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    2023-2024学年广东省肇庆市高一下学期期末教学质量检测数学试题(含答案)

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    2023-2024学年广东省肇庆市高一下学期期末教学质量检测数学试题(含答案)

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    这是一份2023-2024学年广东省肇庆市高一下学期期末教学质量检测数学试题(含答案),共8页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.已知样本空间Ω=1,2,3,4,事件A=1,2,B=2,3,则PA∪B=( )
    A. 34B. 12C. 14D. 16
    2.若向量a=1,−7,则下列与向量a垂直的向量是( )
    A. −1,7B. 1,7C. 7,1D. −7,1
    3.某射手射靶5次,命中的环数分别为5,6,9,8,7,则命中环数的方差为( )
    A. 2B. 2.2C. 3D. 7
    4.欧拉公式eix=csx+isinx(e为自然对数的底,i是虚数单位,x∈R)建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.根据以上内容,可知e2π3i在复平面内对应的点位于( )
    A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
    5.已知1+tan15∘=tanα1−tan15∘,则tan2α=( )
    A. − 32B. 32C. − 3D. 3
    6.▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=a2+c2−4,B=π4,则▵ABC的面积为( )
    A. 12B. 1C. 2D. 2
    7.将函数fx=sinxcsx图象上的所有点都向左平移π5个单位长度后,再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数gx的图象,则( )
    A. gx=12sinx+2π5B. gx=12sin4x+2π5
    C. gx=sinx+π5D. gx=sin4x+π5
    8.已知单位圆O与x轴正半轴交于点A,点B在第二象限且在单位圆上.若OB⋅OA=−13,劣弧AB的中点为C,则OC=( )
    A. 33, 63B. 63, 33C. 23, 53D. 53,23
    二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.已知复数z=2−3i,则下列命题为真命题的有( )
    A. z的虚部为−3 B. z= 13
    C. z⋅i10=z D. 若z是关于x的方程x2+px+q=0p,q∈R的一个根,则p+q=9
    10.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,记事件Ai=“第一次向上的点数为i”i=1,2,3,4,5,6,Bj=“第二次向上的点数为j”j=1,2,3,4,5,6,C=“两次向上的点数之和为7”,则( )
    A. PAi=16B. PB3C=19
    C. A1B1与A2B2是互斥事件D. A1与C相互独立
    11.已知函数fx=sinωx+ 3csωxω>0,x∈0,π,对∀x∈0,π都有m≤fx≤M,且fx的零点有且只有3个.下列选项中正确的有( )
    A. M+m=0B. ω的取值范围为83,113
    C. 使fx0=M的x0有且只有2个D. 方程fx= 3的所有根之和为6π
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
    12.若1−im+3i为纯虚数,则实数m= .
    13.已知函数fx=csx−2sinx,当fx取得最大值时,csx= .
    14.如图,M到N的电路中有5个元件T1,T2,T3,T4,T5,电流能通过T1,T2,T3,T4的概率都为0.8,电流能通过T5的概率为0.9,且电流能否通过各元件相互独立,则电流能在M与N之间通过的概率为 .
    四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    15.(本小题13分)
    某学校教研室为了解高一学生期末考试的数学成绩情况,随机抽取了120个学生,把记录的数学成绩分为5组:50,70,70,90,90,110,110,130,130,150,并绘制成了频率分布直方图,如图所示:
    注:90分及以上为及格.
    (1)求a的值,并估计数学成绩的中位数及众数;
    (2)在样本中,若采用按比例分配的分层随机抽样方法,从样本中抽取数学成绩不及格和及格的学生共20人,求及格的学生应抽取多少人.
    16.(本小题15分)
    一个不透明的盒中有3个红球,2个白球,5个球除颜色外完全相同.
    (1)从盒中有放回地摸球,求第一次与第二次摸到的都是红球的概率;
    (2)每次从盒中任取两个球,游戏规则:若都是红球,则放回盒中;若有白球,则将白球换成红球(非盒内,且与原盒中红球相同),再把两个红球放回盒中,白球不放回盒中,直至盒中都是红球,游戏结束.求经过2次抽取后游戏结束的概率.
    17.(本小题15分)
    已知向量e1,e2满足e1=1,e2= 3,e1与e2的夹角为5π6.
    (1)求e1⋅e2;
    (2)a=e1+2e2,b=−3e1,求csa,b的值;
    (3)若e1在e2方向上的投影向量为c,求λe1−cλ∈R的最小值.
    18.(本小题17分)
    如图1,天津永乐桥摩天轮是天津市的 地标之一,又称天津之眼,是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮,兼具观光和交通功能.永乐桥摩天轮最高点距桥面121 m,转盘直径为110 m,设置48个均匀分布的透明座舱,开启后逆时针匀速旋转,旋转一周所需时间为28 min.如图2,设座舱距桥面最近的位置为点P,以轴心O为原点,与桥面平行的直线为x轴建立直角坐标系.游客从点P进舱,游客甲、乙的位置分别用点A55csα,55sinα,B55csβ,55sinβ表示,其中α,β是终边落在OA,OB的正角.
    (1)证明:sinα−sinβ=2csα+β2sinα−β2;
    (2)求游客甲的位置A距桥面的高度ℎm关于转动时间tmin的函数解析式;
    (3)在(2)的条件下,若游客甲、乙的座舱之间还有三个座舱,乙的位置B距桥面的高度为ℎ′,求在转动一周的过程中ℎ′−ℎ的最大值.
    19.(本小题17分)
    已知▵ABC的 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bcsA+sinB=0,a= 3,O为平面内一点,且满足OA=OB=OC.
    (1)求A;
    (2)求AB+AC⋅AO的最小值;
    (3)若BD=13BC,求OA+3OD的取值范围.
    参考答案
    1.A
    2.C
    3.A
    4.B
    5.C
    6.B
    7.A
    8.A
    9.ABD
    10.ACD
    11.AC
    12.−3
    13. 55

