin (ωt＋φ)＝1，即x＝A；当(ωt＋φ)等于2nπ＋ eq \f(3π,2) 时，sin (ωt＋φ)＝－1，即x＝－A；当(ωt＋φ)等于nπ时，sin (ωt＋φ)＝0，即x＝0.
【典例1】 有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过 eq \f(1,4) 周期振子有负向最大位移．
(1)求振子的振幅和周期．
(2)画出该振子的位移—时间图像．
(3)写出振子的振动方程．
[核心点拨] (1)由B、C间的距离为20 cm，可求振幅．
(2)由振子在2 s内完成了10次全振动，可求周期．
答案：(1)10 cm 0.2 s (2)见解析图
(3)x＝10sin (10πt＋π) cm
解析：(1)弹簧振子在B、C之间做简谐运动，故振幅A＝10 cm；振子在2 s内完成了10次全振动，故振子的周期T＝ eq \f(t,n) ＝0.2 s．
(2)
振子从平衡位置开始计时，故t＝0时刻，位移是零，经过 eq \f(1,4) 周期振子的位移为负向最大，故其位移—时间图像如右图所示．
(3)由函数图像可知振子的振动方程为
x＝10sin (10πt＋π) cm.
用简谐运动表达式解答振动问题的方法
应用简谐运动的表达式x＝A sin (ωt＋φ)解答简谐运动问题时，首先要明确表达式中各物理量的意义，找到各物理量对应的数值，根据ω＝ eq \f(2π,T) ＝2πf确定三个描述振动快慢的物理量间的关系，有时还需要通过画出其振动图像来解决有关问题．
类题训练
1.(2024·江苏盐城高二校联考期中)如下图所示的是某弹簧振子做简谐运动的图像，则( A )
A．该振子的振动方程是x＝4sin (0.25πt)cm
B．前6 s内该振子通过的路程是8 cm
C．t＝6 s时质点的加速度为0
D．t＝6 s时质点的动量最大
解析：由题图可知，振幅A＝4 cm，周期T＝8 s，则该振子的振动方程是x＝4sin (0.25πt)cm，故A正确；前6 s内该振子通过的路程s＝ eq \f(t,T) ×4A＝12 cm，故B错误；由题图可知，t＝6 s时，质点处在负向最大位移处，则速度为0，动量为0，加速度最大，故C、D错误．
2.如下图所示的弹簧振子水平放置，忽略各种阻力时，它将在COB之间来回往复做简谐振动，其中O点为平衡位置，简谐振动的振幅为A，弹簧的劲度系数为k，原长为L，弹簧振子的周期为T，小球质量为m，且规定向右为位移的正方向．请由此判断下列说法正确的是( C )
A．从C到O，位移为负并且增大，从O到B，位移为正并且增大
B．从C到O，速度为负并且增大，从O到B，速度为正并且减小
C．t＝0时刻，若小球在O点且正向右运动，则小球的位移时间关系为x＝A sin eq \f(2πt,T)
D．t＝0时刻，若小球刚好在B点，则小球的位移时间关系为x＝A sin eq \f(2πt,T)
解析：简谐运动的位移是相对于平衡位置的位移．从C到O，位移向左，为负，并且减小；从O到B，位移为正并且增大，A错误．从C到O，靠近平衡位置，速度为正并且增大；从O到B，远离平衡位置，速度为正，并且减小，B错误．t＝0时刻，若小球在O点且正向右运动，则小球的位移与时间关系为正弦函数关系，所以有x＝A sin ωt，由角速度和周期关系 eq \f(2π,T) ＝ω，可得x＝A sin eq \f(2πt,T) ，C正确．t＝0时刻，若小球刚好在B点，则小球的位移与时间关系为余弦函数关系，结合C选项分析可得，x＝A cs eq \f(2πt,T) ，D错误．故选C．
3.如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( D )
A．t＝0时，振子经过O点向左运动
B．t＝0.5 s时，振子在O点右侧2.5 cm处
C．t＝1.5 s和t＝3.5 s时，振子的速度相同
D．t＝10 s时，振子的动能最大
解析：t＝0时，图像切线的斜率为正，说明振子的速度为正，故振子经过O点向右运动，A错误；在0～1 s内，振子做变速运动，不是匀速运动，所以t＝0.5 s时，振子不在O点右侧2.5 cm处，B错误；由图像切线的斜率可知，在t＝1.5 s时，斜率为负，说明振子的速度为负，在t＝3.5 s时，斜率为正，说明振子的速度为正，故t＝1.5 s和t＝3.5 s时，振子的速度不相同，C错误；由题图乙可知，振子的周期为4 s，当t＝10 s时，振子刚好在平衡位置，故振子的动能最大，D正确．故选D．
简谐运动的周期性和对称性
知识归纳
1.时间的对称．
(1)物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD．
(2)物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，下图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.
