2023-2024学年辽宁省本溪市县级重点高中协作体高二下学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年辽宁省本溪市县级重点高中协作体高二下学期期末考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x∣2x−1<3},N=−2,0,1,2,3，则M∩N=( )
A. −2,0B. 0,1C. −2,0,1D. −2,0,1,2
2.已知命题p:∀x≥0,x3>x，命题q:∃x<0,x2+1>0，则( )
A. p和q均为真命题B. ¬p和q均为真命题
C. p和¬q均为真命题D. ¬p和¬q均为真命题
3.已知幂函数fx=m4−15xm在第一象限内单调递减，则f−12=( )
A. 14B. 12C. 2D. 4
4.已知甲正确解出不等式x2−5x+m<0的解集为A，乙正确解出不等式x2+x−n<0的解集为B，且A∪B=−3,6,A∩B=−1,2，则m−n=( )
A. −12B. −6C. 0D. 12
5.已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为t=lnnmN，其中m是正常数，n是大于1的正整数，若经过时间t1，该物质的能量由N减少到N2，再经过时间t2，该物质的能量由N2减少到N8，则( )
A. t2=t1B. t2=2t1C. t2=3t1D. t2=4t1
6.已知x>0，则“x>y”是“y+2024x+2024>yx”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数fx=x2−alg3bx+13x−1为奇函数，则( )
A. a=0,b=3B. a≠0,b=3C. a∈R,b=−3D. a∈R,b=3
8.已知a>0,x1,x2分别是函数fx=xex−a与gx=−lnxx−a的零点，则x12x2ea−x1的最大值为( )
A. 2B. 2e2C. 4e2D. 8e2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数fx=2x,gx=2x−1，则( )
A. fx与gx具有相同的最小值 B. fx与gx在0,+∞上具有相同的单调性
C. fx与gx都是 轴对称图形 D. fx与gx在−∞,0上具有相反的单调性
10.已知数列an满足a1=−8,an+1−an=2n−8，则( )
A. a2=−14B. an为递减数列
C. an的最小值为−20D. 当an<0时，n的最大值为8
11.已知函数fx=(x−a)2x−b−2，则( )
A. x=a是fx的极值点 B. 当a>b时，fa+1>fa
C. 当af5a+b6 D. 当5a=2ba≠0时，fx的图象关于点3a2,f3a2对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数fx= x2+1,x≤0,31−x−13x−2,x>0,则ff0= ．
13.已知函数fx满足2fx+1x−fx−1x=x，则fx= ．
14.已知▵ABC是边长为2的等边三角形，取AB,AC的中点分別为B1,C1，沿B1C1剪去▵AB1C1，得到四边形BCC1B1，记其面积为S1；在▵AB1C1中，取AB1,AC1的中点分别为B2,C2，沿B2C2剪去▵AB2C2，得到四边形B1C1C2B2，记其面积为S2，则S2= ；以此类推，i=2n1Si−Si−1=____ _____．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设正项数列an是公差为dd≠0的等差数列，其前n项和为Sn，已知a2=3,Sn=a1+an22d．
(1)求an的通项公式；
(2)求数列1 SnSn+1的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
已知函数fx=xex−12x2+ax+b．
(1)当b=1时，fx的图像在0,f0处的切线与两坐标轴围成图形的面积为14，求a的值；
(2)当a=−1,b>0时，fx在−1,2的最小值小于b3+blnb，求b的取值范围．
17.(本小题15分)
已知函数fx=lg3x2−ax+4．
(1)若fx在0,1上单调递减，求a的取值范围；
(2)当a=1时，证明：fx的图像为轴对称图形；
(3)若关于x的方程13−fx=a在0,2上有解，求a的最小值．
18.(本小题17分)
已知函数fx=(lnx)2−a x,fx的导函数为f′x．
(1)若f′x≤0，求a的取值范围；
(2)若fx有两个极值点x1,x2，证明：x1x2>e4．
19.(本小题17分)
在数列an中，按照下面方式构成“次生数列”bn:b1=a1,b2=mina1,a2,b3=mina1,a2,a3，…，bn=mina1,a2,⋯,ann≥2，其中mina1,a2,⋯,ai2≤i≤n表示数列a1,a2,⋯,ai中最小的项．
(1)若数列an中各项均不相等，只有4项，a2=1，且an∈1,2,3,4n=1,2,3,4，请写出an的所有“次生数列”bn；
(2)若an满足a1=−2,a4=64，且ann为等比数列，an的“次生数列”为bn．
(i)求b3+b10的值；
(ii)求bn的前n项和Sn．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.A
5.B
6.A
7.D
8.C
9.AC
10.ACD
11.BCD
12.−2
13.13x−1x≠1
14.3 316；16 3811−4n−1
15.解：(1)由Sn=a1+an22d，得na1+an2=a1+an22d，
又a1+an≠0，所以a1+an=nd，
当n=1时，a1=12d，
当n=2时，a1+a2=12d+3=2d，解得d=2，
所以a1=1，
故an的通项公式为an=1+2n−1=2n−1．
(2)由(1)可知Sn=(1+2n−1)22×2=n2，
所以1 SnSn+1=1nn+1=1n−1n+1，
故Tn=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1．

