2023-2024学年吉林省辽源市田家炳高中五校高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年吉林省辽源市田家炳高中五校高二（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方案有( )
A. 3种B. 6种C. 7种D. 9种
2.若函数f(x)=3x+lnx的图像在点(1,f(1))处的切线与直线x+ay+1=0平行，则a=( )
A. −14B. 14C. −4D. 4
3.某班计划在下周一至周三中的某一天去参观党史博物馆，若选择周一、周二、周三的概率分别为0.3，0.4，0.3，根据天气预报，这三天下雨的概率分别为0.4，0.2，0.5，且这三天是否下雨相互独立，则他们参观党史博物馆的当天不下雨的概率为( )
A. 0.25B. 0.35C. 0.65D. 0.75
4.某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题20道，已知该同学每道题答对的概率为0.6，则该同学答对题目数量的数学期望和方差分别为( )
A. 16，7.2B. 12，7.2C. 12，4.8D. 16，4.8
5.随机变量X～N(8,σ2)，若P(7≤X≤9)=0.4，则P(X>9)=( )
A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.3
6.小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择(可以有笔记本不被选择)，单价均为一元一本，小明只有8元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有( )
A. 70种B. 165种C. 280种D. 1860种
7.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)=lnx+f′(1)x2，则函数f(x)的单调递增区间为( )
A. (− 22, 22)B. (−∞,− 22)，( 22,+∞)
C. (0, 22)D. ( 22,+∞)
8.若(1+2x)(1−2x)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，x∈R，则a2的值为( )
A. −20B. 20C. 40D. 60
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于(x−1x)6的展开式，下列结论正确的是( )
A. 所有项的二项式系数和为32B. 所有项的系数和为0
C. 常数项为−20D. 系数最大的项为第3项
10.随机事件A与B互相独立，且B发生的概率为0.4，A发生且B不发生的概率为0.3，则( )
A. A发生的概率为0.6B. B发生且A不发生的概率为0.2
C. A或B发生的概率为0.9D. A与B同时发生的概率0.2
11.已知变量x，y之间的线性经验回归方程为y=−0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是( )
A. 变量x，y之间成负相关关系B. 可以预测，当x=20时，y=−3.7
C. m=4D. 该经验回归直线必过点(9,3)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.( x+3x2)5的展开式中的常数项为 ．
13.3个班分别从5个景点中选择一处游览，共有______种不同的选法(填数字)．
14.用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有______个．(用数字作答)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=x−1+aex．
(Ⅰ)若函数f(x) 在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(Ⅱ)求函数f(x)的极值．
16.(本小题15分)
甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
17.(本小题15分)
某学校举行“百科知识”竞赛，每个班选派一位学生代表参加．某班经过层层选拔，李明和王华进入最后决赛，决赛方式如下：给定4个问题，假设李明能且只能对其中3个问题回答正确，王华对其中任意一个问题回答正确的概率均为34.由李明和王华各自从中随机抽取2个问题进行回答，而且每个人对每个问题的回答均相互独立．
(1)求李明和王华回答问题正确的个数均为2的概率；
(2)设李明和王华回答问题正确的个数分别为X和Y，求X、Y的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，并由此决策派谁代表该班参加竞赛更好．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−ax(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若a=0，证明：对任意的x>1都有f(x)≥x4−3x3lnx+x3．
19.(本小题17分)
为了研究某果园的一种果树的产量与种植密度的关系，某中学的数学兴趣小组在该果园选取了一块种植区域进行了统计调查，他们将每株果树与其直线距离不超过1米的果树株数x记为其密度，在记录了该种植区域内每株果树的密度后，从中选取密度为0，1，2，3，4的果树，统计其产量的平均值y(单位：kg)，得到如下统计表：
(1)小组成员甲认为y与x有很强的线性相关关系，请你帮他利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y​=b​x+a​；