    15.解:(1)由频率分布直方图的性质可得,0.0025+0.01+0.02+a+0.005×20=1,
    解得a=0.0125,
    设中位数为x,因为0.0025+0.01×20=0.250.5,
    所以中位数在90,110范围内,
    则0.0025+0.01×20+x−90×0.02=0.5,解得x=102.5,
    则中位数为102.5,再由频率分布直方图可知众数为100.
    (2)由频率分布直方图可知,及格的 人数为0.02+0.0125+0.005×20×120=90人,
    再由分层抽样可得,及格的学生应抽取90120×20=15人.

    16.解:(1)设第一次与第二次摸到的都是红球为事件A,
    则PA=35×35=925.
    (2)记3个红球分别为a,b,c,2个白球分别为D、E,
    则从盒子中任取两个球所有可能结果为ab,ac,aD,aE,bc,bD,bE,cD,cE,DE共10种,
    所以取到两球都是红球的概率为310,取到一个红球一个白球的概率为610=35,
    取得两球都是白球的概率为110;
    经过2次抽取后盒中恰好都是红球分两种情况:
    ①第一次取出两个红球,概率为310,第二次取出两个白球,概率为110,
    故经过2次抽取后盒中恰好都是红球的概率为310×110=3100;
    ②第一次取出一个红球一个白球,概率为35,第二次取出一个红球一个白球,概率为410=25,
    故经过2次抽取后盒中恰好都是红球的概率为35×25=625;
    综上,经过2次抽取后盒中恰好都是红球的概率为3100+625=27100.

    17.解:(1)因为e1=1,e2= 3,e1与e2的夹角为5π6,
    所以e1⋅e2=|e1|⋅|e2|cs5π6=1× 3×(− 32)=−32;
    (2)因为a•b=(e1+2e2)•(−3e1)=−3e12−6e2•e1=−3−6×(−32)=6,
    |a|= (e1+2e2)2= e12+4e1•e2+4e22= 1+4(−32)+4×3= 7,
    |b|=|−3e1|=3,
    所以csa,b=a•b|a|•|b|=63× 7=2 77.
    (3)e1在e2方向上的投影向量为c=e1•e2|e2|2•e2=−323e2=−12e2,
    所以λe1−c= (λe1+12e2)2= λ2e12+λe1•e2+14e22= λ2−32λ+34= (λ−34)2+316,
    当λ=34时,λe1−cλ∈R的最小值为 34.

    18.解:(1)因为sinα−sinβ=sinα+β2+α−β2−sinα+β2−α−β2
    =sinα+β2csα−β2+csα+β2sinα−β2−sinα+β2csα−β2−csα+β2sinα−β2=2csα+β2sinα−β2,
    所以sinα−sinβ=2csα+β2sinα−β2.
    (2)依题意可得P0,−55,点O到桥面的距离为66m,
    又摩天轮旋转一周所需时间为28 min,所以旋转角速度为2π28=π14rad/min,
    所以α=π14t−π2,
    所以ℎ=55sinπ14t−π2+66t≥0;
    (3)因为∠AOB=2π48×4=π6,则β=α+π6,
    所以ℎ′=55sinπ14t−π2+π6+66=55sinπ14t−π3+66,
    所以ℎ′−ℎ=55sinπ14t−π3−55sinπ14t−π2
    =55sinπ14t−π3−sinπ14t−π2
    =110csπ14t−5π12⋅sinπ12
    =55 6− 22csπ14t−5π120≤t≤28,
    所以当π14t−5π12=0(或π)时ℎ′−ℎ取得最大值,最大值为55 6− 22m,
    其中sinπ12=sinπ3−π4=sinπ3csπ4−csπ3sinπ4= 32× 22−12× 22= 6− 24.

    19.解:(1)正弦定理得asinA=bsinB=b−bcsA⇒ 3sinA=1−csA⇒tanA=sinAcsA=− 3
    因为0

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