16.解：(1)易知f0=1，
又f′x=x+1ex−x+a，
所以f′0=e0+a=1+a，
所以fx的图像在0,f0处的切线方程为y=(1+a)x+1，
令y=0，得x=−11+a，
由切线与两坐标轴围成图形的面积为14，
得12−11+a×1=14，
解得a=1或a=−3．
(2)当a=−1,b>0时，fx=xex−12x2−x+b，
则f′x=x+1ex−1，
当x∈−1,0时，f′x≤0,fx单调递减，
当x∈(0,2时，f′x>0,fx单调递增，
所以fx在−1,2的最小值为f0=b，
由题意得b又b>0，所以1−b2−lnb<0．
设gx=1−x2−lnx(x>0)，
则g′x=−2x−1x<0，
所以gx在0,+∞上单调递减，
又g1=0，所以解不等式1−b2−lnb<0得b>1，
故b的取值范围为1,+∞．

17.解：(1)因为y=lg3x在0,+∞上单调递增，
所以y=x2−ax+4在0,1上单调递减，
则a2≥1,12−a+4>0,
解得2≤a<5，
故a的取值范围为2,5．
(2)证明：当a=1时，fx的定义域为R，
因为f1−x=lg3(1−x)2−1−x+4=lg3x2−x+4=fx，
所以fx的图像关于直线x=12对称，
故fx的图像为轴对称图形．
(3)由方程13−fx=a在0,2上有解，得方程x2−ax+4=a在0,2上有解且x2−ax+4>0，
即a=x2+4x+1在0,2上有解，
x2+4x+1=(x+1)2−2x+1+5x+1=x+1+5x+1−2≥2 5−2，
当且仅当x= 5−1时取得等号，
又当a=2 5−2时，x2−ax+4>0在0,2上恒成立，
所以a的最小值为2 5−2．

18.解：(1)易知fx的定义域为0,+∞，
f′x=2lnxx−a2 x=4lnx−a x2x，
由f′x≤0，得a≥4lnx x在0,+∞上恒成立．
设g(x)=4lnx x(x>0)，
则g′x=22−lnxx x，
当x∈0,e2时，g′x>0，
当x∈e2,+∞时，g′x<0，
所以gx在0,e2上单调递增，在e2,+∞上单调递
减，所以g(x)max=ge2=8e，
所以a≥8e，
故a的取值范围为8e,+∞．
(2)证明：由题意可知f′x有两个零点x1,x2，
即lnx1=14a x1,lnx2=14a x2，
不妨设x1要证x1x2>e4，即证lnx1+lnx2>4，
即证lnx1+lnx2=14a x1+ x2= x1+ x2⋅lnx2−lnx1 x2− x1>4，
即证12lnx2x1>2 x2− x1 x1+ x2，
即证lnx2x112>2x2x112−1x2x112+1，
令t=x2x112，则t>1，只需证lnt>2t−1t+1．
设ℎ(t)=lnt−2(t−1)t+1(t>1)，则ℎ’(t)=(t−1)2t(t+1)2>0，
所以ℎt在1,+∞上单调递增，
则ℎ(t)>ln1−2(1−1)1+1=0，则lnt>2t−1t+1，
故x1x2>e4．

19.解：(1)因为an∈1,2,3,4n=1,2,3,4，a2=1，an中各项均不相等，
所以b1=a1≠1,b2=b3=b4=1，
若b1=a1=2，此时“次生数列”bn为2,1,1,1，
若b1=a1=3，此时“次生数列”bn为3,1,1,1，
若b1=a1=4，此时“次生数列”bn为4,1,1,1，
所以“次生数列”bn的定义可知bn有3个，
分别为2,1,1,1或3,1,1,1或4,1,1,1．
(2)(i)设数列ann的公比为q，
因为ann为等比数列，且a1=−2,a4=64，
所以a44=a11⋅q3，即16=−2⋅q3，解得q=−2，
所以ann=−2×(−2)n−1，则an=n⋅(−2)n．
由“次生数列”bn的定义，可知b1=b2=a1=−2，
b3=b4=−24,⋯,b9=b10=9×−512=−4608，
故b3+b10=−4632．
(ii)由(i)可知当n为偶数时，b1=b2=1×−2,b3=b4=3×(−2)3,⋯,bn−1=bn=n−1×(−2)n−1，
Sn=21×−2+3×(−2)3+⋯+n−1×(−2)n−1,①
4Sn=21×(−2)3+3×(−2)5+⋯+n−1×(−2)n+1，②
由①−②得−3Sn=21×(−2)+2×(−2)3+⋯+2×(−2)n−1−(n−1)×(−2)n+1
=4−2+(−2)3+⋯+(−2)n−1+4−2n−1×(−2)n+1
=4×−21−(−2)2n21−(−2)2+4−2n−1×(−2)n+1
=1320+12n−20×(−2)n，
所以Sn=−1920+12n−20×(−2)n．
当n=1时，S1=−2，
当n为奇数且n≥3时，n−1为偶数，
则Sn=Sn−1+bn=−1920+12n−32×(−2)n−1+n⋅(−2)n
=−1920+16−15n×(−2)n，
显然当n=1时，也符合上式，
故Sn=−1920+12n−20×(−2)n,n=2k,k∈N∗−1920+16−15n×(−2)n,n=2k−1,k∈N∗