(2)小组成员乙提出：若利用回归方程计算的平均产量的估计值y i与实际的平均产量yi(1≤i≤n,n∈N∗)满足：1ni=1n|yi−y i|>0.5，则应该修正模型，寻找更合适的函数拟合x与y的关系．统计知种植密度分别为5，6的果树的平均产量为5.5kg、4.4kg，请你以这七组数据为依据判断(1)得到的回归方程是否需要修正？
参考公式：b​=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2，a​=y−−b​x−．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.C
5.D
6.B
7.C
8.B
9.BC
10.BD
11.AB
12.15
13.125
14.576
15.解：(Ⅰ)由f(x)=x−1+aex，得f′(x)=1−aex
由函数f(x) 在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，得 f′(1)=1−ae=0，解得a=e
(Ⅱ)f′(x)=1−aex
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上为增函数，f(x)无极值
②当a>0时，令f′(x)=0，解得x=lna，
∴x∈(−∞,lna)时，f′(x)>0，x∈(lna,+∞)时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(−∞,lna)上单调递增；在(lna,+∞)上单调递减．
∴f(x)在x=lna处取得极da值，且极da值为f(lna)=lna，无极小值
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x=lna处取得极大值lna，无极小值．
16.解：(1)A公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点，故A公司准点的概率为240260=1213；
B公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点，故B公司准点的概率为210240=78；
(2)由题设数据可知，准点班次数共450辆，未准点班次数共50辆，A公司共260辆，B公司共240辆，
∴K2=500×(240×30−210×20)2260×240×450×50=3.2>2.706，
∴有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．
17.解：(1)∵李明回答问题正确的个数为2的概率p1=C32C42=36=12，
王华回答问题正确的个数为2的概率p2=C43×(34)2×(1−34)=916，
∴李明和王华回答问题正确的个数均为2的概率p=p1p2=12×916=932；
(2)由题意知：李明回答问题正确个数X所有可能的取值为1，2，
∴P(X=1)=C31C42=36=12,P(X=2)=C32C42=36=12，
∴E(X)=1×12+2×12=32,D(X)=(1−32)2×12+(2−32)2×12=14，
∵王华回答问题正确的个数Y～B(2,34)，
∴E(Y)=2×34=32,D(Y)=2×34×(1−34)=38，
∵E(X)=E(Y)，D(X)∴派李明代表该班参加竞赛更好．
18.解：(1)由题意，可得f′(x)=ex−a．
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增；
当a>0时，由f′(x)>0，得x>lna，由f′(x)<0，得x则f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增．
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；
当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增．
(2)证明：由题得，a=0时，对任意的x>1，都有f(x)≥x4−3x3lnx+x3，
即ex≥x3(x−3lnx+1)，等价于exx3≥(x−3lnx+1)，即ex−3lnx≥(x−3lnx+1)．
设g(x)=ex−x−1，则g′(x)=ex−1．
由g′(x)>0，得x>0；由g′(x)<0，得x<0．
则g(x)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，
故g(x)≥g(0)=0，即ex−x−1≥0，即ex≥x+1，当且仅当x=0时，等号成立．
设ℎ(x)=x−3lnx，则ℎ′(x)=1−3x=x−3x．
由ℎ′(x)>0，得x>3；由ℎ′(x)<0，得0则ℎ(x)在(0,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增．
因为ℎ(3)=3−3ln3<0，ℎ(e2)=e2−6>0，所以ℎ(x)=0有解，
则ex−3lnx≥x−3lnx+1，当且仅当x−3lnx=0时，等号成立．
即exx3≥x−3lnx+1，即f(x)≥x4−3x3lnx+x3．
19.解：(1)x−=2,y−=11，i=1nxiyi=93，i=1nxi2−nx−2=10，
故b =i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2=−1.7 , a =y−−b x−=14.4，得线性回归方程为：y =−1.7x+14.4．
(2)令x=0，1，2，3，4，5，6，代入y =−1.7x+14.4，分别得|y −y|=0.6,0.7,0,0.3,0.4,0.4,0.2，
从而1ni=1n|yi−y i|=2.67<0.5，故不需修正． x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
x
0
1
2
3
4
y
15
12
11
9
8