2.速度的对称．
(1)物体连续两次经过同一点(如D点)时，速度大小相等，方向相反．
(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
3.位移的对称．
(1)物体经过同一点(如C点)时，位移相同．
(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反．
【典例2】 一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸，当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如下图所示的图像．记录笔与记录纸之间的摩擦和空气阻力都可忽略不计．y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的已知位置坐标，则( C )
A．振子平衡位置的纵坐标是y＝ eq \f(y1－y2,2)
B．该弹簧振子的振动周期为 eq \f(x0,v)
C．振子在坐标(x0，y2)位置时加速度最大
D．匀速拉动纸带的速率增大为原来的2倍，振子振动的周期变为原来的 eq \f(1,2)
[核心点拨] 振子相对平衡位置对称运动；距离平衡位置相等处，加速度等大、反向．
解析：根据简谐振动对称性可知，振子平衡位置纵坐标为y＝ eq \f(y1＋y2,2) ，故A错误；由图像可知，振子在一个周期内沿x方向的位移为2x0，水平速度为v，则振子的周期t＝ eq \f(2x0,v) ，故B错误；由题图可知，振子在坐标(x0，y2)位置时处于最大位移处，则回复力最大，由牛顿第二定律知加速度最大，故C正确；弹簧振子的周期只与弹簧振子本身有关系，匀速拉动纸带的速率增大为原来的2倍，则一个周期内纸带沿x轴负方向的位移增大为原来的2倍，弹簧振子的周期不变，故D错误．
判断一个振动为简谐运动的方法
根据简谐运动的特征进行判断，具体方法总结如下：
(1)通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断．
(2)对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足F＝－kx进行判断．
(3)根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a＝－ eq \f(k,m) x进行判断．
类题训练
4.一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3 s第一次到达某点M，再经0.2 s第二次到达M点，则其振动频率为( D )
A．0.4 Hz B．0.8 Hz
C．2.5 Hz D．1.25 Hz
解析：由题意知，从M位置沿着原路返回到起始最大位移处的时间也为0.3 s，故完成一个全振动的时间T＝0.3 s＋0.2 s＋0.3 s＝0.8 s，故频率f＝ eq \f(1,T) ＝1.25 Hz，D正确．
5.如右图所示，一质点做简谐运动，O点为平衡位置，
该质点先、后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm，则质点的振动周期和振幅分别为( B )
A．3 s、6 cm B．4 s、6 cm
C．4 s、9 cm D．2 s、8 cm
解析：做简谐运动的质点，先、后以同样的速度通过M、N两点，则可判定M、N两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M点到O点的时间与由O点到N点的时间相等，那么由平衡位置O点到N点的时间t1＝0.5 s，因通过N点后再经过t＝1.0 s，质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，则有从N点到最大位置的时间t2＝0.5 s，因此，质点振动的周期T＝4×(t1＋t2)＝4 s，这2 s内质点通过的总路程的一半即为振幅，所以振幅A＝ eq \f(12 cm,2) ＝6 cm.
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课时评价作业
A级 基础巩固
1.质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如下图所示，由图像可知( C )
A．振幅为4 cm，频率为0.25 Hz
B．t＝1 s时速度为零，但质点所受合外力最大
C．t＝2 s时质点具有正方向最大加速度
D．该质点的振动方程为x＝2cs πt cm
解析：由题图可知，质点的振幅A＝2 cm，周期T＝4 s，频率f＝0.25 Hz，故A错误；t＝1 s时质点位于平衡位置，此时质点的速度最大，所受合外力为零，故B错误；t＝2 s时质点位于负向最大位移处，此时质点具有正方向最大加速度，故C正确；该质点振动的角频率ω＝ eq \f(2π,T) ＝ eq \f(π,2) rad/s，振动方程为x＝2cs eq \f(πt,2) cm，故D错误．
2.(多选)某质点做简谐运动，其位移与时间的关系式为x＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)t＋\f(π,2))) cm，则( ABD )
A．质点的振幅为3 cm
B．质点振动的周期为3 s
C．质点振动的周期为 eq \f(2π,3) s
D．t＝0.75 s时刻，质点回到平衡位置
解析：由x＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)t＋\f(π,2))) cm可知，A＝3 cm，ω＝ eq \f(2π,3) ，T＝ eq \f(2π,ω) ＝3 s，A、B正确，C错误；将t＝0.75 s代入表达式中可得x＝0，故t＝0.75 s时，质点回到平衡位置，D正确．
3.有一弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是( A )
A．x＝8×10－3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt＋\f(π,2))) m
B．x＝8×10－3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt－\f(π,2))) m
C．x＝8×10－1sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πt＋\f(3π,2))) m
D．x＝8×10－1sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)t＋\f(π,2))) m
解析：由题意知，A＝0.8 cm＝8×10－3 m，T＝0.5 s，ω＝ eq \f(2π,T) ＝4π.t＝0时，弹簧振子具有负方向的最大加速度，即t＝0时，x＝A＝8×10－3 m，故A正确．
4.光滑的水平面上放有质量分别为m和 eq \f(1,2) m的两木块，下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如右图所示．已知两木块之间的最大静摩擦力为f，为使这两个木块组成的系统能像一个整体一样地振动，系统的最大振幅为( C )
A． eq \f(f,k) B． eq \f(2f,k)
C． eq \f(3f,k) D． eq \f(4f,k)
解析：f＝0.5ma，kA＝1.5ma，由以上两式解得A＝ eq \f(3f,k) ，故C正确．
5.(2024·江苏苏州月考)一水平弹簧振子做简谐运动，其位移与时间的关系如下图所示．求：
(1)写出该简谐运动的表达式；
(2)振子在前3.6 s内通过的路程．
答案：(1)x＝2sin ( eq \f(5,2) πt)cm (2)36 cm
解析：(1)由图像可知振幅A＝2 cm，周期T＝0.8 s，则
ω＝ eq \f(2π,T) ＝ eq \f(2π,0.8) rad/s＝ eq \f(5π,2) rad/s，
由简谐运动表达式x＝A sin ωt，可得x＝2sin ( eq \f(5,2) πt)cm.
(2)在前3.6 s内，经过的周期数n＝ eq \f(t,T) ＝ eq \f(3.6 s,0.8 s) ＝4.5，
则在前3.6 s内，振子通过的路程
s＝4×4A＋2A＝18A＝18×2 cm＝36 cm.
B级 能力提升
6.(多选)甲、乙两个相同的弹簧振子的振动图像如下图所示，它们偏离平衡位置的最大距离不同．已知弹簧劲度系数都是k，弹性势能公式为E弹＝ eq \f(1,2) kx2，下列说法正确的是( AB )
A．甲的振动能量是乙的4倍
B．甲的振动频率是乙的2倍
C．乙的振动周期是甲的 eq \f(1,2) 倍
D．两弹簧振子所受回复力最大值之比为1∶2
解析：甲、乙两振子振动的振幅之比为2∶1，根据Ep＝ eq \f(1,2) kA2可知，甲、乙振动的能量之比为4∶1，A正确；由振动图像可知，乙的周期是甲的周期的2倍，则甲的振动频率是乙的2倍，B正确，C错误；根据回复力F＝－kx可知，甲、乙两弹簧振子所受回复力最大值之比为2∶1，D错误．故选AB．
7.(多选)如下图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置．BO＝OC＝6 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是( AD )
A．振动周期是2 s，振幅是6 cm
B．振子从B经O运动到C完成一次全振动
C．经过两次全振动，振子通过的路程是30 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是36 cm
解析：振子从B经O到C，再从C经O回到B为一次全振动，根据对称性可知，C回到B的时间也为1 s，所以振动周期是2 s，而振幅为6 cm，故A正确，B错误；由于振幅是6 cm，则经过两次全振动，振子通过的路程s＝8×6 cm＝48 cm，故C错误；由于振幅是6 cm，则从B开始经过3 s，为1.5个周期，振子通过的路程s＝6×6 cm＝36 cm，故D正确．故选AD．
8.一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x1＝5sin (8πt＋ eq \f(1,4) π) cm的规律振动．
(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相；
(2)另一简谐运动表达式为x2＝5sin (8πt＋1.5π) cm，求它们的相位差．
答案：(1)0.25 s 4 Hz 5 cm eq \f(π,4) (2)－1.25π
解析：(1)根据振动方程知该振动的角频率ω＝8π rad/s，振幅为5 cm，初相是 eq \f(π,4) ，则周期T＝ eq \f(2π,ω) ＝0.25 s，频率f＝ eq \f(1,T) ＝4 Hz.
(2)x1与x2的相位差Δφ＝(8πt＋ eq \f(π,4) )－(8πt＋1.5π)＝－1.25π.
C级 拓展创新
9.(2024·广东广州市第二中学校考期末)如下图所示，竖直轻弹簧固定在水平地面上，质量为m的木块放置在弹簧上并处于静止状态．现用力将木块向下缓慢压一段距离，松手后木块将上下振动．已知木块恰好没有离开弹簧，连续两次通过平衡位置的时间间隔为t0，重力加速度为g，弹簧劲度系数为k，不计空气阻力，下列说法正确的是( C )
A．木块做简谐运动，其振幅为 eq \f(2mg,k)
B．木块做简谐运动的周期为t0
C．木块在最低点的加速度大小为g
D．若木块下压距离比原来小，则其运动周期也减小
解析：木块处于平衡位置时，设弹簧的压缩量为x0，根据受力平衡可得kx0＝mg，解得x0＝ eq \f(mg,k) ，假设木块的压缩量为x0＋x时，此时木块受到的合力方向指向平衡位置，大小为k(x0＋x)－mg＝kx，可知木块做简谐运动，已知木块恰好没有离开弹簧，说明木块处于最高点时弹簧刚好处于原长，可知木块做简谐运动的振幅为 eq \f(mg,k) ，A错误；已知木块连续两次通过平衡位置的时间间隔为t0，可知木块做简谐运动的周期为2t0，B错误；木块在最高点时，弹簧刚好处于原长，此时木块的加速度大小a＝ eq \f(mg,m) ＝g，根据对称性可知木块在最低点的加速度大小为g，C正确；根据弹簧振子周期公式T＝2π eq \r(\f(m,k)) ，可知木块下压距离比原来小，其运动周期不变，D错误．
10.(2024·广东佛山校考)如下图所示，倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)放在粗糙的水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k，自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块．压缩弹簧使其长度为 eq \f(3,4) L时将物块由静止开始释放，物块开始做简谐运动，且弹簧始终在弹性限度内，斜面体始终处于静止状态，重力加速度为g.
(1)判断弹簧原长的位置是否为平衡位置？如果是，说明理由．如果不是，请说明并推导出平衡位置时弹簧的形变量Δx.
(2)求出该振子的振幅和加速度的最大值．
答案：(1)不是 eq \f(mg sin α,k) (2) eq \f(1,4) L＋ eq \f(mg sin α,k) g sin α＋ eq \f(kL,4m)
解析：(1)弹簧原长的位置不是平衡位置，物块处于平衡位置时合力为零，物块做简谐运动的条件是F＝－kx.
设物块在斜面上平衡时，弹簧伸长量为Δx，有
mgsin α－kΔx＝0，
解得Δx＝ eq \f(mg sin α,k) .
(2)平衡位置时弹簧的长度L′＝L＋Δx＝L＋ eq \f(mg sin α,k) ，
物块的振幅A＝L′－ eq \f(3,4) L＝ eq \f(1,4) L＋ eq \f(mg sin α,k) ，
初始位置时，加速度最大，mg sin α＋k(L－ eq \f(3,4) L)＝ma，
解得a＝g sin α＋ eq \f(kL,4m) .学 习 目 标
物 理 与 STSE
1.知道简谐运动的数学表达式．
2.了解初相和相位差的概念，理解相位的物理意义．
3.根据图像和表达式会求各物理量的变化．
eq \a\vs4\al(手摸喇叭的发音,纸盆会感到它会,振动，声音越大，,振动越剧烈) eq \a\vs4\al(在波浪中上下,振动的小船可,视为简谐振动)
物理观念
简谐运动的表达式、相位和相位差
科学思维
利用数学手段描述物理问题，培养学生数理结合能力
科学探究
引导学生通过匀速圆周运动推导出简谐运动的表达式，培养学生合作探究的能力
科学态度
与责任
利用数据说明事实，培养学生实事求是的态度，进一步联系实际，激发学生学习物理的兴趣
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